专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与内心问题(学生版)

2024年3月23日发(作者：亲子班)

专题27 圆锥曲线与四心问题 微点3 圆锥曲线与

内心问题

专题27 圆锥曲线与四心问题

微点3 圆锥曲线与内心问题

【微点综述】

三角形的“四心”指重心、外心、内心、垂心，它们是三角形的重要几何点，与之相关的数学

问题是数学竞赛的热点问题，也是解析几何的难点问题，这类问题涉及的知识面较广，富有

挑战性，是考查学生能力的“好”点，在高考中常充当“把关题”的重要角色．本文对三角形的

“内心”的几何性质加以归纳，旨在探索解题规律，总结解题方法．

一、三角形内心的定义

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，称为内心，三角形三条内角平分线的交点，就是内心．

二、三角形内心常见结论

设

ABC

的内切圆为圆

I

，切边

AB

于

P

，则有如下重要结论：

（

1

）

I

是

ABC

的内心

aIAbIBcIC0

（其中

a

、

b

、

c

为

ABC

的三条边）；

1

（

2

）

BIC90A

；

2

（

3

）

AP

r

tan

A

2



bca

；

2



ax

A

bx

B

cx

C

ay

A

by

B

cy

C



,

（

4

）内心

I

点的坐标为



；

abcabc



（5）三角形内切圆的半径求法：

①

任意三角形：

r

①

直角三角形：

r

2S

（其中

C

为

ABC

的周长，

S

为

ABC

的面积）；

C

abc

（其中

a

，

b

为直角边，

c

为斜边）；

2

（6）焦点三角形内心轨迹方程：

x

2

y

2

①

设点

M

为椭圆

2



2

1



ab0



的焦点三角形

PF

1

F

2

的内心，则点

M

的轨迹方程为：

ab

x

2

y

2

1



y0



c

2



bc



2

，其中

ca

2

b

2

．





ac



证明：如图

1

，设

M



x,y



,P



x

0

,y

0



，连结

PM

交

F

1

F

2

直线于点

D



x

1

,0



，由三角形内角

答案第1页，共9页

MPPF

1

PF

2

PF

1

PF

2

a



，又平分线定性质知

MDF

1

DF

2

DF

1

DF

2

Dc

cx

0

c

2

x

0

PF

1

a,F

1

Dx

1

c,x

1



2

．

aa



ac



y

,

ax

x

0

,y

0



a

cc

又由

MPMD

，得

c

22

x

0

y

0

x

2

y

2

1,

2

1



y0



a

2

b

2

c



bc



2

．





ac



图1 图2

x

2

y

2

①

设点

I

为双曲线

2



2

1



a0,b0



的焦点三角形

PF

1

F

2

的内心，则有：

ab

（

1

）当

P

在双曲线右支上时，点

I

的轨迹方程为

xa



yb,y0



；

（

2

）当

P

在双曲线左支上时，点

I

的轨迹方程为

xa



yb,y0



．

证明：（

1

）当

P

在双曲线右支上时，如图

2

，设圆

I

与

PF

1

,PF

2

,F

1

F

2

分别相切于点

A,B,C

，

,PAPB,F

2

BF

2

C

．

①

P

在双曲线右支上，

PF

1

PF

2

2a

，即则有

F

1

AFC

1

F

1

AF

2

B2a

，又

FCF

2

C2a

，设

C



x



,0



，则有

x







c







cx





2a

，化简，有

1

x



a

．从而知总圆

I

与

x

轴相切于点

C



a,0



，又

ICx

轴，故点

I

的轨迹方程为

xa

．

a

y



c



ca

,yb

且

y0

．

tan

设

I

的纵坐标为

y,PF

1

F

2





，则有

b

ca2b

c

1

综上所述，点

I

的轨迹为

xa



yb,y0



．

（

2

）仿照（

1

）的证明可证得：当

P

在双曲线左支上时，圆

I

总与

x

轴相切于点

C



a,0



，

点

I

的轨迹为

xa



yb,y0



．

三、典型例题精析

答案第2页，共9页