中考数学圆内心外心

2024年3月23日发(作者：调研工作)

圆重、难点突破

前言：元月调考圆的知识占据较大比重，这里抓出一些常考的重点、难点题型做专项训练。

第1个问题 内心、外心知多少

【2013元调 第10题】

如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）

A、

AIBAOB

B、

AIBAOB

C、

2AIB

C

11

AOB180

o

D、

2AOBAIB180

o

22

I

O

B

分析：外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点

A

三角形外接圆的圆心，圆心到3个顶点的距离相等，它是三边的垂直平分线的交点。

内心：圆在三角形内，与三边都相切

三角形内切圆的圆心，圆心到三边的距离相等，它是三个内角平分线的交点。

∠AIB和∠AOB 都与 ∠C 有关系，∠AOB=2∠C，

∠AIB=180°



（∠IAB+∠IBA）=180°



C

111

（∠A+∠B）=180°-∠C）=90°+∠C



（180°

222

C

I

A

O

B

A

A

B

外心和内心的考查很频繁

外心考查重点：①圆周角与圆心角的转换，如2013中考第22题

如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，则∠BEC=∠BOD

E

O

D

C

B

②直角三角形的外心是斜边的中点，反之说明是直角三角形（2013中考第25题）

内心的考查更灵活：常考角度、面积

111

（1）

BOC90

o

A,BOA90

o

C,AOC90

o

B

222

1

（2）

S

V

ABC

(abc)r

，a、b、c为三边长，r是内切圆的半径

2

A

D

O

B

EC

F

当

BAC90

o

时，四边形ADOF为正方形，

r

abc

2

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圆重、难点突破

【例题1】如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，连接

PI交⊙O于点M，IN⊥BP于N，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；

④

2

INOB

=

2

PM

；其中正确的个数有________________

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

分析：

①题目中给出直径、圆上的点这样的字眼

想到：直径所对圆周角等于180度，则△ABP是直角三角形

②I为内心，内心与三角形顶点的连线即为内角平分线

则PI平分

APB

，所以∠APM=45°。

圆中题目涉及角平分线的，除了满足角平分线本身的性质与定理外，还要注意

P

45

N

I

A

x

x

45

B

M

P

N

I

弧、弦、角、距四组量，有角等，其余皆成立。这里

APMBPM

，则AM=BM

则△AMB为等腰直角三角形，AM=BM，AB=

③欲证AB=

2

AM

x

2

IM，则证IM=AM 或 IM=BM 即可。令

IABIAPx

，则

A

x

45

B

IAM45x,AIM45x

（内心性质、外角等于不相邻2内角之和）

④对于∠BIM=∠BAP这个结论，最好的办法是取极端位置迅速判别，

若P在

»

AB

中点处，显然∠BIM=∠BAP不成立

⑤式子看起来很复杂，看见

2

联系等腰直角三角形。本题的主线是

内角平分线，新观察上有针对训练，这里不多复述。过点M作AP、BP

P

N

I

A

C

D

O

B

M

2

边的垂线，易证PCMD为正方形。AB=2OB，则IM=AM=

AB，

2

而AB=2OB，所以IM=

2

OB，又PI=

2

IN，所以

PM=

2

（IN+OB），证毕

M

【例题2】（2013黄冈一模）如图，△ABC中，下面说法正确的个数是（ ）个

①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；

②若O是△ABC的，∠A=50°，则∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；

④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；

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