半线性双曲方程的一个非协调有限元超收敛分析

2024年3月12日发(作者：winsys)

第３５卷第２期　

江西师范大学学报（自然科学版）　

ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ￣ＡＮＧＸＩ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ）　

Ｖｂ１．３５ＮＯ．２　

２０１１年３月　

Ｍａｒ．２Ｏｌ１　

文章编号：１０００—５８６２（２０１　１）ｏ２—０１３１—０４　

半线性双曲方程的一个非协调有限元超收敛分析　

乔保民　

（商丘师范学院数学系，河南商丘４７６０００）　

摘要：在各向异性条件下，利用有限元方法对半线性双曲方程的一个非协调元逼近进行了研究，通过新的方　

法与技巧，给出了近似解与精确解的误差估计及超逼近性．最后，通过使用插值后处理技巧得到了整体超收　

敛结果．　

关键词：半线性；双曲方程；各向异性；非协调元；超收敛　

中图分类号：Ｏ　２４２．２１　文献标识码：Ａ　

点的有效途径之一就是采用各向异性剖分，它可以　

０　引言　

考虑下面一类半线性双曲方程：　

”　一Ａｕ＝，（材），　

ｕ　（Ｘ　　

０）＝　（　），　

，

使人们用很少的自由度而得到同样的收敛效果．文　

献［５．９］分别在各向异性条件下，对２阶椭圆等问题　

进行了分析研究．　

（　，ｆ）∈．Ｏｘ（０，　】，　

１　２　

∈，　

Ｘ∈　，　

㈣　

～　

本文在各向异性条件下，讨论一类半线性双曲　

方程半离散格式的非协调元逼近，通过导数转移方　

法和一些特殊技巧，给出了其近似解与精确解的误　

Ｉｔｔ（　，０）＝　（　），

差估计及超逼近性质，同时，通过插值后处理技巧　

为其光滑边　

得到了整体超收敛结果．　

其中　为Ｒ　上的一个有界闭区域，　

界，Ｘ＝（　，　）．　

双曲方程是一类重要的发展方程，关于该方程　

的研究已有很多结果．文献…研究了这类方程解的　

１　单元构造　

为简单起见，不妨假设　是Ｒ２上的一个有界凸　

多边形区域，其边界分别平行于坐标轴　轴和Ｙ轴．　

为　的一个矩形单元剖分族，Ｖ　Ｋ∈Ｊｈ，单　

元　的中心设为（ＸＫ，ＹＫ），沿Ｘ轴方￣ｆｆｌｌｙ轴方向的２　

存在唯一性；文献【２．４】利用有限元方法对其进行了　

收敛性分析．但上述有限元分析都是基于对网格经典　

假设，也就是对剖分的正则性假设或一致性假设，即　

ｈＸ｛ｐＫ≤Ｃ　ｈ／ｈ≤Ｃ，、寸Ｋ∈Ｊｈ，　

ＫＥｄｈ　Ｅ　

其中　是　的一个凸剖分簇，ｈ＝ｍａｘ　，Ｊ；＝ｍｉｎ　，　

条边的边长分别记为２　和２　，单元　的４个顶点　

而　，　分别是一般单元　的最大直径和最大内　

分别为Ｚ￣（ｘＫ—ｈｘ，ＹＫ一　），　Ｚ２（　＋　，ＹＫ—ｂｙ），　

Ｚ３（ＸＫ＋　，ＹＫ十厅　），Ｚ４（　一　，ＹＫ十　），单元Ｋ的４　

条边分别为‘＝Ｚｉ　Ｚｆ＋ｌ（ｍｏｄ４），ｉ＝１，２，３，４．　

在　上定义如下有限元　，　，　）：　

切圆直径．这里及以后出现的Ｃ均表示一个常数且　

与ｈ无关，不同的地方可以取不同的值．然而，在实　

际应用中，对于直接定义在窄边区域上的问题，如　

果采用上面传统的正则剖分，总体自由度的增加将　

会使计算量非常大．另一方面，由于方程的解在其　

定义域上的变化经常是不均衡的，往往表现为某一　

部分变化平缓，某一部分变化剧烈，所以正则性网　

｛　，　，　，　，Ｖ５｝，　ｓｐａｎ｛１，　，Ｙ，　（　），　（　）｝，　

其中　ｄｓ＿１，２’３，４，１２５　Ｉ￣Ｉ　Ｌｖｅｘｄｙ，　

）＝（３ｔ　一１）／２．　

格不能很好地体现解的这种性质．这时解决这一难　

有限元空间定义为　

收稿日期：２０１１．０３．０１　

基金项目：国家自然科学￣（１０９７２１１９），河南省自然科学基金（Ｏ９２３０ｏ４ｌＯ１４１）和河南教育厅自然科学基金（２０ｌＯＡｌｌ００ｌ４）资助项目　

作者简介：乔保民（１９６３一），男，河南宁陵人，副教授，主要从事有限元理论及应用的研究．　

１３２　江西师范大学学报（自然科学版）　２０１１矩　

Ｖｈ＝｛ｖ　；ｖｈＩ　∈　，　∈　，　

时，［　］＝　．　

＝０，Ｆｃ　ＯＫ｝，　

代入（３）式，整理得　

Ａ专　十Ｂ芎＝ｃ（ｏ，　

（０）＝　，　

芎ｊ　＝＿Ｂｊ，　

这里【１，　】表示ｖ　跨过边界Ｆ的跳跃度，当Ｆ［０．６２　

在空间Ｖ　上定义ｌＩ．１ｉｂ＝（∑１．Ｉ　）“　，其中　

其中Ａ＝（口ｆ

，）…，ａｉ

，，　

＝

（　，　），Ｂ＝（６ｆ，　）…，ｂｉ，　

＝

１．１ｌ，　＝ｆＶｖＶｖｄｘｄｙ．容易验证　为空间Ｖ　上的范　

数．记　为通常意义下Ｓｏｂｏｌｅｖ空间　（　）的　

ｃＶ　ｃｃ　ｃ　

（＼　，（＼　　／ｌ＝１　　，　・　

范数，Ｈ　（　）＝ＷＳ，２（　），ｌＩ．１１　＝　，０≤　＜ＯＯ．显　

然Ｖ　础（　）．　

插值算子／ｈ：Ｈ　（　）　定义如下：　

　ｌｌ＿ＩＪ（　Ｖ—ｖ）ｄｓ＝０，ｉ＝ｌ，２，３，４，　

＝　

，　

：

｛【　　（　

Ｖ－－Ｖ）　＝０・　

插值算子，＾具有下列性质．　

引理１　Ｖｕ∈　（　）ｎ　（　），有　

ｌ　ｌ一Ｉｈ＂Ｉｌ０＋　ｌｌ“一　“１Ｉｈ≤Ｃｈ　Ｉｕ１２，　

同时，Ｖｖ∈Ｖ　有　

（Ｖ　一／ｈ“），Ｖｖ）＾＝（Ｖ（ｕｔ一　ｕｔ），Ｖｖ）＾＝０．　

２方程的有限元逼近及收敛性分析　

假定问题（１）中的ｆ（ｕ，　）满足：　

（Ａ）具有本文论证所需的各阶有界偏导数且偏　

导数有界；　

（Ｂ）对变量甜满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续条件．　

问题（１）的变分形式可写为：Ｖｔ≥０，求ｕ（ｔ）∈　

（　），使得Ｖｖ∈　（　）有　

Ｉ（　，Ｖ）＋（Ｖｕ，Ｖｖ）＝（　（“），Ｖ），　

｛ｕｔ（０）＝５ｆ，（　），　（２）　

Ｉ甜（０）＝　（　），　

其中（　）　ｊ　“　，ｇ／ｔ（０）　（　，０），　（０）　０）・　

于是（２）式有限元半离散格式为：求Ｕ　∈Ｖ　，　

使得Ｖｖ∈Ｖ　，　

（　，ｖ）十（Ｖ　，Ｖｖ）＾＝（厂（　），ｖ），　

（０）＝　（　），　（３）　

“　（Ｏ）：Ｉｂｍ（Ｘ），　

其中（・，・）＾＝∑（・，・）．　

引理２问题（３）的解是存在且唯一的．　

证设　｝是　的一组基，令　

Ⅳ　

材　（　，ｆ）＝∑白（ｆ）ｙ』，　

，

Ｐｉ由　（　），　（　）确定，因Ａ是对称正定矩　

阵，ｆ（ｕ，Ｘ）对变量　满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续条件且为有　

界函数，由常微分方程的Ｃａｒａｔｈｅｏｒｄｏｒｙ定理可知，　

当ｔ＞０时，方程组存在唯一解．　

引理３若“∈Ｈｏ（　）ｎ　（　），则在各向异性下，　

Ｖｖ∈Ｖ　有　

ｌ∑

Ｋ　

ｋ　ｌ≤　ｖｌｌ＾．　（４）　

更进一步，如果＂∈　（　）ｎ　（　），则有　

ｌ　ｄｆ０

Ｋ　￣？／　

ｌ　ｖ　（５）　

引理４　Ｖｖ∈Ｖ　，ＩＩ　ｖＩＩｏ＜ｌ　ｌｖｌＩ＾．　

定理１设　是问题（２）的解，且”　（　）ｎ日　（　），　

∈Ｖ　是问题（３）的有限元解，则　

Ｉ１“一“　ｌｌ　≤ｃ　

ｌ　ｌ　Ｉ：＋（　（Ｉ“　Ｉ；＋ｌ“　ｌ；＋ｌｕｌ２）ｄｒ）ｕ　Ｉ，　

ｌＩ”，一“，　ｌｌ。≤ｃ厅

ｌ　Ｉ“，Ｉ　＋（』　（Ｉ”　＋Ｉ“，ｌｉ＋ｌ　ｕ　ｌ２）ｄｒ）“　１．　

证　ｖｖ∈Ｖｈ

，

由　程（２）和（３）得误差方程　

（　一“　，ｖ）＋（ｖ　一ｖ　，Ｖｖ）ｈ：（ｆ（ｕ　）一厂（”），ｖ）＋　

鼍Ｋｆ　　

记Ｗ＝甜一　“，０＝ｕ　一　，习　么方程（６）变为　

（　，ｖ）＋（Ｖ　，Ｖｖ）＾＝（ｗｉｔ，ｖ）＋（，（材　）一　

）＋　ｋ　．　

取ｖ＝　，则方程（７）变为　

圭　钏　＋Ｉ　≤（ｗｆ，　）　（　）一　

）＋　ｋ　．　’（８）　

（８）式两边对ｆ从０到ｔ积分，并注意到ｏ（ｏ）＝　

ｏＡｏ）：０，有　

（１ｌＯ，　ＩＩｏＩＩ］）＜　（　，Ｏｔ）ｄｆ＋　（　）一　），　）ｄｒ＋　

第２期　乔保民：半线性双曲方程的一个非协调有限元超收敛分析　

Ｃ　Ｃ　Ｃ　

ｄ　ｄ　

１３３　

眶￣ＯｆＫ　ＯＦｔ　ｔ　喜ｑ，　

其中Ｇｌ＝　（　，ＯＡｄｆ，Ｇ　＝　（　

完全类似于定理１中的证明方法，得到　

＋　＋　

ＩｌＯｌｌ　≤ｃｈ　（，　（　．　１“　ｌ　＋Ｉ“，　＋Ｉ“１２）ｄ　ｚＩ、）　１／２．　

＋　

）一／　），Ｏｔ）ｄｆ，　

ｗ　

从而定理２得证．　

Ｇ３　（　出）ｄ　．　

３超收敛分析　

为了得到整体超收敛结果，把相邻４个小单元　

，　，　，　

利用引理１、引理３中的（４）式和引理４，对　

Ｇ（ｉ＝１，…，３）逐项进行估计：　

Ｇ１＝￡（ｗｆｆ，　）ｄｆ≤　ｗｔ，ＩＩ。ＩＩ　ＩＩ。ｄｆ≤　

合并成的一个大单元霞（见图１）．在　

ｃ　＋ｃ　ｄｒ；　

Ｇ２＝

（厂（“　）一　（　），Ｏｔ）ｄｆ≤　

．　

＋Ｉｌ　１１２ｏ）ｄ￣≤　

ｒ＋ｃｈ　ｄｒ≤　

ｒ＋　ｄｒ；　

畦￣／￣ａｎ　　ｔ出卜　ｋ　一　

ｋ　＋　

ｃｈ　ｔ

，　

ｄｒ＋ｃ　ｄｆ．　

整理得　

ＩＩ　＋ＩＩＯｌｌｆ，￣ｃｈ。　（　Ｉ　２＋】ｔ４ｔ　Ｉ；＋Ｉ　ｆ＋　

ｃ　＋ｌｌ　Ｏｌｌ￣）ｄｆ．　

利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，则有　

Ｉ　ＩＩｉｏ≤ｃ　（　（　Ｉ；＋Ｉ　Ｉ　十ｆ“Ｉ￣）ｄＯ“　；　

Ｉ１０１１＾≤ｃｈ（ｆｏ（Ｉ“　ｌ；＋ｌ　，ｌ；＋ｌ　Ｉ￣ｚ）ｄｒ）　．　

由引理１并利用三角不等式，定理１得证．　

定理２设甜是问题（２）的解，且“∈　（　）ｎ　

（　），　∈Ｖ　是问题（３）的有限元解，，＾甜是　的　

有限元插值，则　

ＩＩ　ｕｈ－　“Ｉ　Ｉ≤　。（　Ｊ　２＋Ｉ　　ｌ２＋Ｊ　Ｉ　）　．（９）　

证利用引理３中的不等式（５），对定理１中的　

Ｇ３重新进行估计，有　

＝　

【　出ｊｄｒ≤　触一　

眶ｋ　ｄｒ＜￣ｃｈ４（　２＋　ｌ＋　

ｅｈ　；ｄｒ＋ｃ　ｔ　ｄｆ．　

上，需要构造如下插值后处理算子，２＾：　

Ｉ２＾　ｌ霞∈Ｐ２（Ｒ），Ｖｃｏ∈ｃ（霞），且满足　

１２＾：Ｈ　（霞）　Ｐ２（霞），　

ｆＬｉ（１２ｈＵ－－ｕ）ｄｓ＝０，　ｌ，２，３，４，　

ｆＫ１ｕ　（１￣ｈｕ－ｕ）ｄｘｄｙ　０，ｆｇ２ｕ　（Ｉ２ｈＵ－－ｕ）ｄｘｄｙ　０，　

这里Ｐ２（霞）为霞上次数不超过２的多项式空间，　

ｃ（Ｒ）为霞上连续函数空间．　

１（２　

～　

Ｋ４　１（３　

图１大单元　

引理５　Ｖｕ∈Ⅳ　（　），插值算子　２＾满足　

ｌ　ｈＩｈｕ＝Ｉ２　，　

ｌｌ１２ｈｌｄ—ＵＩＩｈ≤ｃｈ　Ｉ　ＵＩ３，　

ｌｌ　＾Ｖｌｆ＾≤ＣＩＩ　Ｖ　，Ｖｖ∈Ｖ　．　

在超逼近结果（９）和引理５的基础上，有下面的　

整体超收敛结果．　

定理３　Ｖｕ∈　（．Ｃ２）ＮＨ　ｉｆ２），有　

ＩＩ／２＾Ｕ　一ＵｌＩｈ≤　

ｃ　

ｌ『“Ｉ。＋（　（Ｉ　Ｉ；＋Ｊ“，ｌ；＋ｌ　ｌ２３）ｄ　ｚ－）¨　１．　

证由定理２和引理５，可得　

ＩＩ　Ｉ２＾Ｕｈ一“＿ｌ＾≤ｌ　ｌ＾“　一，２　Ｉｈｕ『Ｉ＾＋　

ｌＩＩ２ｈｌｈＵ一“ｌＩｈ＜１ＩＩ２ｈ（Ｕ　一　”）ｌｌ＾＋ｃｈ　ｌＵＩ３≤　

Ｃｌｌ“　一　“　＋　ｌ“Ｉ３≤　

ｃ　

ｌ　Ｉ　Ｉ　＋（　（Ｉ　Ｉ；＋　Ｉｌ；＋Ｉ“　）ｄｆ）¨　｝．　

定理３得证．　

１３４　江西师范大学学报（自然科学版）　２０１１年　

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ｔｈｅ　Ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　Ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＱＩＡＯ　Ｂａｏ－ｍｉｎ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ　Ｈｅ’ｎａｉｌ　４７６０００，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ　ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｍｅｓｈｅｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　

ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｅｒｒｏｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ａｎｄ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｓｕｐｅｒ－ｃｌｏｓｅ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｓｏｍｅ　ｎｏｖｅｌ　

ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ａｎｄ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ｐｏｓｔ－ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ．ｔｈｅ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｉｓ　

ｄｅｒｉｖｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ；ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ；ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ；ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　

（责任编辑：曾剑锋）