Stokes问题各向异性网格Q2-P1混合元超收敛分析

2024年3月12日发(作者：对公司的感受)

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第４ｌ卷第２期　

２００８年６月　

数学研究　

Ｉｏｌｌｒｎａｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｔａｌ（ｈ　

、　１．４１　Ｎｏ．２　

．　

ｎ．２００８　

Ｓｔｏｋｅｓ　问题各向异性网格　—Ｐ　

混合元超收敛分析　

石东洋　任金城　

（郑　Ｈ大学数学系，河南郑州４５００５２）　

摘要讨论Ｓｔｏｋｅｓ问题在各向异性网格下的Ｑ２一Ｐ１混合有限元方法，利用积分恒等式技巧得到了与传统　

方法相同的超逼近性质，同时基于插值后处理的技巧，构造了速度和压力的～对插值后处理算子，并且前者具　

有备向异性特征，从而导出了整体超收敛结果．　

关键词Ｓｔｏｋｅｓ问题；混合元；超收敛；各向异性网格；后处理技术　

中图分类号ｏ　２４２．２ｉ　文献标识码Ａ　

ｌ１　引言　

用混合元方法求解Ｓｔｏｋｅｓ问题时速度空问和压力空间需要满足Ｂａｂｕ￣ｋａ—Ｂｒｅｚｚｉ条件（ＢＢ　

条件）ｌｌ】．当网格剖分比较好且精确解满足一定的正则性条件时，有些混合元具有超收敛　

性【２一ｊ．但这些研究都是基于对剖分的正则性条件或拟一致假设【５ｊ．即满足ｈＫ／ＰＫ　ｃ，或　

ｈ／ｈ　ｃ　Ｖ　Ｋ∈　，其中　

＾∈』ｈ　

分别是一般单元　的最大直径和最大内切圆直径，ｈ＝…ｍａｘ　ｈＫ　

＾　１ｈ　

ｈ：皿　ｈＫ　ｃ是一个与ｈ无关的正常数．但是，从理论分析和实际应用的观点来说，如此假　

设在很大程度上限制了有限元方法的应用范围，同时对有些定义在窄边区域的问题，如果用　

正则性剖分，计算量将非常大；另一方面有些问题的解呈各向异性，器ｐ沿某个方向解变化非常　

剧烈，而沿另外方向解变化平缓，这时采用各向异性单元剖分，求解的效果会更好．本文基于　

ｆ６】中的一般插值理论研究Ｓｔｏｋｅｓ问题在各向异性网格下Ｑ２一Ｐ１混合有限元方法，通过一些新　

的方法和技巧导出了与传统方法相同的超逼近性质．同时，利用插值后处理方法导出了整体　

超收敛结果．　

２　Ｓｔｏｋｅｓ问题的逼近格式　

考虑下面Ｓｔｏｋｅｓ问题：　

求（ｕ　ｐ）∈Ｖ×Ｐ．满足　

收稿日期ｔ　２００７－０１—２９　

基金项目：国家自然科学基金资助项尽（１０６７１１８４），（１０３７１１１３）．河南省高等学饺创新人才培养工程基金（２００２—２１９）资助　

项尽　

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第２期　石东洋等：Ｓｔｏｋｅｓ问题各向异性ｉ霹格Ｑ２～Ｐ１混合元超收敛分析　１４３　

～

△＿ｆ』＋Ｖｐ＝ｆ．　在Ｑ内　

在Ｑ内．　

在ａＱ上　

ｄｉｖ＇，＝０　

ｔ￡＝０．　

其中Ｑ　Ｃ　是适当光滑的有界凸区域，　ｔ＝（１ｔＩ　ｔｌ２）为流体的速度，Ｐ为压力，．厂＝（，　．Ｙ＇２）为　

夕｝、力，　＝（Ｈ　（Ｑ）ｎ础（Ｑ））　，Ｐ＝　３（Ｑ）＝｛ｑ，ｑ　Ｅ　Ｌ２（　）．　２　ｑｄ．ｒ　＝０）．　

上述问题㈥１的变分形式为：求（　Ｐ）∈　×ｐ　满足　

ｒ）　

其中　

ｒ　ｆ　

０（Ｉ＇ｔ　）＝／Ｖ　Ｖｖｄｚｄｙ．ｂ（ｖ．ｑ）＝～／ｑｄｉｖｖｄ：ｒｄｇ　，（　，）＝／，　ｆ　

Ｑ　ｔ，（２　√Ｑ　

为了简单起见，设　是边界同坐标轴平行的凸多边形区域．　是一族均匀矩形剖分，即　

要求所有　行ｚ～轴的＾．　相同，所有　行　一轴的７　相同，不妨设ｈ　兰ｈ１．ｈ　三ｈ２，Ｖ　Ｋ∈Ｔｈ　

ｈ＝　｛ｈｔ　＾２）．但剖分不需要满足正则性条件和拟一致假设．对任意的Ｋ∈Ｔｈ　定义单元　的　

中心为（．ＴＫ　），其边长分别为２　２　．单元　的顶点为Ｚｌ（ｚＫ～ｋ：　一＾　）１．　（ＸＫ＋ｈ　，　Ｋ～　

７￡　）、　（Ｔ．Ｋ＋７　。ｇＫ＋　）ｊ　Ｚ４（；ＦＫ～ｈ　ｊ　Ｋ＋　）ｊ单元Ｋ的边为ｌ　

Ｑ２～Ｐ１混合元空间　×　可定义为ｉ（；｝：　

．　＝１，２　３　４（ｒｏｏｄ４），　

Ｖ　＝｛ｔ　∈（Ｈ　（Ｑ））。；　ｌＫ∈Ｑ２（Ｋ＿）Ｘ　Ｑ２（　＿）．Ｖ　Ｋ∈　；ｌ，ｌａＱ：Ｏ｝，　

Ｐ　＝｛ｑ∈Ｌ。（Ｑ）；ｑｌ　∈Ｐ１（　），Ｖ　Ｋ∈ｎ｝　

＝

（３）　

｛ｑ　ｃ　ｐｔ￣；ｆｇ．ｑｄｚｄｙ＝０）Ｉ　

Ｖ　ｖｈ　Ｖｈ

，　

ｖ

．

显然　ＸＰｏ＇　Ｃ（础（Ｑ））　Ｘ塌（Ｑ）：则（２）的有限元离散形式为：　

求（Ｕｈ　Ｐｔ　）∈Ｖ　Ｘ　Ｐ　，满足　

＝　

显然ｎ（・　・）在１　Ｘ　Ｖ“满足强制性，即存在正常数Ｑ使得　

ｎ（　口）　０　Ｖ　，∈Ｖ　

【７－Ｓｌ已经证明Ｖ“ｘ．Ｐ　满足ＢＢ条件，即存在与　无关的正常数ｆ？使得　

ｏ＃

ｉｌ１ｆ

“ｑｑＰ　

０≠ｔ　『｜ＩＩ　Ｉ　Ｉ　Ｉ　一　Ｉ

ｑ　Ｉｏ　１　＞。・　

（６）　

由混合元理论知（４）存在唯一懈（＇ｉｔｈ　Ｐｔ　）∈Ｖ　Ｘ　Ｐ　且有下面的误差估计　

一

“　＋　ｐ＾　ｃ

（　）　

（　一　ｌｆ１＋　

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１４４　数　学　研　究　２００８毹　

其中这里及以后出现的ｃ均是与ｈＫ／ＰＫ及７　无关的正常数．　

此外，还证明了当混合元空间㈤３满足ＢＢ条件时，对任意的　）∈１厂　×Ｐ“有　

ｌｌ１＋ｌｌｑｌｌ【】）　

（ｐ　０）≠（　

．

ｑ）∈　

Ｐ　

×ｈ　

Ｉ　ＩＩ　１　Ｉ１０　

‘　ｌ　Ｔ¨　

．　

没札∈（Ｈ。　））。．ｐ∈￡　（Ｑ）．其插值函数札　＝（　｛．Ｈ５）∈Ｖ　Ｐ　∈Ｐ　南以下条件确定：　

在单元　上　、　

厂

）　

ｉ＝１．２．３．４．　

ｉ＝１．２。３．４．　

～　一　

＝　

厂

Ｓ　

以及　

√Ｋ　

／　一ｐ１）ｑｄｘｄｙ＝０　Ｖ　ｇ∈Ｐ１（　）．　（１ｏ）　

由插值函数的定义知若　∈（日　（Ｑ）ｎ嘲（Ｑ））　：ｐ∈塌（　）．则（ｉ＇ｔＩ　Ｐ　）∈Ｖ“×　

３一些高精度估计式　

我们首先介绍下面非常有用的弓ｌ理．　

引理１［。】对任意的　∈Ｖ　．Ｋ∈　成立下列不等式　

ｌ￣ａ－ｙ！ｌｏ，Ｋ曼ｏｈ７　ｌ　ｉｌ０：Ｋ，　

ＵｘｘｙＩｉｏ，Ｋ　ｃｈＴ。ＩＩｖ￣ｌＩｏ　Ｋ，　

。　

．

ｌ　Ｉｌ１０　

ｌｌ口　ｔｌ０

．　

ｃ　ｌ　ｌｌｌＯ，Ｋ，　

ｃ　

。ｌｌ　ｌｌｏ　Ｋ，　

。｛ｌ　，　ｔｔｏ，Ｋ．　

（１１）　

ｔｔｏ，Ｋ　ｃｈ￣２ｈｇ　ｌｌ　ｌｌｏ

Ｋ．１ｌ口　ｌｌｏ　Ｋ　ｃ　

中的思想弓ｌ进误差函数　

一

在任惹的单兀Ｋ∈　上，利用　

Ｅ（　）＝互１（（　

．

童Ｋ）　一　ｉ），Ｆ（　）＝三（（　一　）　一　；）．　

记彬＝（　，ｆ¨．ｗｉｌ１）＝　一ｕ　，？一＝ｐ—ｐ　．　

引理２如果ｎ∈（Ｈ　（Ｑ））。，则　

（　，　）＝Ｏ（ｈ。）ｆ“　

证明对＂　关于变量Ｙ做Ｔ￣＇ｌｏｒ展开　

Ｖ　∈Ｖ＾．　

ｔ，　）＝ｔ　Ｙ　）＋（ｙ－ＹＫ）ｔ－　（　舭）＋ｌ（ｙ

ｙＡ－）。ｔ，　（　．　），　

＿

（１２）　

ｌ（．ｆ。　）：（　一　）　】　ｌ（ｚ．ｙＫ）ｄｙ－￣，：ｗ［１】　（　，　）＝。　

（１３）　

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第２期　东洋等：Ｓｔｏｋｅｓ问题备ｉ台】异性网格Ｑ２一Ｐ１混合元超收敛分析　１４５　

Ｊ／｛　　（　一　凡）　，　

Ｋ　

．　

Ｆ㈤　’　

）∽　

一

砌　‘～　””　训　

等　～　一　，ｔｌｋ　‰　

等（　一　）　［１　ｃ　Ｋ）ｄ　～丢　Ｆ　（　）ｚｃ　”必ｃ　）　

　＝一

Ｉ　／　Ｆ。（　）“　ｌｆ】　（ｉｒ

・　

），　

ｌ一厂　孙　一　６　０　

Ｆ　

Ｋ　

ｔ　－ｖＫ　・　

：　

（　㈤沮）＋　）”　

＋　一　一

毒（　。＿　）　】Ｆ。（　）　｝ｚ　ｄ：ｃ一　１　Ｆ　）ｐ）　蚴ｔ　

＿＝　

等　

蛐　Ⅳ　

ｒ　

，　

＝一　

１（　／一　）　。㈨　如一　

１　

一　

“必　螂　

由（１２）至（ｉｓ）式及弓｝理１得　

Ｊ　Ｋ　

厂　！　

）　也　

同理可得　

］　：【，ｌ】＝　

所以　

］　耳［，ｖｉｌｌ　ｉ　，　

（Ｖ训　

同理　

［１】）＝Ｏ（ｈ。）　］　

）：Ｏ（ｈ。）　】　Ｊ４ｌ　，［２】Ｊ１．　（Ｖ　”［２１’　

引理得证．　

引理３如果Ｐ∈日。（９４且网格　为均匀的矩形剖分

，

则　

（ｒ　ｄｉｖｖ）＝Ｏ（ｈ。）ｌｐｌ￣　１，　∈　ｈ

．　

证明对ｔｊ　

＂　

注意到　

）关于变量　做Ｔａｙｌｏｒ展开　

Ｙ　）＋（　一　）　，　（　）＋　１（　

～　Ｋ）。ｔ，　，　）　

：　）∈　（　）及插值定义知　

ＹＫ）＝０　

。

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数　学　研　究　２００８钜　

ＩＩ　

｜ｒｌ　ｉ—　Ｉ（＼　Ｅ　ｌ　ｉ（ｒ－９Ｋ、　

（１９）　

注意到　，［　】在Ｏ－上连续且ｔ　１　Ｉｏａ＝０．由（１７）至（２０）式及弓ｌ理ｌ得　

峭“一～　　睁荆　勰　冰　＾一　Ｋ　厂川），州　厂　，　＼‰～、　＝卜：／州、　厂　水专　…、，　－Ｗ“　、　、Ｆ｝，　百叫　　

】＝。（『，。　Ｉ　３　Ｉｌｌ一　譬　

，，

＝

去（　一　）。　＝石１　（Ｆ。（　＋　；）ｒ－　＝丢　Ｆ。（ｊ／）胁　，　

＋石１磊　

。（ｈ３　１ｌＩｒ　譬（　一　）　龇ｒ十　等　荆　

∈　

）　怕一丢　

厂　

２　

Ｆ　

＂　

譬　

Ｚ　

，　＋　１　ｆｏ　Ｆ２（ｖ）　。ｖ　［１ｌ　ｓ　

Ｏ（ｈ。）ｌｐｌ３　１　１　

拈　

厨理　

Ⅲ¨　

引理得证．　

弓ｌ理４如果Ｉｔ∈（日　（Ｑ））。　则　

（ｄｉｖｗ　ｑ）＝Ｏ（ｈ。）ｌｕｌ４Ｉｌｑｌｌｏ　

证明由Ｔａｙｌｏｒ展开得　

ｑ（ｘ，Ｙ）＝口（ｚ　ＹＫ）＋（Ｙ—ＹＫ）ｑＹ，　

（２１）　

（２２）　

Ｖ　ｑ∈Ｐ　

州　（　，　）＝（　一　）坩【１　：Ｊ　）ｄｙ－　ｗ［１ｌ‰（＝ｒ　弘）＝。，　

由（２１）至（２３）式及ｇｉｎ　１得　

ＪⅣ　

缀　一去　妒　盼　

／ｗ［￣１１ｑ＝００４）Ｉｆｌ【　】ｌ４＿Ｋｌｌｑｌｌｏ．　

（２３）　

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第２期　石东洋等：Ｓｔｏｋｅｓ问题各向异性网格Ｑ２一Ｐ１混合元超收敛分析　１４７　

敞　

。

，Ｑ　

／ｕ，　＝（）（　，【　ｑｌ１０　

／　＝ｏ（ｔ　ｑｌｆ０　

同理可得　

√Ｑ　

弓ｌ理得证．　

４　Ｑ。一Ｐ。元超逼近及超收敛结果　

定理１如果（『』．ｐ）∈（丑　（１　１）ｎ丑（｝（１　２））　×月　（Ｅ！）　（ｔｔｈ．Ｐｌ　）∈Ｖ　×ｐ“分别是方程（２）和（４）的　

解，则　

Ｉ　ｈ—ｌ　１＋ｌｌＰ，ｌ—ｐｌＩ｛ｏ　ＣＩｒ．。（　Ｉ４－｛－ＩｐＩ３）．　

证明由ｆ８）式，对任意的（ｕ．ｑ）∈Ｖｈ×Ｐ　有　

ｃ（ｆ　“ｈ～“　１＋ｌ　ｌ＾一ｐｉｌｌｏ）　

≤　

０　

）≠　．器ｒ『）∈　“　Ｐד　　

ｐｈ　

×　

ＩＩ【Ｕ　１　ｌ　１１＿Ｉ　　ＩＩ　０　

地　

．　

＝　

０　…

）≠（　ｑ）∈　

１　０

ｌ　【ｌｌ十ｌｌ　ＩＩ　

将引理２至弓ｌ理４代入上式且口得结论．　

有了超逼近的结果，利用［６］中的思想可以用插值后处理算子　ｈ．　＾来得到整体超收敛．　

把相邻的四个小单元Ｋ１．　．　，甄合并为一个大单元　（如图１）　的顶点为Ｚｉ．ｉ＝１，…　９　

霞的边为　ｉ＝１，・一，１２．定义插值算子　ｈ．　，　在单元　上，对任意的（伽　ｐ）∈（Ｃ（霞））。×　

三。（　）　（　ｈ１１｝，　，　Ｐ）∈（Ｑ４（　））　×Ｐ２（　）满足　

｛ｆ　ｄ　Ｉ２ｈⅢ（ｚｄｓ：　ｄ“　ｉ），　　＝ｌＬ，．・．一．　２

・　

ｃ２４　

ｌ　

以及　

＝１．．一　

ｈｐｄｘｄｙ＝／ｐｄｘｄｙ，　ｉ＝１，…，４，　

（２５）　，　

。　

（　ｈｐ—ｐ）ｘｄｘｄｙ＝／（Ｊ２ｈＰ—ｐ）ｙｄｘｄｙ：０　

１　

ｔ，Ｋ１　

其中Ｋｉ．１　分别为，Ｊ　

ｆ２　

２　

ｆ　

Ｋａ　

Ｚ２　

ｆ４　

Ｚ５　

ｌｇ　

２１　

１　

ｆ７　

Ｋ４　

图１大单元　

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ｌ＿圭８　数　学　研　究　

同　由　

２００８纯　

理　￡２，　

和　

３　

２　

Ｂ　

Ｆ｝ｊ【１０］的技巧可以验证上述构造插值后处理算子　ｆ　具有各向异性特征，即ｃ　：（ｃ　ｎ２）．　

ｃ１ｆ＝Ｉ时有　一～　一－－　－

Ｉｂ“（　一　＾　）ｌ。

走≤ｃｌ　。遗ｌ３

安，Ｖ矗∈（　（　））　．　

．

．

得　

２　

（２６）　

弓ｌ理５在上述条件下，对任意的　∈（　（Ｑ））２．插值算子　＾满足　

８　

叉　

由　

ｌｌ　＾ｌ“一　ｌＩｉ　ｃｈ。ｌ“Ｉ４，　

ｌ　ｈｕｌｌｌ１　ｃ１＂，，ｔｉ　∈Ｖｈ．　

于　

，ｌ，Ｉ　

（２８）　

（２９）　

ｎ　”　

一　一　

证明由于“＝（“　．　２）：我们仅对“　证明结论成立即可．由　＾的构造知（２７）是显然成立　

＂　

的．另一方面，令２ｈＦ：－　和２ｈＫ－　分别为　的沿　一轴和ｇ一轴方向的边的边长

由（２６）得　

，

＝兰　

、　

　一一　

（　＾ｕ１一Ｉｔ１）　＝　

，　（　矗　一砬　）ｆＩ　

ｃ　

＜一

ｈＲ　

＜一　

ｅ　云　＾霞　Ｉｕｔｌ；．　ｈ。＾　ｈ　ｈ　

●

Ｕ　

１　

　，

Ｕ　

ｌ　

（３ｏ）　

ｅ，　。㈨　

、　

．　

一　一Ｋ　

即　

（３１）　

（３２）　

１１（／２ｈ，　）　ＩＩ　

露

．

＝　

（　ｈ￣）ｘｄｘｄｇ＝　（Ｉ２　；　

＾　，　ＩＩ（ｚ；ｈ砬　）￡ｌ　ｌ

，　

叼　

．

ｃ，ｚ元　，　ｌｌ番　￡ｌ　

安　

ｌ

ｔ　＾也－１　－１ｄ　由　＝ｃ　（矗　）　武咖＝ｃ＾　，　

：　

．　

＝ｃ　（ｕｌ　ｔｘｄｙ＝ｃＩｉ－￣１　

所以　

｝Ｉ（　＾ｃＨ１）　ｌｌｏ，Ｒ　ｃｌｌ札１　ｌ１０

詹　

．

（３３）　

同理　

ｌｌ（　ｈｕ１）Ⅳｌｌ０　费　ｃ１１￣，１ⅣｌＩ（】

．　

，　

（３４）　

由（３３）和（３４）即得（２９）．　

弓ｆ理得证．　

弓ｌ理６在上述条件下，ｘ￣－Ｉ￣意的Ｐ∈　。（Ｑ）

插值算子　＾满足　

．

（３５）　

Ｐ—ｐｌＩｏ　ｃｈ　Ｉｐｌ３　

（３６）　

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第２期　石东洋等：　Ｓｔｏｋｅｓ问题各向异性网格Ｑ

２～Ｐ１混合元超收敛分析　１４９　

ｌｌ　，　训０　ｃ　Ｉｌｑｌｌ０．　ｑ∈Ｐ　．　

ｆ３７１　

证明由　ｎ的构造知（３５）足显然威立的

ｐ一　

．

．

Ｔ￣＠ｆｒ］ｉＥ明（３６）式　

足　一赡　

儿

ｒｅ．ｈｋ　峨詹　

．

ｈＫ％Ｓｚ露　ｊ　霞＾６　２　ｈ

＝　ｌｈ　－１　＝（：＾６ｆｐｆ；

所以　

ｔ

霞，　

，２＾Ｐ一川ｏ　ｆ　，＾。ｆ　Ｊ　Ｊｌ３　

下面我们再证明（３７）式　

霞　（　

Ｊ　Ｋ　

．

）　如西＝　ｆ　

｜嚣　

）。＾也　

‘。　ｎ　ｎ　

咖　

：　疋　・　硼索　ｃｈＲ　＾　姐　

＝ｃ＾霞　／　露　／￣ｚｌｈ　－　１　ｐ　２　

霞＝ｃＩｌｐｌ　ｌ

．

．　

：　

所以　

ｓ２，ｍｌｌｏ　ｃ　

引理得证。　

定理２如果（　ｐ）∈（ｓ－ｓ　（１２）ｎ珊（ｆ２））　ｘ日。（（２）　则有下面的整体超收敛结果　

ｌ　ｈ饥，ｌ　～札ｌｌ１＋ｌ　，ｌ　ｐｆ　一ｐｌｌ。　ｃ　。（Ｊ“Ｊ４＋Ｊｐｌ。）

．　

证明注意到　＾＿“ｈ一札＝　“　一　＾　＋　

＾　一Ⅱ．由（２７）．（２８）及（２９）得　

ｌｆ　『『“＾一¨ｌ　ｓ　ｌｌ　＾１ｌ“＾一』＿２＾　Ｉｔ　＋１１４ｈ，￣

ｕｌｌ　＝ｌｌ，２ｈ＂ｄ，ｈ一　ｕ　＋ｌ　Ｊ　＾　一　ｌＪ１　

＝　ｌｌ　＾（　ｆ　一“　）Ｉｆ１＋ｌｌ，２　ｌ一　ＩＩ１　ｃｈ３（ＩｕＩ４＋Ｉｖｌ３１

．　

同理　

Ｊ＇２ｈｐｈ—ｐｔｌ０　ｃｈ。（１“＿ｌ４＋Ｉｐｌ３１　

定理得证　

参　考　文　献　

Ｇｉ　ａｕｌｔ　Ｖ　ＲａＶｉａｒｔ　Ｐ　Ａ

ＦｉＩｌｉｔｅ　ＥｌｅｍｅＩ１ｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ＮａＶｉｅｒ

ｓｔ。ｋｅｓ　Ｅｑｌｌａｔｉ。砸：Ｔｉ１ｅｏｒｙ‘ｄＩｌｄ　Ａｌｇ。　

ｒｉｔｈｒｎｓ　Ｓ　・ｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ

Ｈｅｉｄｅｌ

　。　

ｂｅｒｇ

１９８６．

，

・

．

，

１５（３）

，

潘建华，周爱辉・ｓｔ。ｋｅｓ问题的一种新的混合有限元逼近

．

：１９３　１９９．　

系统科学与数学，１９９５．　

～一…一’　

ＳＰＩａＡｎ？Ｉ￣Ｎ｛　“　ａ・Ｇ　。ｂａ　ｓｔｔｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｌｉｃｅ　ｏｆｒ　ｔｌｌｅ｝ｉｌｌＩｌｅａｒ—ｃ。１１ｓｔａｌ１ｔ　ｓｃｌｌｅｌｎｅ　ｆ０ｒ　ｔ｝ｌｅ　ｓｔ。ｋｅｓ　Ｉ）Ｉ．。｝）ｌｅＩＩ１．

１９７７，３４（６）：２４２４—２４ａ０．　

）

…　…　‘　‘　。　

－

Ｊ．ｕｍｅｒ．Ａｎａ１．

．

林甲富，林群・ｓｔ。ｋｅｓ问题一种混合元近似的超收敛

．

上程数学学报，２Ｏ（）４Ｉ　２１（３）：３２５—３２９

．　

维普资讯

１５０　数　学　研　究　２００８任　

［５］　．１ｅｔ　Ｐ　Ｇ．Ｌｉｏｎｓ．１Ｌ＿Ｈ　ｋ。ｆ　Ｎｌｌｌｌｌｅｒｉ　ｒ｝１１　

－

ｌｙｓｉｓ　ｌ・ＩＩ：Ｆｉｎｉｔｅ鼬ｌｅ　

１　９９６。

ｌ。（ｐａ．ｒｔ　）　

Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ．Ａｎｌｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ—Ｈｏｌｌａｎｄ．１９９１・　

群，严宁宁・高效有

限

元构造与

分

析

ｌ７９一ｌ９２’　

‘　

＞ｌａｇ

河

北

大

学

出

版社

．

．

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．

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Ｂ　ｒｅｚｚｉ　Ｆ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅｊ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ａｎｄ　ａｐｐｒｏｘ　１　ａｅ　ｏｎ　ＯＩ　ｓ　Ｋ　

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石东洋，梁慧．一个新的非常规　

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布滢

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乍

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规

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学＇　２００５：　３６９－３８２　

超收敛分析　ｙ｛－推．计算数　

ｉｔ

ｅ　

型各向异性矩形兀的斑收敛　伪及　’　‘　扦姒　

ｃｌｌｅｒｉ．　ｎ　ｍｐ　ｉＩｌｔｅｒｐ。ｌａｔｉ。ｎ　ａｎｄ（１１ｌ　ｉ—ｗｉ１ｓ。ｎ　ｃ１ｅ—

Ｃｈｅ　Ｓｈａｏｄ　ｎ　１ｕｎ　Ｓｈｉ　Ｄｏｎｇｙａｎｇ　，Ｚｈａｏ　ＹｍｔｇｃｈｅｒＮ・　ＡｎＪｓｏｔ　Ｄｐ　Ｈ　ｔｅｒｐｏｌａｃＨ　ｎ　ａ　（１‘ｌｕ‘　卜”Ｈ　ｕ“　

ｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ＩＩａｒ删ｑｕ　１ａｔｅｒａｌ　ｍｅｓｈｅｓ．ＩＭＡ　ｊ　Ｎｕｍｅｒ．Ａｎｄ－：２００４，２４（１）：７７—９５・　

ｍｅｎｔ　

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Ｓ　Ｄｏｎｇｙａｎｇ　Ｒｅｎ　Ｊｉｎｄｌｅｎｇ　

ｆ　Ｄｅｐａｍ　ｏｆ　Ｍａｔｌｌ㈣ａｔｉｃｓ，Ｚ１㈣ｇｚｈｏｌｌ　ＵｎｉｖｅｒＳｉｔｙ　ｚｌｌｅ１ｅｉ　１ｇｚｈ。ｕ　Ｈｅｎ　４　ＯＯ圳　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｑ２～Ｐ１　ｍｋｘｅｄ　ｉｆｌｄｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｓｔｏｋｅｓ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏ　１　ｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｎ　ｈｅｓ　ｌｓ　ｄ　ＳＣｌｌＳＳｅｄ：　

ｔｌｌｅ　ｓａＩｎｅ　ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　ｐｒｏｐｅｔｒｉｅｓ　ａｓ　ｔｈｅ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｒｅ（１ｅｒｉｖｅｄ　ｔｔ　ｏｕｇｌｌ　ｉ　ｒｃｅｇｒａｌ　ｉｄｃ　ｌｔｉｔｙ　ｔｅｃｈｕｉｑｕ　ｅ．　

Ｆ１Ｊｒｔｈｅｒｍｏｒｅ。ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｌ１ｔｅｒｐｏｔａ．ｔｅｄ　ｐｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｉｉｔｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ：ａ　ｐａｉｒ　ｏｆ　１）ｏｓｔｐｒｏｃｅｓｓｎ　ｏｐｅｒ龇ｏｒ？　

ｖｅ１０ｄｔｖ　ａｎｄ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．　Ａｎｄ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｅｒ　ｈａｓ　ａｎ　ｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ・ｔｌ　ｅ　ｔ＿ｌ１ｅ　

ｇｌｏｂａｌ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｅｅ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ－　

Ｋｅｖ　ｗｏｒｄｓ　Ｓｔｏｋｅｓ　ｐｒｏｂｌｅ１＿ｌｌ；ｍｉｘｅｄ　ｆｉｌｉｔｅ　ｅｌｆｅｍｅｎｔ；ｓｕｐｅｒｅｏｎｖｅｒｇｅｎｅｅ；ａｎｉｓｏｔｒｏｐ　ｎ螂ｈｅｓ；ｐｏｓｔ１）ｒ０（＝。　一　

ｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ