三角形的重心外心与内心

2024年3月23日发(作者：关于梅花的古诗词)

三角形的重心外心与内心

三角形是几何学中最基本也是最重要的图形之一，它由连结三个非

共线点而成。三角形具有许多重要的性质和特点，其中包括重心、外

心和内心。本文将从重心、外心和内心的定义、性质、计算方法以及

应用等方面进行探讨和讲解。

一、重心

重心是一个三角形内部一个特殊点，它由三个三角形的垂直平分线

的交点所确定。垂直平分线是由三角形的顶点连结对边中点而成。

重心的性质如下：

1. 重心所在的垂直平分线，将三角形分成两等面积的三角形。（垂

直平分线将底边分成相等的两部分，因此上下两个三角形面积相等）

2. 重心到三角形的各顶点的距离，分别相等且比重心到任意其他点

的距离短。（重心是三角形内到各顶点距离之和最短的点）

3. 三角形的重心是三角形内所有到各顶点距离之和最小的点。

计算重心的方法：

设三角形的顶点分别为A、B、C，重心为G，则重心的坐标为：

x = (x1 + x2 + x3) / 3

y = (y1 + y2 + y3) / 3

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。

二、外心

外心是一个三角形外接圆的圆心。三角形的外接圆是经过三个顶点

的圆。

外心的性质如下：

1. 三角形的三条边都是外接圆的直径。

2. 外心到三个顶点的距离都相等，且外心到任意一边的距离等于该

边的半径。

计算外心的方法：

设三角形的顶点分别为A、B、C，外心为O，半径为r，则外心的

坐标为：

x = ((x1^2 + y1^2)(y3 - y2) + (x2^2 + y2^2)(y1 - y3) + (x3^2 +

y3^2)(y2 - y1)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))

y = ((x1^2 + y1^2)(x2 - x3) + (x2^2 + y2^2)(x3 - x1) + (x3^2 +

y3^2)(x1 - x2)) / (2(x1(y3 - y2) + x2(y1 - y3) + x3(y2 - y1)))

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标。

三、内心

内心是一个三角形内切圆的圆心。三角形的内切圆是与三边相切的

圆。

内心的性质如下：

1. 三角形的三条角平分线交于内心。

2. 内心到三个顶点的距离都相等，且内心到边的距离等于内切圆的

半径。

计算内心的方法：

设三角形的顶点分别为A、B、C，内心为I，半径为r，则内心的

坐标为：

x = (ax1 + bx2 + cx3) / (a + b + c)

y = (ay1 + by2 + cy3) / (a + b + c)

其中，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)分别是点A、B、C的坐标，a、b、

c分别是边BC、AC、AB的长度。

这是关于三角形的重心、外心和内心的一些基本介绍和讨论。这三

个点在三角形的研究和应用中起到了重要的作用。重心、外心和内心

都是由三角形的特殊性质所确定，它们在几何学和其他学科中都有广

泛的应用。通过计算可以得到重心、外心和内心的坐标，这些坐标在

解决各种问题和设计中都具有重要的参考价值。