函数与导数知识点

2024年3月26日发(作者：初二物理论文)

函数与导数知识点

【重点知识整合】

1.

导数的概念：设函数

yf(x)

在

xx

0

处周围有概念，当自变量在

xx

0

处有增量

x

时，则函数

yf(x)

y

yf(x

0

x)f(x

0

)

相应地有增量，若是

x0

时，

y

与

x

的比

x

（也叫函数的平均转变率）有极

y

y

xx

0

限即

x

无穷趋近于某个常数，咱们把那个极限值叫做函数

yf(x)

在处的导数，记作

f(x

0

)lim

f(x

0

x)f(x

0

)

x

.

xx

0

x

，则

xx

0

，即

x0

注意：在概念式中，设

写成

xxx

0

，当

x

趋近于

0

时，

x

趋近于

x

0

，因此，导数的概念式可

f(x

0

)lim

xo

f(x

0

x)f(x

0

)f(x)f(x

0

)

lim

xx

0

xxx

0

.

2.

导数的几何意义：

f(x

0

)lim

f(x

0

x)f(x

0

)

x

x

是函数

yf(x)

在点

0

的处瞬时转变率，它反映的函数

yf(x)

在点导数

x0

x

0

x,f(x

0

)

处转变的快慢程度. 它的几何意义是曲线

yf(x)

上点（

0

）处的切线的斜率.因此，若是

yf(x)

x

0

x,f(x

0

)

yf(x

0

)f(x

0

)(xx

0

)

可导，则曲线

yf(x)

在点（

0

）处的切线方程为 在点

注意：“过点

A

的曲线的切线方程”与“在点

A

处的切线方程”是不相同的，后者

A

必为切点，前者未必是切点.

3.

导数的物理意义：

函数

ss(t)

在点

t

0

处的导数

s



(t

0

),

确实是物体的运动方程

ss(t)

在点

t

0

时刻的瞬时速度

v

，即

vs



(t

0

).

nn1

(x)'nx

C'0C

4．几种常见函数的导数：(为常数)；(

nQ

)；

(sinx)'cosx

；

(cosx)'sinx

；

5.求导法则：

(lnx)

11

(log

a

x)log

a

e

xxxx

(e)e(a)alna

.

x

；

x

； ；

法则

1

：

[u(x)v(x)]u(x)v(x)

；



法则

2

：

[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)

,

[Cu(x)]Cu'(x)

；



u



u'vuv'

(v0)





2

v

法则

3

：



v



.

6.复合函数的导数：设函数

u



(x)

在点

x

处有导数

'

u

x





(x)

，函数

yf(u)

在点

x

的对应点

u

处有导数

y

u

f



u



y'y'

u

u'

x

f(



(x))f(u)



(x)

，则复合函数

yf(



(x))

在点x处也有导数，且

x

或

x

7.导数与函数的单调性

1.

函数

yf(x)

在某个区间内有导数，若是

f(x)0

，那么函数在那个区间上是增函数,该区间是函数的增区

间；若

f(x)0

，那么函数在那个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.

2.利用导数研究多项式函数单调性的一样步骤:



1



求

f(x)

;



2



确信

f(x)

在



a,b



内符号;



3



若

f(x)0

在



a,b



上恒成立，则

f(x)

在



a,b



上是增函数；若

f(x)0

在



a,b



上恒成立，则

f(x)

在



a,b



上是减函数

8. 导数与函数的极（最）值

f(x)f(x

0

)

xxf(x

0

)

1.极大值： 一样地，设函数

f(x)

在点

0

周围有概念，若是对

0

周围的所有的点，都有，就说

f(x

0

)

x

0

是函数

f(x)

的一个极大值，记作

y

极大值，是极大值点.

f(x)f(x

0

)

xxf(x

0

)

2.极小值：一样地，设函数

f(x)

在

0

周围有概念，若是对

0

周围的所有的点，都有就说是

f(x

0

)

x

0

函数

f(x)

的一个极小值，记作

y

极小值，是极小值点.

3.极值：极大值与极小值统称为极值在概念中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函

数值请注意以下几点：

（

1

）极值是一个局部概念由概念，极值只是某个点的函数值与它周围点的函数值比较是最大或最小.并非意味

着它在函数的整个的概念域内最大或最小.

（

2

）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或概念域内极xs大值或极小值能够不止一个.

（

3

）极大值与极小值之间无确信的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，

x

1

是极大值点，

x

4

是极小值点，而

f(x

4

)

>

f(x

1

)

.

（

4

）函数的极值点必然出此刻区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能

在区间的内部，也可能在区间的端点.

xf(x

0

)

4.当

f(x)

在点

0

持续时，判别是极大、极小值的方式: