圆的知识点总结(史上最全的)

2024年3月23日发(作者：最好的生活)

圆的总结

集合：

圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹：

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；

3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线

点与圆的位置关系:

点在圆内 d

A

d

点在圆上 d=r 点B在圆上

r

O

点在此圆外 d>r 点A在圆外

B

d

直线与圆的位置关系:

C

直线与圆相离 d>r 无交点

直线与圆相切 d=r 有一个交点

d=r

直线与圆相交 d

r

d

r

d

圆与圆的位置关系:

d

外离（图1） 无交点 d>R+r

d

r

r

R

外切（图2） 有一个交点 d=R+r

R

相交（图3） 有两个交点 R-r

内切（图4） 有一个交点 d=R-r

图4

内含（图5） 无交点 d

图5

d

d

d

r

r

R

R

Rr

图1

图2

图3

垂径定理:

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤

BCBDACAD

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD

..

A

D

C

O

O

E

B

A

C

圆心角定理

B

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对

的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只

要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个

结论也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE

③OC=OF ④

BAED

圆周角定理

圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角

∴∠AOB=2∠ACB

D

E

F

O

D

A

C

B

C

B

O

A

圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

B

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB是直径

B

C

推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角

形

即：在△ABC中，∵OC=OA=OB

BA

O

∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线

等于斜边的一半的逆定理。

弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

即：∵MN是切线，AB是弦

∴∠BAM=∠BCA

圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°

∠DAE=∠C

切线的性质与判定定理

（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线

C

D

C

O

A

C

O

A

O

B

N

AM

C

D

B

A

E

..