时-空守恒元解元(CESE)方法简述

2024年3月18日发(作者：皂荚的功效与作用)

时－空守恒元解元（CE/SE）方法简述

刘凯欣

1

，王景焘

1

，张德良

2

（1北京大学工学院 北京；2中国科学院力学研究所 北京）

摘 要：时－空守恒元解元方法是近年来兴起的一种全新的高分辨率守恒方程型方程计算方法。它具有

物理概念清晰，计算精度高和格式构造简单等优点，是一种具有广阔发展前景的计算流体力学方法。本

文介绍了CE/SE方法的基本理论、格式构造、发展历史、应用情况和最新进展，并指出了应解决的问题

和发展方向。

关键词：CE/SE方法 计算流体力学 守恒律方程组

∗

1 引言

经过40多年的发展，计算流体力学的数值模拟方法已经成为研究流体力学中各种物理现象的重

要工具，它已和实验、理论分析一起构成研究流体运动规律的三大基本方法。有限差分方法是计算流

体力学问题的主要方法。人们为了追求计算结果的高精度和对间断的高分辨率而发展了许多相当成功

的差分格式。其中TVD、ENO、NND等一批高分辨率差分方法能够有效抑制非物理振荡，对间断具

有较高的分辨率；另外，以紧致格式为代表的格式在不减少格式精度的情况下，利用导数项有效地减

少了适用的基点数。近年来，数值方法研究又有新的突破，一些新型算法已经出现。其中有代表性的

算法有时空守恒的CE/SE方法

[1]

、由Boltzmann方程的思想出发的BGK格式

[2]

、基于有限元的间断

Galerkin方法

[3]

以及基于摄动分析的摄动有限差分方法

[4]

。这些方法各有其自身的特点，在一定范围

内能很好的模拟较为复杂的流场，为计算流体力学提供了有效工具。

时－空守恒元解元方法（Space-time conrvation element and solution element method, CE/SE）是

一种全新的守恒方程的计算方法。它最早是由NASA Lewis研究中心的S. C. Chang

[1]

于1995年提出来

的。这种方法从根本上区别于传统的方法：它将时间和空间统一起来同等对待；利用守恒型积分方程，

通过定义解元和守恒元使得局部和整体都严格满足守恒律；只要恰当的定义守恒元和解元的便可以直

接将格式推广到多维情况，而不需要采用算子分裂或者方向交替技术；在给出网格点物理量值的同时

也给出了物理量的偏导数，同传统的差分格式相比，在相同的基点下可以提高格式精度；可以满意地

求解间断流场，具有较高的分辨率；构造比较简单，除了简单的Taylor展开之外，没有采用其他的数

值方法，尤其是不需要采用其他的特征分析数值方法（如Riemann求解器）来捕捉激波、抑制振荡等。

本文首先介绍了CE/SE方法的基本原理，然后介绍了这个方法的发展历史、应用现状，最后指出

了当前需要解决的问题和发展方向。

2 CE/SE方法的基本原理

本节首先以最实用的

a−

α

格式

[5]

为例，简要推导一下一维守恒律方程组的CE/SE格式。考虑一

维守恒律方程组

∂

u

m

∂

f

m

+=

0,

∂

t

∂

x

m

=

1,2,3

(1)

令

x

1

=x

，

x

2

=t

表示Euclidean空间

E

2

中的两个坐标，利用散度定理式(1)可以表示为

∗

国家自然科学基金资助项目 (10572002)

21

󰁶

∫

S(V)

h

m

ids

=

0

(2)

向量

h

m

=

(

f

m

,

u

m

),

m=

1,2,3

这里

S(V)

是求解的时空区域V的边界，

d

s

是

S(V)

外法线单位矢量，

是空间流矢量。将要求解的区域划分成网格点集合

(j,n)

（如图1所示），这里，

n=0,±1/2,±1,±

对于每一个

n

，

j=n±1/2,n±3/2,n±

。解元SE

(j,n)

是如图1中所示的虚线的内部，而与

它相应的解元CE

(j,n)

如图1中矩形区域ABCD，其中

(j,n)

左侧的为CE

-

(j,n)

，右侧的为CE

＋

(j,n)

。这样我们就利用解元把

E

2

空间划分为一些不重叠的矩形区域。假定在解元SE

(j,n)

中

**

u

m

(x,t)

和

f

m

(x,t)

分别由它们的Taylor展开

u

m

(x,t;j,n)

和

f

m

(x,t;j,n)

来近似，如果取到一阶则

有

*

u

m

(

x

,

t

;

j

,

n

)=(

u

m

)

n

j

+(

u

mx

)

n

j

(

x

−

x

j

)+(

u

mt

)

n

j

(

t

−

t

n

)

(3)

*

f

m

(

x

,

t

;

j

,

n

)=(

f

m

)

n

j

+(

f

mx

)

n

j

(

x

−

x

j

)+(

f

mt

)

n

j

(

t

−

t

n

)

(4)

图1 SE和CE的相对位置

将式(3)、(4)代入式(1)可以得到

(

u

mt

)

n

j

=−(

f

mx

)

n

j

(5)

由于

f

m

是

u

m

的函数，所以从式(5)可知我们要求解的变量有

u

m

和

u

mx

，然后我们就可以根据式(5)以

及

f

m

和

u

m

之间的关系得到

f

m

和

u

m

任意的一阶导数。

引入势函数

ψ

m

(x,t;j,n),m=1,2,3

满足

∂

ψ

m

*

(x,t;j,n)

=

f

m

∂

t

(6)

∂

ψ

m

*

(

x

,

t

;

j

,

n

)

−=

u

m

∂

x

22