安徽省宣城市泾县中学2021-2022学年高三上学期12月质量检测理科数学试

2024年3月19日发(作者：猪肉丸子汤的做法)

试卷

绝密★启用前

泾县中学2021~2022高三年级质量检测卷数学

（理科）

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答

案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．已知集合

Ax2x5x30

，

Bx2log

2

4

，则

A

A．



x3x



2



x





R

B





（）





1



2



B．

x1x3



C．

x2x3



D．



x





1

x3



2



1ii

2

i

3

i

4

i

2021

i

2022

2．已知复数

z

（i为虚数单位），则

z

的值为（）

1i

A．1 B．

1

2

C．

2

2

D．

1

3

3．已知命题

p:x

0

(0,



)

，

sinx

0

0

，命题

q:x1

，

log

2

x0

，则下列命题为真命题的是

（）

A．

pq

B．

pq

C．

(pq)

D．

pq

4．如图为一几何体的三视图（图中小方格的边长为1），则该几何体的体积为（）

A．9 B．18 C．24 D．36

2

5．已知点

(a,4)

为抛物线

C:y4ax(a0)

上一点，则C的焦点到直线

l:2xy10

的距离

gm

试卷

为（）

A．

5

B．

35

5

C．

3

D．

2

6．2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数

X

i

(i1,2,3,4)

（单

位：辆）均服从正态分布

N600,



2

，若

P



500X

i

700







1

(i1,2,3,4)

，假设四个收费

3

口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（）

A．

8

9

B．

8

27

C．

16

27

D．

65

81

7．已知角





A．

4

9



的终边经过点

(2,4)

，则

3sin

2



sin(







)cos





（）

4

B．

2

C．3 D．9

8．方程

lg|x|3



|x|2020



|x|2022



的解的个数为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

9．已知函数

f(x)3cos(



x



)

（

A0

，



0

，

|



|

点向右平移



2

）的图象如图，将

f(x)

的图象上各



个单位长度后得到函数

g(x)

的图象，则（）

6

A．

g(x)

在区间











,



上单调递增

64



B．

g(x)

的图象的最小正周期为



2

C．

g(x)

的图象关于点









,0



对称

3



D．

g(x)

的图象关于直线

x



对称

22

10．已知圆

C:xy2x0

与直线

l:mxy2m0(m0)

，过l上任意一点P向圆C引切

线，切点为A，B，若线段

AB

长度的最小值为

3

，则实数m的值为（）

gm

试卷

A．

3

2

B．

22

3

C．

33

4

D．

25

5

11．已知偶函数

f(x)

在

(,0)

上单调递减，若

afe

0,6

，

bf(ln2)

，

cflog

0,5

e

，则

a，b，c的大小关系是（）（参考数据：

21.414

，

e2.71828

）

A．

abc

B．

bca

C．

cba

D．

bac





x

2

y

2

2222

12．已知双曲线

C

1

:

2



2

1

（

a0

，

b0

），圆

C

2

:(xb)(ya)ab

．下列判断正

ab

确的是（）

A．点

C

2

在双曲线

C

1

上

B．若双曲线

C

1

的焦距为4，则圆

C

2

的半径大于2

C．双曲线

C

1

的顶点与点

C

2

构成的三角形的面积为

ab

D．若圆

C

2

与x轴和双曲线

C

1

的过第一象限的渐近线都相切，则双曲线

C

1

的离心率为2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知菱形

ABCD

的边长为2，E是

BC

的中点，则

AEED

__________．

2



14．



3

x

．



的展开式中的常数项为__________（用数字作答）

x



15．已知锐角

△ABC

的面积为9，

ABAC

，点D在边

AC

上，且

CD2DA10

，则

BD

的

长为__________．

16．已知正三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

的各条棱长均为1，则以点A为球心、1为半径的球与正三棱柱各

个面的交线的长度之和为__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

2

已知数列



a

n



的前n项和为

S

n

，且

2S

n

n3n

，

10

（1）求



a

n



的通项公式；



1



（2）若

b

n







4



n2

a

n

，求数列



b

n



的前n项和

T

n

．

18．（本小题满分12分）

gm

试卷

已知正方形

ABCD

的面积为36，如图，

PA

平面

ABCD

，

BE2EC

，

3DFDP

，

PD

与

底面

ABCD

所成角的正切值为

1

．

2

（1）求证：

EF∥

平面

PAB

；

（2）求二面角

AEFB

的余弦值．

19．（本小题满分12分）

为了解社区居民的业余活动，某社区对100名居民业余活动是参加文艺活动还是参加体育活动进行

问卷调查，数据如下表所示：

男性

女性

文艺活动

10

30

体育活动

40

20

（1）是否有99.9%的把握认为参加文艺活动还是体育活动与性别有关？

（2）用频率估计概率，从社区全体居民中随机抽取3人，记X是所抽3人中参加文艺活动的人数，

求随机变量X的分布列与期望

E(X)

．

附：

P



K

2

k



k

2

0.025

5.024

0.010

6.635

0.005

7.879

0.001

10.828

n(adbc)

2

K

(ab)(cd)(ac)(bd)

20．（本小题满分12分）

x

2

y

2

1

已知椭圆

C:

2



2

1(ab0)

的离心率为，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角形

ab

2

的面积为

3

．

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，且

OAOB0

，证明：存在定点P，使得点P到直线l的

距离为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数

f(x)lnx2x

1

．

a

（a为常数）

x

gm

试卷

（1）若

f(x)

的极大值是3，求a的值；

（2）当

aln2

时，对任意

x0

，

f(x)

k1

x(kZ)

恒成立，求整数k的最小值．

e

x

x

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题

计分．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程



3

x3t





2

（t为参数）在平面直角坐标系

xOy

中，直线l的参数方程为：



，以坐标原点O为极



y

1

t



2

2

点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为



sin



4cos



0

．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）已知

P

0

(3,0)

，直线l与曲线C交于

P

1

，

P

2

两点．求

P

0

P

1

P

0

P

2

的值．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

y

1

．

4

（1）若

|7y|2x3

，求x的取值范围；

设实数x，y满足

x

（2）若

x0

，

y0

，求证：

xyxy

．

泾县中学2021~022高三年级质量检测卷·数学（理科）

参考答案、提示及评分细则

1．B由题意得

A



x





1

x3



，

B



xx1



，所以

A



R

B







x1x3



．故选B．

2



1ii

2

i

3

i

4

i

2021

i

2022

i11

i

，所以2．C因为

1iii0

，所以

z

1i1i22

23

2



1



1



．故选C．

|z|









222



3．D因为对

x(0,



)

，

sinx0

，故p为假命题，因为

ylog

2

x

在

(0,)

上单调递增，所以

22

log

2

xlog

2

10

，当

x1

时，故q为真命题，所以

pq

、

pq

、

(pq)

为假命题，

pq

为真命题．故选D．

4．B依题意，该几何体是正方体中的一个三棱锥

DABC

，如图，

gm

试卷

由已知得三棱锥

DABC

的底面

ABC

的面积为

为

9618

．故选B．

22

5．A由题意，得

164a(a0)

，所以

a2

，故C的方程为

y8x

，故其焦点F的坐标为

1

639

，高

BD6

，所以该几何体的体积

2

1

3

(2,0)

，所以F到直线l的距离

d

|2(2)01|

5

．故选A．

5

6．D根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率

P



X

i

700





11



1



1

1P500X700









1



(i1,2,3,4)

，所以这四个收费口每天

i



22



3



3

4



1



65

至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率

p1



1





．故选D．



3



81

7．C因为角





9



1



9





的终边经过点

(2,4)

，所以

tan











2

．即

tan











2

，即

4



4



4



tan



1

2

，解得

tan



3

，所以

3sin

2



sin(







)cos



3sin

2



sin



cos



1tan



3sin

2



sin



cos



3tan

2



tan



393

3

．故选C．

222

sin



cos



tan



191

8．C方程

lg|x|3



|x|2020



|x|2022



解的个数等价于函数

ylg|x|

的图象与函数

画出它们的图象，易得其公共点的个数为6．故

y3



|x|2020



|x|2022



的图象交点个数，

选C．

9．A依题意函数

f(x)

的图象的最小正周期为

4

















，所以



2

，所以

312













2











0

，因为

|



|

，所以





，所以

f(x)3cos(2x



)

．由

f



0

得

cos



26



3





3



























f(x)3cos



2x



，由题意，得

g(x)3cos



2



x







3cos



2x



3sin2x

，

6



6



6



2











故A正确，B、C、D错误．故选A．

gm

试卷

22

10．D圆

C:(x1)y1

，设

ACP





0













则

|AB|2sin



，因为

|AB|

min

3

，



，

2



所以

(sin



)

min



3





1

1

，又

0





，所以







，又

|CP|

，所以

|CP|

min

2

，



2

232cos



cos

3

25

．故选D．

5

即

|m2m|

m

2

1

2

，又

m0

，所以

m

11．B根据偶函数性质，

f(x)

在

(0,)

上单调递增，

cf



log

0.5

e



f



log

2

e



f



log

2

e



，

0ln2lne1

，

e

0.6

1

，

log

2

e1

，又

log

2

elog

2

22

3

3



9



0.6

，

ee





，故

2

2



4



1

2

1

2

ln2log

2

ee

0.6

，故

f(ln2)f



log

0.5

e



fe

0.6

，即

bca

，故选B．



b

2

a

2

12．D对于A，由已知得点

C

2

(b,a)

，代入双曲线得

2



2

1

，不恒成立，故A错误；对于B，

ab

因为若双曲线

C

1

的焦距为4，所以

a

2

b

2

4

，所以

ab2

，当且仅当

ab2

时取等号，即

圆

C

2

的半径不超过2，故B错误；对于C，由已知可得

C

1

的顶点与点

C

2

构成的三角形的面积为

x

2

y

2

1

2

2aaa

，故C错误；对于D，双曲线

2



2

1

（

a0

，

b0

）的过第一象限的渐近

ab

2

线方程为

bxay0

，所以

b

2

a

2

a

2

b

2

ab

，因为

a

2

b

2

c

2

，所以

b

2

a

2

abc

，由圆与x

1

，所以双曲线的离心率

3

轴相切可得

aab

，即

b1

，所以

1a

2

ac

且

a

2

1c

2

，解得

a

2



b

2

e1

2

132

．所以D正确．

a

1111

BCABAD

，

EDECCDBCBAABAD

,

2222

22

11

因为菱形

ABCD

的边长为2．所以

AEEDADAB2

2

2

2

3

．

44

13．

3

依题意

AEAB

14．3360

T

r1

C

10



r



x



3

10r

205r

205r



2



rr

6





(2)Cx

，令

0

得

r4

，所以展开式

10



6

x



r

gm