第四章 第二节 与圆有关的位置关系(含答案)---九年级数学同步-学而思_百

2024年3月23日发(作者：餐桌上的故事)

第二节 与圆有关的位置关系

1. 点和圆的位置关系

点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，设

⊙O

的半径为

r,

点P和圆心0的距离为d，则有：

dr

点在圆内；

dr

点在圆上；

dr

点在圆外．

2.确定圆的条件

（1）确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定点）；②半径（定长），确定圆的大小．

(2)过已知点的圆：

①过已知一点，可以有无数个圆．

②过两点也有无数个圆，圆心在两点组成线段的垂直平分线上．

③不在一直线上的三点可以确定一个圆．

注：①“不在一直线上”这个条件不能忽视，在同一直线上的三点不能作圆．

②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．

3.三角形的外接圆

（1） 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的。交点，叫做三角

形的外心．这个三角形叫圆内接三角形．

（2）外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

注：三角形的外心不一定在三角形内部，锐角三角形外心在形内，直角三角形外心是斜边中点，钝角三角形外

心在形外.

4. 直线和圆的位置关系

直线和圆的三种位置关系可归纳成下表：

5. 切线的性质与判定

(1)切线的性质定理内容是：圆的切线垂直于经过切点的半径.

推论1.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，

注：①用几何语言可写成：直线

l

与⊙

O

相切于点

AOAl.

②性质定理和两个推论合起来可以统一成这样一个定理：一条直线如果满足a．过圆心；b．过切点；c．垂

直于切线，这三个条件中的任何两条，则第三个结论必成立．

（2）切线的判定：经过半径的外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）切线长：从圆外一点引圆的切线，此点和切点之间的线段的长就叫做这点到圆的切线长．如果从圆外一点引

圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

6 . 三角形的内切圆

和三角形的三边都相切的圆是三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，此三角形叫做圆的外切三角

形．类似地可以定义多边形的内切圆，以及圆的外切多边形．

注：①三角形的内心是三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．

②三角形的内心位置与三角形的形状无关，都在三角形的形内，

7. 圆与圆之间的位置关系

设⊙

O

1

,

⊙

O

2

,

的半径分别为

r,R

（其中

Rr

)．两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：

注：两圆的外切和内切统称为相切，即我们说两圆相切时应注意分外切和内切两种情形讨论，同心圆是内含的一种

特殊情形．

1.判定一条直线是圆的切线的方法共有三种

(1)根据定义，如果一条直线和圆只有唯一公共点，那么这条直线是圆的切线；(2)根据等价关系

dr

直线和圆相切；(3)根据切线的判定定理，经过半径的外端且垂直于此半径的直线是圆的切线．这三种判定方

法中(2)(3）两种方法是证题过程中经常用到的.

2. 关于处理切线相关问题的基本依据