2024年3月24日发(作者：党生日)
2023江苏省南通市如皋市九月诊断
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试
卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合
M=∣x
{
x
2
−2mx−3m
2
≤0,N=
}
∣x
{
x
2
+mx−2m
2
≤0
}
，定义
b−a
叫做集合
）
D.10
∣a≤x≤b
}{
x
的长度，若集合
M∩N
的长度为4，则
M∪N
的长度为（
A.3B.4C.5
2.
设
z=m+ni
是方程
az
4
+ibz
3
+cz
2
+idz+e=0
的一个复数根，这里
a,b,c,d,e,m,n∈R
.
则下列各数
一定是方程的根的是（
）
.
A.
m−ni
B.
−m+ni
C.
n+mi
D.
1−m+ni
3.
设
a
，
b
，
c
为正数，且
a
2
+b
2
+c
2
=1
，则
a(a+b+c)
的最大值为（
）
A.
3+1
2
B.
2+1
2
C.
3
2
D.
2
2
上单调，则
ω
的最大
f(x)sin(
ω
x+
φ
)
(
ω
>0)
满足
f()=1
，
f
=
4.
已知
4
值为（
A.
）
B.
π
π
5
π
5
π
=
0
且
f(x)
在
,
46
3
12
7
18
17
25
91
C.
6
17
D.
30
17
10
91
5.15
个人围坐在圆桌旁，从中任取
4
人，他们两两互不相邻的概率是（ ）
A.
30
91
B.C.
15
91
D.
6.
数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
C
：
x
2
+y
2
=1+|x|y
就是其中之一（如图）
.
给出下
列三个结论：
①曲线
C
恰好经过
6
个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线
C
上任意一点到原点的距离都不超过
2
；
③曲线
C
所围成的“心形”区域的面积小于
3.
其中，所有正确结论的序号是
A.
①
B.
②
n−1
C.
①②
D.
①②③
7.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
+2a
2
+⋅⋅⋅+2a
n
=n⋅2
n
，记数列
{
a
n
−tn
}
的
前
n
项和为
S
n
，若
S
n
≤S
10
对任意
的
n∈N
*
恒成立，则实数
t
的取值范围是（
）
A.
,
1110
1211
B.
1211
,
1110
C.
,
109
1110
D.
1110
,
109
e
2
8.
已知
a=22−2,b=,c=ln2
，则（
）
7
A.
a>b>c
C.
c>a>b
B.
b>a>c
D.
b>c>a
二､多项选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求
.
全部选对的得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分
.
9.
已知正四面体
P−ABC
的棱长为
2
，下列说法正确的是（
）
A.
正四面体
P−ABC
的外接球表面积为
6π
B.
正四面体
P−ABC
内任意一点到四个面的距离之和为定值
C.
正四面体
P−ABC
的相邻两个面所成二面角的正弦值为
1
3
D.
正四面体
Q−MNG
在正四面体
P−ABC
的内部，且可以任意转动，则正四面体
Q−MNG
的体积最
大值为
22
81
10.
历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有
n
(
n≥2
)
封不同的信，投入
n
个对应的不同的信箱，他
把每封信都投错了信箱，投错的方法数为
a
n
.
例如两封信都投错有
a
2
=1
种方法，三封信都投错有
a
3
=2
种
n
(
a
n
+a
n−1
)(
n≥3
)
.
高等数学给出了泰勒公式：
方法，通过推理可得：
a
n+1
=
x
2
x
3
x
n
e=
1
+
x
+++++
，则下列说法正确的是（
）
n
!2!3!
x
A
.
a
4
=9
B.
a
n+2
−
(
n+2
)
a
n+1
为等比数列
{}
a
n
(−1)
2
(−1)
3
(−1)
n
C
.
=+++
(
n≥2
)
n!2!3!n!
D.
信封均被投错的概率大于
11.
下述正确的是（
）
A.
若
x∈R
，则
x
(
10−x
)
的最大值是
25
1
e
−x
2
+x−4
B.
若
x>0
，则的最大值是
−3
x
C.
若
x∈
0,
4
π
sinx+
，则的最小值是
4
sinx
2
D.
若
x∈
0,
π
2
，则
924
+−
的最小值是
12
sin
2
xcos
2
xcosx
12.
平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是
1675
年卡西尼在研究土星及其卫
星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系
xOy
中，
M(−2,0)
，
N(2,0)
，动点
P
满足
|PM|⋅|PN|=5
，则下列结论正确的是（
）
A.
点
P
的横坐标的取值范围是
−5,5
B.
OP
的取值范围是
[
1,3
]
C.
PMN
面积的最大值为
5
2
D.
PM+PN
的取值范围是
25,5
三､填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分
.
13.
设等比数列
{
a
n
}
满足
a
1
+a
3
=10
，
a
2
+a
4
=5
，则
a
1
a
2
…a
n
的最大值为
___________
．
14.
已知
(
x+y
)
的展开式的二项式系数和为
128
，若
(
2x+3
)
=a
0
+a
1
(
x+2
)
+a
2
(
x+2
)
+⋅⋅⋅+
________
．
a
n
(
x+2
)
，则
a
1
+a
2
=
n
nn2
15.
已知平面直角坐标系
xOy
中向量的旋转和复数有关，对于任意向量
x=
(
a,b
)
，对应复数
z=a+bi
，
acos
θ
−
向量
x
逆时针旋转一个角度
θ
，得到复数
z
′
=
(
a+bi
)(
cos
θ
+isin
θ
)
=
bsin
θ
+i
(
asin
θ
+bcos
θ
)
，于是对应向量
x
′
=
(
acos
θ
−bsin
θ
,asin
θ
+bcos
θ
)
．这就是向量的旋转公
式．已知正三角形
ABC
的两个顶点坐标是
A
(
1,4
)
,B
(
3,2
)
，根据此公式，求得点
C
的坐标是
_______
．（任写一个即可）
′
(
x
1
)
=
16.
定义：如果函数
f(x)
在
[a,b]
上存在
x
1
,x
2
(
a 1 2 ) ，满足 f ′ ( x 2 ) f= f(a)−f(b) ， a−b 则称数 x 1 ， x 2 为 [a,b] 上的 “ 对望数 ” ，函数 f(x) 为 [a,b] 上的 “ 对望函数 ” ，给出下列四个命题： （ 1 ）二次函数 f(x)=x 2 +mx+n 在任意区间 [a,b] 上都不可能是 “ 对望函数 ” ； （ 2 ）函数 f(x)= 1 3 x−x 2 +2 是 [0,2] 上的 “ 对望函数 ” ； 3 π 11 π , 上 的 “ 对望函数 ” ； 66 （ 3 ）函数 f(x)=x+sinx 是 （ 4 ） f(x) 为 [a,b] 上的 “ 对望函数 ” ，则 f(x) 在 [a,b] 上不单调； 其中正确命题的序号为 __________( 填上所有正确命题的序号 ) 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明､ 证明过程或演算步骤 . 17. 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 a3,b2,== （ 1 ）求角 A ； （ 2 ）求 cos ( 3B+C ) 的值 . 18. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1 =1 ，且 na n+1 =2S n ，数列 { b n } 满足 b 1 = 都有 b n+1 =b n b n+2 ． （ 1 ）求数列 { a n } 、 { b n } 的通项公式； （ 2 ）设 T n = 2 2b−ccosC . = cosAa 1 1 ， b 2 = ， ∀n∈N ∗ ， 4 2 ∑ ab ， ∀n∈N ii i=1 n ∗ ， λ nT n +2b n S n >2 ( λ n+3b n ) 恒成立，求实数 λ 的取值范围． 
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