牛顿迭代法解元方程组以及误差分析matlab实现

2024年3月18日发(作者：万难)

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举例，给定方程组为：

先用matlab自带函数solve解此方程组，确定牛顿迭代时的初值范

围，得到根为：



x108.848937



作图验证：

y0.8493476



此组值确为方程的根。

通过观察我们可以发现y的取值必须大于0。这在程序中必须说明，

如果迭代过程中y小于0，则此迭代法发散。

误差分析：因为范数等价的原因，我们选择2范数。将两次相邻迭代

差

x

n1

，x

n

与x

n

的2范数的比值，即相对误差

的2范数作为误差，

存储与一个向量或矩阵中，并作出曲线图，观察迭代过程中误差的变

化情况。

如选初值为(12，0.3)，得到误差图形为：

选初值为(12，1.2)，误差图为：

我们可以发现误差在前3-5次迭代的时候迅速下降，但是中间会有上

升的过程，直至最后误差达到我们设定的误差值。由此猜想迭代过程

可能漏掉了一些根，利用作图，得到曲线如下：

可以发现还有两组根，用牛顿迭代法只能得到一组值，可能是因为所

给方程比较特殊，它的定义域中x,y均不能为0，导致函数不连续。

另外，也可能因为函数不连续，导致初值只能在根的附件变化时才能

得到收敛的结果。

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因此我们不妨将初值选的稍微小一些，如:[1,2]，得到根为

选初值为[-1,4]，得到根为

综上所述，此方程组有三组根，不同的初值，会得到不同的解的情况，

也会有不同的误差情况。初值选得越接近真值，误差变化程度越小，

迭代次数也越少。

程序在另三个附件中。

同理，对于n元函数方程组，我们有：

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（0）（0）（0）（0）（0）(1)0）



(x

1

(1)

x

（

)x,...,x,x(ff)xx(...f)xx(f)

n2111xnnn1x2221x11



...



.



...



.

（0）（0）



(x

(1)

x

（0）

)f(x

(1)

x

（0）

)f...(xx

（0）

)ff(x

（0）

)x,...,x,

n21nnxnnnnx222nx11



1

x

2

求导，式中，如f

nx2

表示，第n个方程对第二个未知数

的初始值，第一个未x

1

，x

1

分别表示第一个未知数

，以此类推。知数第一次迭代后的值

若系数矩阵[f

1x1

,f

1x2

,...,f

1xn

;......;f

nx1

,...,f

nxn

]的行列式不为0，

同样可解出x

1

,x

2

,...,x

n

的值。

.X

(n1)

牛顿迭代序列依二元方程组，可得到

(n)

)X(F

X

(n)



F'(X

(n)

)

（0）(1)

的值，X

(n)

是第n次X

(n1)

是第n1次迭代得到的各自变量

值.迭代得到的各自变量的

F(X

(n)

)为[f

1

(x

1

,x

2

,...,x

n

),...,fn(x

1

,...,x

n

)]是一行向量.

类似二元方程组，F'(X

(n)

)为系数矩阵.那么利用牛顿迭代法，

n有限时的解.matlab编程，依然可以得到

(n)(n)(n)(n)(n)

误差分析类似二元函数方程组。