数学脑筋急转弯

2024年3月23日发(作者：物理小知识)

数学脑筋急转弯

数学脑筋急转弯题目：

1. 有一个房间里有3个袋子，分别标有“A”，“B”，“C”。袋子

A里有2个红球，袋子B里有2个白球，袋子C里有一红一

白两个球。现在有人随机选择了一个袋子，并从中随机取出了

一个球。他取出的球是红色。请问，他从哪个袋子取出的球的

可能性最大？

2. 有12个硬币，其中有一个是假币，但只能通过天平来判断

出假币比真币轻一些。请问最少需要称几次才能确定假币的位

置？

3. 英国有10个钟楼，每个钟楼放置了一个独特的时钟。有人

声称这些时钟有一个相同的问题，即它们都显示的时间都不准

确，但都一样不准确。现在，一个数学家观察了所有的时钟，

并称只需要观察两个钟楼就可以确定其他所有钟楼的时间。请

问这两个钟楼是哪两个？

4. 有一个植物的种子落在了一个农田的某个位置上，这个种子

每天可以向上生长10厘米，也可以向下生长5厘米。如果种

子向上生长，它将在第3天到达5厘米高度的位置停止生长。

如果种子向下生长，它将在第2天到达15厘米高度的位置停

止生长。如果开始时种子的高度是0厘米，请问种子最早在几

天后会停止生长？

5. 有100盏灯，初始状态下都是关闭的。现在有100个人，每

个人按照以下规则操作：如果灯是关闭的则打开它，如果灯是

打开的则关闭它。第1个人会将所有的灯都打开，第2个人会

将2的倍数的灯关闭，第3个人会将3的倍数的灯进行操作

（如果是关闭则打开，如果是打开则关闭），以此类推。请问

最后有几盏灯是打开的？

解答：

1. 这个问题涉及条件概率和贝叶斯准则。设事件A为从袋子

A中取出红球，事件B为从袋子B中取出红球，事件C为从

袋子C中取出红球。根据贝叶斯准则，我们需要计算P(A|红

球)、P(B|红球)和P(C|红球)的概率。根据贝叶斯准则：

P(A|红球) = P(红球|A) * P(A) / (P(红球|A) * P(A) + P(红球|B) *

P(B) + P(红球|C) * P(C))

P(B|红球) = P(红球|B) * P(B) / (P(红球|A) * P(A) + P(红球|B) *

P(B) + P(红球|C) * P(C))

P(C|红球) = P(红球|C) * P(C) / (P(红球|A) * P(A) + P(红球|B) *

P(B) + P(红球|C) * P(C))

根据题目所给信息，可以得到以下概率：

P(红球|A) = 1

P(红球|B) = 0

P(红球|C) = 1/2

P(A) = 1/3

P(B) = 1/3

P(C) = 1/3

代入计算可以得到：

P(A|红球) = 1 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 2/3

P(B|红球) = 0 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 0

P(C|红球) = 1/2 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 1/3

因此，他从袋子A取出红球的可能性最大。

2. 可以采用二分法，将12个硬币分成3组，每组各包含4个

硬币。然后，将两组放在天平两边进行比较。有三种结果：

- 如果天平平衡，则说明假币在第三组中。将12个硬币分成3

组后，再次将两组放在天平两边进行比较。如果天平平衡，那

么剩下的两个硬币中肯定包含假币，通过一次比较即可找到。

- 如果天平不平衡，那么说明假币在其中一个组中。将不平衡

的那组继续分成2组，再次进行比较。如果天平平衡，则说明

假币在剩下的那组中，通过一次比较即可找到。

- 如果天平不平衡，那么说明假币在其中一组中。将不平衡的

那组继续分成2组，再次进行比较。如果天平平衡，则说明假

币就是剩下的那个未参与比较的硬币。

通过以上思路，最少需要称3次才能确定假币的位置。

3. 可以通过观察每个钟楼的时间与其他所有钟楼时间差的最小

公倍数来判断。假设时钟显示的时间有k分钟的偏移，那么最

小公倍数一定可以被所有钟楼的时间偏移整除。故只需要找到

两个时钟的时间差的最小公倍数就可以推断其他时钟的时间。

4. 种子每天的高度可以用一个数列表示：0, 10, 5, 15, 10, 20, 15,

25, ...。奇数天数种子上升，偶数天数种子下降。我们可以观

察到，种子每隔4天会回到初始高度。所以，种子最早在第4

天会停止生长。

5. 在这个问题中，假设第m盏灯被关了k次，而其他满足m

的正整数倍的灯也会被关闭k次。只有当k是奇数时，第m

盏灯最终才会被打开。这是因为正整数k的因子个数是奇数时，

k才会是奇数。因为正整数的因子总是成对出现的，除非有一

个因子是平方数，则可以单独出现一次。由于平方数的平方根

只有整数时才是整数，所以只有平方数的因子个数是奇数。

所以，问题可以转化为：找到100盏灯中平方数的个数。根据

平方数的性质，1 * 1 = 1，2 * 2 = 4，3 * 3 = 9，...，10 * 10 =

100，共有10个平方数。因此，最后有10盏灯是打开的。