四年级精品课程讲义-基本原理部分学生版

2024年3月23日发(作者：哀郢)

四年级精品课程讲义 基本原理部分

加乘原理

抽屉原理

容斥原理

2填空

2012 2011

2填空

1填空

2010

1填空

1填空

2009

1大题

1填空

2008

1填空

板块一、加法原理和乘法原理

知识点：1、加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关

2、染色问题解决方法：先解决最麻烦的部分，依次类推，是否需要分类，是当你考虑问题到了最

后发现某块区域的染色方式不是固定的，而是有不同的染色导致不同的结果，那么这时才考虑分

类。

例题精讲

例1． 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，相同两个

车站往返车票不同，那么，这样需要增加多少种不同的车票？若相同的两个车站的票价是相同的，

不同的两个车站之间票价不同，那么现在铁路局共需要制定多少种票价？

例2． 12个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？

例3． 如右图，有一个4×8的棋盘，现将一枚棋子放在棋盘左下角格子A 处，要求每一步只能向

棋盘右上或右下走一步（如从C 走一步可走到D 或E），那么将棋子从A走到棋盘右上角B 处共

有______种不同的走法。

【巩固】如图，中国象棋的棋子“车”按象棋中走法规则沿着棋盘路线的最短路径从左下角走到右

上角，一共有多少种不同的走法？（注：中国象棋中，“车”每一步可以沿直线移动任意多格）

【巩固】一楼梯共

13

级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第

13

级，且要求第

8

级楼梯不能登

上，共有多少种不同走法？

例4． 用1，1，2，3，4排在连续的四个格子里，能形成多少个不同的四位数。

例5． 用五种颜色染下面的图形，相邻两块不同色，有（ ）种方法。

例6． 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如

果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。

例7． 如图1所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成.小兔要从A处走到B处。如果它在

圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次。那么小兔可

以选择的不同的路线有 条。

例8． 过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。其中姐姐的儿

子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件。那么

妈妈送出这5件礼物共有________种方法。

例9． 在所有的三位数中，满足其数字和等于12的三位数共有_______个。

例10． 如图，正方形

ACEG

的边上共有7个点：

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

、

G

，其中

B

、

D

、

F

分别在边

AC

、

CE

、

EG

上，那么以这7个点中任意3点为顶点组成的三角形有（ ）

个。

练习（杯赛真题）

1、如图，某市的街道构成正方形网格，邮递员要从

A

经过

P

到

B

。沿着最短路线走，共有（ ）

种不同的走法。

2、灰太狼住在

A

处，它收到消息，喜洋洋现在在

B

处睡觉。图中的横线和竖线均表示道路，横线

和竖线的交点表示道路的交叉处。灰太狼只能沿着道路走，若它要在最短的时间里抓到喜洋洋，则

它有（ ）种不同的走法。

3、一只兔子沿着方格的边从

A

到

B

,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥

MN

,这只

兔子有（ ）种不同的走法

4、6个人排成一排，甲当排头，乙不当排尾，共有多少种排法？

5、染色问题，5种颜色涂4个区域共有几种涂法？其中区域1、2、3两两相邻，区域4只和3相

邻。

6、从1到400的数中，含有1或4的数有（ ）个。

7、在如图的9个正方形中选取2个正方形涂阴影，有（ ）种方式可以使得涂上阴影的这2个

正方形没有公共边。

8、有一些三位数，三个数字之和是21，这样的三位数有（ ）个。

9、从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成______个不同的三位

数。（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。

10、农历龙年的第一天（即大年初一）是01月23日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该

是0123。我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有02月13日，03月12

日等。那么2012年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第_____天。

板块二、抽屉原理

例题精讲

例1． 据不完全统计，上海徐汇区在2013年将会有2013个小朋友降落到这美好的世界中，请问，

这些孩子中，生日相同的至少有

_______

人。

例2． 一个布袋中有白、黄、红三种颜色弹珠各有20个，另外还有7个蓝色的，6个彩色的弹珠，

试问一次至少取出

_______

个弹珠，才能保证取出的球中至少有9个弹珠是同一颜色的。

例3． 如下图① ，

A

、

B

、

C

、

D

四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出

1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全

能取到，四只盘中应各有（ ）粒糖果。把各只盘中糖果的粒数填在下图②中。

图① 图②

【巩固】如右图

A

、

B

、

C

、

D

四只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、

或3只、或4只盘中的全部糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几

种？请说明理由。

例4． 某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至

少有多少人得分相同？

例5． 六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少

有多少名学生订阅的杂志种类相同？

例6．

88

的方格网中，每个格子都可以填入1～4 中的任意一个数。对每个“田”字型的四个数

求和，这些和中至少有

_________

个相同。

例7． 现有一个袋子，里面装有8种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有50个，则在这个袋

子中至少要取出

_______

个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少

有10个。

例8． 老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得

2

分，不做得

1

分，做错得

0

分。老师说：“可

以肯定全班同学中至少有

6

名同学各题的得分都相同。”那么，这个班至少有多少名同学？

【巩固】老师在黑板上出了两道题，规定每道题做对得

2

分，不做得

1

分，做错得

0

分。老师说：

“可以肯定全班同学中至少有

6

名同学的总得分是相同的。”那么，这个班至少有多少名同学？

例9． 传说地球上有

7

颗不同的龙珠，如果找齐这

7

颗龙珠，并且按照特定顺序排成一个圈就会有

神龙出现。邪恶的沙鲁找到了这

7

颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。请问：运气不好的沙鲁

最坏要试

_______

次才能遇见神龙。

练习（杯赛真题）

1、要想保证至少有5个人相同月份出生，但不能保证有7个人相同月份出生，那么总人数的范围

应该是（ ）人～（ ）人之间。

2、20个黑球，10个白球装在一个布袋里，至少拿出 个才能保证有5个黑球，5个白球？

3、袋中外形完全一样的红、黄、蓝三种颜色的小球各15个。每个小朋友从中摸出2个小球。至

少有

_____

个小朋友摸球，才能保证一定有两个人摸的球一样。

4、一个袋子里有红、白、黄、绿、蓝五种颜色大小相同的球若干个，那么，至少要拿出

_______

个球，才能保证其中5个球的颜色相同。

5、一只布袋里有

50

只大小形状完全一样的球，其中红色的球

10

只，绿色的球

10

只，黄色的球

10

只，

蓝色的球

10

只，其余的是白色的和黑色的球。如果要确保取出同样颜色的球

7

只，至少要取

_______

只球。

6、

100

把锁的钥匙搞乱了，为了确保每把锁都配上自己的钥匙，至多要试

____

次。

7、一群猴子去摘桃子，它们一路走一路摘一路堆，把摘得的桃子任意分成许多堆。其中一只猴子

发现，从这几堆桃子中任意拿出4堆，其中至少有两堆桃子，它们的数量之差是3的倍数。你认为

它的发现对吗？请说明理由。

板块三、容斥原理

例题精讲

例1． 新学期到了，四（1）班的每位学生都订了《数学报》、《阅读报》、《英语报》中的两种，其

中订《数学报》的有22人，订《阅读报》的有21人，订《英语报》的有25人，问四（1）班同时

订《阅读报》、《英语报》的有多少人？

例2． 一个书架上有数学、语文、英语、历史4种书共35本，且每种书的数量互不相同。其中数

学书和英语书共有l6本，语文书和英语书共有17本：有一种书恰好有9本，这种书是 书。

例3． 四年级一班的学员报名参加兴趣小组，参加语文兴趣小组的有

20

人，参加数学兴趣小组的

有

25

人，参加体育兴趣小组的有

22

人，有

23

人报名只参加了两个兴趣小组，有

3

人报了三个兴趣

小组，没有人不参加兴趣小组，则四年级一班有多少个人？

例4． 如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米。阴影部分的

面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平

方厘米？

例5． 将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然

后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？和最小是多少？

。

例6． 50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按

1

、

2

、

3

学还有多少名？

49

、50依次报数；再

让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同

例7． 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍等分成4份；第二种刻度线将木棍

等分成6份；第三种刻度线将木棍等分成8份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成

几段？

例8． 在不大于

2010

的自然数中，能被

7

整除或能被

11

整除或能被

13

整除的数有多少个？

例9． 甲、乙、丙三人浇花，甲浇了

68

盆，乙浇了

62

盆，丙浇了

56

盆。已知共有花

90

盆，则三

人都浇了的花至少有多少盆？

【巩固】某次联合国每年都会举行一次大会。拒不完全统计，今年与会人员共有202人，其中会英

语的181人，会汉语的157人，会日语的136人，会法语的147人，并且与会人员至少会这四种语

言中的一种，问本次参加会议的人员，以上四种语言都会的至少有多少人？

练习

1、某次考试，通过语文考试的有53人，通过数学考试的有41人，通过语文考试但没有通过数学

考试的有34人，那么通过数学考试但没有通过语文考试的有（ ）人。

2、希望小学四年级有50名学生，有26人参加乒乓比赛，21人参加篮球比赛，两项比赛都不参加

的有17人。两项比赛都参加的有（ ）人。

3、四年级同学参加学校举行的运动会，参加百米跑、跳高、跳远这三项。参加百米跑的有

24

人，

参加跳高的有

28

人，参加跳远的有

26

人；既参加百米跑又参加跳高的有

12

人，既参加跳高又参加

跳远的有

9

人，既参加百米跑又参加跳远的有

14

人；三项都参加的有

5

人。四年级同学参加运动会

比赛的共有

_______

人。

4、四年级三个班为敬老院的老爷爷、老奶奶做了许多好事，其中28件不是一班做的，29件不是

二班做的，31件不是三班做的。那么一班为敬老院的老爷爷、老奶奶做了（ ）件好事。

5、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没

有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、篮球、游泳

17 18 15 6 6 5 2

求这个班的学生数。

6、在一根木棍上标记上十等分点后再标记上十五等分点，然后在标记点上将木棍截开，那么木棍

将被截为（ ）段。

7、将1~8分别写在正方体的8个顶点处，使得每个面上4个顶点的数的和相同，这个相同的和等

于（ ）。

8、有一根长2010厘米的绳子，从左端开始，每隔3厘米做一个记号，每隔4厘米也做一个记号，

然后将标有记号的地方剪断，则绳子共被剪成（1005）段。