(完整版)新北师大初三数学下册圆知识点汇总

2024年3月23日发(作者：海宁观潮)

圆

一. 点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d

③点在圆外 <===> d>r.

二. 圆的对称性:

※1. 与圆相关的概念：

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

．．．

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

．．

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

．．．

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

．．．

※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相

等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

三. 圆周角和圆心角的关系:

※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.

※2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也

相等；

※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

四. 确定圆的条件:

※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平

分线上.

※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的

外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.

(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.

五. 直线与圆的位置关系

※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①d 直线L和⊙O相交.

第1页

②d=r <===> 直线L和⊙O相切.

③d>r <===> 直线L和⊙O相离.

※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.

※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.

①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.

※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三

角形叫做圆的外切三角形.

※5. 三角形内心的性质:

(1)三角形的内心到三边的距离相等.

(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.

由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.

六. 圆和圆的位置关系.

※1. 两圆位置关系的性质与判定:

(1)两圆外离 <===> d>R+r

(2)两圆外切 <===> d=R+r

(3)两圆相交 <===> R-r

(4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r)

(5)两圆内含 <===> dr)

※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.

※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

七. 弧长及扇形的面积

※1. 圆周长公式:圆周长C=2



R (R表示圆的半径)

※2. 弧长公式: 弧长

l

n



R

(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

180

2

※3. 圆的面积公式. 圆的面积

S



R

(R表示圆的半径)

※4. 扇形的面积公式:

扇形的面积

S

扇形

n



R

2



(R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)

360

八. 圆锥的有关概念:

※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:

圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面

圆的周长、圆心是圆锥的顶点.

如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它

的侧面积是:

11

S

侧

cl2



rl



rl

22

S

表

S

侧

S

底面





rl



r

2





r(rl)

第2页

九. 与圆有关的辅助线

1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.

2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.

3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.

4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.

十. 圆内接四边形

若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个

四边形的外接圆.

圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;

②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.

十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理

※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平

_

A

分两条切线的夹角。

如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B

∴PA=PB，PO平分∠APB

_

O

※2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B

_

B

_

6

图

※3．和圆有关的比例线段：

①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

如图8，AP•PB=CP•PD

如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP

2

=AP•PB

※4．切割线定理

①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线

段长的比例中项；

②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积

相等。

如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT

2

=PA•PB

②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA

※5．两圆连心线的性质

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

如图11，⊙O

1

与⊙O

2

交于A、B两点，则连心线O

1

O

2

⊥AB且AC=BC。

※6．两圆的公切线

两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。

如图12，AB分别切⊙O

1

与⊙O

2

于A、B，连结O

1

A，O

2

B，过O

2

作O

2

C⊥O

1

A于C，

公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：

_

P

Ld

2

(Rr)

2

第3页

如图13，AB分别切⊙O

1

与⊙O

2

于A、B，O

2

C∥AB，O

2

C⊥O

1

C于C，⊙O

1

半径为

R，⊙O

2

半径为r，则内公切线长：

L

d

2

(Rr)

2

_

D

_

C

_

B

_A

_P

_O

_B

_A

_O

_

_图

7

_C

D

图8

_C

_D

_B

_O

_P

_A

T_

_图 10

第4页

_D

_A

_O

P_

_B

图

_

9

_C

_A

_O

1

_

_C

_B

_图

11

_O

2

_

_R

_A

_O

1

_

_d

_O

_2

_r

_B

_C

图_

13