基于三角形剖分的最小二乘混合元超收敛性研究

2024年3月12日发(作者：乞巧古诗的诗意)

维普资讯

第２４卷第１期　

湘潭大学自然科学学报　

ｖｄ．２４Ｎｏ．１　

２ＯＯ２年３月　

Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｄｅｒ￣ｃｅ　Ｊｏｅｎ￣ｄ　０ｆＸｉａｒ￣．ｔａｎＵＩｌｉｖｅ商计　

Ｍａｒ．２Ｏ皿　

基于三角形剖分的　

最小二乘混合元超收敛性研究　

杨菊娥，　陈艳萍　

（湘潭大学计算与应用数学研究所，湖南湘潭４ＩＩｉｏ５）　

【摘要】ｉ，－ｔ￣了二阶椭圆问题的最小二粟混合元方法及其超收敛性，采用一致三角形剖分、分片一次多项式空问对未知　

函敷作有限元逼近．而对其通量且　采用最低阶的Ｒａｖｉｓａ＇ｔ一１１哪峭元逼近．通过投影算子和辅助算子的拄术，得捌了精度为　

０（＾扰）的超收敛结果．　

关键词：最小二乘混台有限元．超收敛性．一致三角形剖分．插值算子　

中圈分类号：位１４　立ｔ标识码：Ａ　文章墒号：１（３００一舢ｌ２００２Ｉｏ１一∞∞－０５　

Ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｌｅａｓｔ——Ｓｑｕａｒｅｓ　Ｍｉｘｅｄ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔｓ　

ｆｏｒ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｎ　Ｔｒｉａｎｇｕｌａｔｉｏｎ　

ＹＡＮＧｎ一　ｔ　ｃＨＥＮ　Ｙａｈ一帆　

ｌｌ￣ｄｔｕｔｅｆ　Ｑ栅ｐｕ　６肌　ｅｎｄ＾弹ｌｉ　＾ＩＩ　即＿血　－・Ｘｌ　Ｕｎｌｖｅ￣ｔｙ－）ｃｉＩ噼啊Ｉ４１Ｉ１０５　Ｃｈｌｒ￣ｌ　

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｉｎ崎ｐａｐｅｒ　唧∞　ＩｅＢＩｌＩｌｉｓ　ｂｙｔｈｅｌｅａｓｔ　ｓｑｕａ￣ＩＩ　【ｅ　ｅｌｅｍｅ￣ｍｅｔｈｏｄｆｏｒ　

ｔｈｅ鸵ｃ０Ｉ．ｄ　ｏｌｄｅｒ　ｄｌｉＰ　唧ｏｎ　如ｇｕｌ幽Ｉ　Ｔｈｅｓｅ　ｅ自血蝴眦ｂｅｓｅｄ　ｏｎ　ｐ叫ｅｃ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　ａｎｄ　ａｎ　ｓｕｘｉｌｉｓｒｙ　

畸ｅ　册　ｗｈｏｍｈ删　如舭ｌａｒｌｌ　ｅｌｅｍｅ￣　缸一Ｔ　ｙＰｅ趣Ｉ　ｒｅｇ【　凹　瑚　

ａ玎ｇＬｄ　。鸣ａｒｅ　ｕｓｅｄ　ｗｅ　ｃａｎ　ｏｂｔ￣ｎ日Ｌｌｐｅ∞咂　目ｅｒ　ｅ髑缸耻凹０ｆ　ｂｏｔｈ　ｔｈｅ　ｉｒｒＩ　了ｓｏ１．ｏｎ印ＰＩ∞　帆ｕｔ　ａｒ．ｄ　ｔｈｅ　

ｌｆｕｘ叩ｐＩ啦ｉｍｌ　ｐ－ｗｉ血ｔｈｅ∞ｃｌ｜　０ｌ＾　）．　

Ｋ　ＷＯｆ￣：ｔｈｅｌｅａｓｔ—ｓｑｕａ￣ｎｄｘｅｄｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ；驯ｐｅ嗍ｖｅｒｇｅｒ啪；ｌｏＷｅ嚏ｏｌｄｅｒ；　且ｒ　ｒａｒｅｆｉｅｓ　０ｆｕｎ￣ｏｒｍ　．　

ｎｇ山ｄｍ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｐｒ咄　∞　

ＡＭＳ　ｓＩＩ　ｅ　ａ越　【ｃ叫舭：６５Ｎ３０　

０弓ｌ言　

我们就二阶椭圆型方程的Ｄｉｒｌｃｈｌｅｔ边界问题来讨论．　

ｆＬ　１４

，＝

０　∈ａｎ　

ｎ　（

…　

０　１）　

其中ｎ　Ｃ　是有界开子集，ｖ是边界如的外法向．ｆＥ　（ｎ），ａ（ｘ）∈ｃＪ（ｘ）并且存在正常数ａ．和　

ａ　满足对所有　∈五　

口＿≤ｏ（　）≤口２　（０　２）　

设ｐ＝一ａ（ｘ）ｇｒａｄⅡ，ｐ＝（Ｐ．。ｐ：），得到与（Ｏ　１）等价的一阶方程组：　

ｒｐ＋０（　）ｇｒａｄｕ＝０　∈ｎ　

｛ｄｉ

【ｕ：０　

ｖｐ一，＝０　∈力　

∈ａｎ　

（０．３）　

７０年代Ｐ．Ａ．Ｒａｖｉａｒｔ和Ｊ．Ｍ　Ｔｈｏｍａｓ提出了混合有限元方法　．Ｊ．Ｄｏｕｇｈｓ　Ｊｒ．　，Ｒ．Ｅ　Ｅｗｉｎｇ［￣，陈　

艳萍　等人把混合元方法＿用于可混溶驱动问题的求解，通过解的正则性处理，成功地得到了二阶椭圆　

００７１０￣）；２．高等学校教育部骨干教师基金资助项目（。Ｇ—ｌｌＯ一１０５３０—１０∞）；３国家　

顼士研究生．　

维普资讯

第ｌ期　杨菊娥等　基于三角形剖分的最小二乘混台元超收敛性研究　９　

问题混合元方法的超收敛性，提高了数值解的精度．但混合有限元空间要求满足匹配条件（ＬＢＢ），导出　

的刚度矩阵非对称正定，这种线性方程组的求解是相当困难的，大型科学计算问题更是如此．　

为此，对该问题，本文首先导出混合元最小二乘方法的等价弱形式，然后用该方法来求解二阶椭　

圆微分方程．该法的优点：１）混合元空间不受匹配条件的影响；２）导出方程的系数矩阵对称正定，容易　

求解．Ａ．Ｉ．Ｐｅｈｌｉｖａｎｏｖ等人在文　用最Ｊｂ－－乘混合元法求解二阶椭圆问题，后来，陈艳萍教授用最Ｊｂ￣－　

乘混合元法求解可混溶驱动问题　和退化的椭圆问题　，得到了最优阶误差估计．在此基础上，本文　

采用一致三角形剖分，利用一些适当的投影算子，得出了二阶椭圆问题最小二乘混合元方法的超收敛　

性结果．　

１最ｔＪ￣＇－乘混合有限元方法　

定义　

：

｛”∈／－／‘（１＂１）：　＝０ｘ∈ａｎｌ　（１．１）　

Ｑ＝ｔ　ｑ∈（￡　（１＂１））　；ｄｉｖ口∈ｒ（１＂１）｝　（１．２）　

具有范数　

Ｉ　ｌ．　：（　ｌｌ：．　＋Ｉ１　ｇｒａｄ”ｌｌ。２．．　）”　（１．３）　

ｌｌ　ｑ　ｌＩ　ｍ：（１ｌ　ｑ　ｎ＋ｌｌ　ｄｉｖ　ｑ　Ｉｌ　、　）　（１．４）　

定义问题（０．１）的泛函　

，（　，ｇ）：（ｄｉｖ　ｑ—ｆ，ｄｉｖ　ｑ一　。＿ｎ＋（ｑ＋口（　）ｇｒａｄ”，口（　）　ｑ＋ｇｒａｄ　）。．口　（１．５）　

则问题（０．３）的解Ⅱ，ｐ等价于求，（”，ｑ）的最小值，即ｕ，ｐ满足　

，

ｐ）＿　Ｅ　（　）　（１－６）　

定义算子口（ｕ，ｐ；　，ｑ）为　

口（ｕ，ｐ；　，ｑ）：（ｄｉｖ　ｐ，ｄｌｖ　ｑ）０．ｎ＋（ｐ＋口（　）ｇｒａｄ　ｕ．口一　（　）ｑ＋ｇｒａｄ”）ｍｎ　（１．７）　

由变分原理知，（１．６）的弱形式即：找Ⅱ∈Ｖ，ｐ∈Ｑ，满足　

ａ（ｕ，ｐ；　，　）＝（ｆ，ｄｉｖ　ｑ）　Ｖ　∈　，早∈Ｑ　（１．８）　

引理１对　∈　，ｑ∈ｐ，则存在一个正常数ｃ＞０，成立　

ｃ（　＋　ｑ　ｆ　㈣）≤口（　，口；”，ｑ）　（１．９）　

证明过程见［１，２，１２］．引进有限元子空间为　

＝

｛　∈ｃ０（１＂１）：　ｌＩ∈Ｐ１（　）．ＶＫ∈　『ｍ：０Ｉ　（１．１０）　

Ｐ　（　是次数为１的完全多项式　向量函数场则取为最低阶的Ｒ　一　０ｒｎ８ｓ（　：０）空间　

口＾（Ｋ）：｛　∈Ｑ：ｑ＾『　∈（（Ｐｏ（Ｋ））　０ｉ　Ｐ０（Ｋ））Ｖ　Ｋ∈　Ｉ　（１．１１）　

这里我们要求剖分　为一致三角形剖分，即任意两个相邻的三角形都可以形成一个平行四边形．　

Ｋ是　中任意的三角形，记　．　为其最接近正交的两条外法向量，若　，　是两相邻三角形，且　（　

：１，２）是公共边的外法向量，则记Ⅳ，＝ＫＩ　Ｕ　（ｉ＝ｌ，２）．从而ｎ就被分解为平行四边形Ｍ和一些　

边界三角形　（ｉ＝１，２）．所有　

．

的集合记为　，所有边界三角形　的集合则记为ａｑ

，．　

引理２设Ｎ＝Ｋ１　Ｕ　Ｋｔ．　是两个三角形．Ⅱ＾为最低阶的ｔｌａ￣－ｔ—　∞投影　］，对所有的　

ｑ∈［伊。（Ｎ）］　．伊。（Ｎ）∈Ｐ．（，ｖ）成立　

ｑ一Ⅱ＾ｑ）ｄｘｄｙ＝０　（１．１２）　

现在，对　和口＾，（１．８）的离散形式即：找　∈　，　∈口＾满足　

口（　．　；　，　）＝（ｆ，ｄｉｖ　）　Ｖ　∈　，　∈　（１．１３）　

根据Ｌ“一Ｍｉｌｇ￣定理知．最小二乘变分问题（１．８）及其离散形式（１．１３）有唯一解　

而且（１．１３）减去　

（１．８）得到误差方程满足正交性质　

口（ｕ—ｕ＾，ｐ—　；　．　）＝０　Ｖ　∈　，　∈口＾　

（１．１４）　

维普资讯

１０　湘潭太学自然科学学报　２０∞年　

２超收敛估计　

引理３　

（所有　

是ｎ的一致三角形剖分，假定ｎ被分解成平行四边形　和边界三角形　，那么对　

的集合），存在某一个正常数ｃ，满足　

（ｐ一Ⅱ　，ｑ　）。．　≤ｃｈ　ｌ　ｌｐ　ｌＩ　２．　ｆ　Ｉｌ１。．　Ｖ口＾∈　

引理４　是ｎ的一致三角形剖分，则　

（２・　）　

（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ　），ｄｉｖ　）口＿ｎ＝０　ｖ　

引理５　

（所有　

∈Ｑ＾　（２．２）　

引理３．１和引理３．２的证明可利用分部积分Ｎ［３Ｕｏｅ￣定理１．４以及引理１．２５—１．２９．　

是ｎ的一致三角形剖分，假定ｎ被分解成平行四边形　和边界三角形　，那么对　

的集合），那么存在某一个常数ｃ＞０满足　

（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ　）≤ｃｈ　Ｉ『Ｐ　ｌｌ驰．日Ｉ１　Ｉ１　１　ｎ　Ｖ　

知，在所有平行四边形　的集合　上有　

∈　（２．３）　

证明对任意　∈　，ｇｒａｄｖ＾是常数（见２．ｉｏ），显然　满足引理２中的Ｎ的条件，从而由（１．１２）　

（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ　）０．　＝０　

对于边界三角形　的集合　，利用Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｚ＇不等式和逼近性质可得　

（２．４）　

ｌ　Ｉ１１　，ｎ（２・５）　

（２　６）　

（（ｐ一１－Ｉ￣），ｇｒａｄ　）。．　≤ｃ　Ｉ『Ｐ一Ⅱ　ｌｌ。．　ｌＩ　ｌＩ¨　≤　ｌｌ　ｐ　Ｉ１　

定义　＝｛　∈ｎ　Ｉ　ｊ　Ｙ∈ａｎ：ｄｉｓｔ（ｘ，Ｙ）≤ｈ｝则由Ｓｏｂｏｌｅｖ空间的基本理论得　

ｌＩ　Ｐ　１，ａｔｌ￣≤ｌ　ｌＰ　ｌｌ　１，０ａ≤ｃｈ　Ｉ１　Ｐ　０　ｍ．ｎ　

（２．６）代人（２．５）有　

（（ｐ一Ⅱ　），ｇｒａｄｖ￣，）　≤ｃｈ　ＩＩ　ｐ　ｌＩ　．ｎ　ＩＩ　Ｉｌ　１，ｎ　（２．７）　

引理得证．　◇　

定理３．１设　为ｎ上的一致三角形剖分，（　，　）是问题（０．１）的解，则对ｕ∈旷（ｎ），Ｐ∈　

（Ｈ２（ｎ）　有如下超收敛估计：　

ｌＩ　一Ｐ　ｕ　Ｉｌ　０．ｎ＋ＩＩ　ｐ＾一Ⅱ　ＩＩ　（曲　）≤ｃｈ啦（１ｌ　Ｐ　ｌＩ蚍．　＋　ｌＩ　Ｐ　Ｉｌ　ｎ＋ｌＩ　ｕ　ＩＩ，．ｎ）（２．８）　

证明引进投影算子　

（４（　）ｇｒａｄ（口一　口），ｇｒａｄ　）ｏ．ｎ＝０　对所有　∈　（２．９）　

Ｉ１口一ｓ＾口Ｉ　ｌ０１ｎ＋ｈ　口一ｓ＾　Ｉ１∽≤ｃｈ　Ｉ１　Ｆ　ｌＩ　．ｎ　（２．１０）　

【　ｌｓ　ｕ—Ｐｋｕ　ｌＩＩ－ｎ≤ｃｈ　ＩＩ　ｕ　ｎ　

利用引理１和正交性质（１．１４）可得　

（２．１１）　

ｌ　Ｕｈ—　ｕ　＋ｌ『ｐ＾一Ⅱ　Ｉｌ　（　ｎ）≤ｃｏ（　一Ｐ＾ｕ，　一Ⅱ　；　一Ｐｈｕ，Ｐ　一Ⅱ＾ｐ）＝　

ｃ。（ｕ—　，Ｐ一Ⅱ　；　一Ｐ＾ｕ，Ｐ　一Ⅱ　）＝　

ｃ（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ　），ｄｉｖ（　一Ⅱ　））ｎｎ＋（ｐ一Ⅱ　Ｐ，ｎ（　）。（ｐ＾一Ⅱ　））。ｍ＋　

（ｇｒａｄ（ｕ—　ｕ），Ｐｈ一Ⅱ　）㈣＋（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ（　一即））∽＋　

５　

（口（　）ｇｒａｄ（ｕ—　ｕ），ｇｒａｄ（　一Ｐ＾ｕ））　＝∑＾　

由引理４知　

（２　１２）　

维普资讯

第ｉ期　杨菊娥等　基于三角形剖分的最小二乘混合元超收敛性研究　

，】＝（ｄｉｖ（ｐ一Ⅱ＾Ｐ），ｄｉｖ（　一Ⅱ　＝０　

对任意的　∈　，取ｎ一‘（　）在平行四边形　的平均值　，则ｌ　ｎ　（　）一　ｌ≤Ｃｈ・于是，　

由引理３和逼近性质可得　

Ｍｌ＝（ｐ一Ⅱ　，ａ－Ｉ（　）（　一Ⅱ　））。．　＝　

［（ｐ一Ⅱ　，（。一　（　）一　）（　ｎ　。．　（ｐ一Ⅱ　，　（　Ⅱ　。．　］≤　

∈　‘　。　

∑［Ｃｈ　一ｎ　。．　一Ⅱ　。．　ｌ—ａＡｆ＇ｔ　（ｐ一Ⅱ，，　一Ⅱ　）。　．门≤　

∈门Ｊ　Ｌ　－　

ｃｈ　一Ⅱ　。．　（２・１３）　

以＾√　为新基定义坐标变换Ｆ，其中　，＾是剖分三角形单元接近正交的两条外法向量，则Ｆ～＝　

（　，五）．记ｅ．，ｅ　为　的单位向量，那么　

＝

（ｐ一Ⅱ，．。（　）一　（　一Ⅱ　））　＝（Ｆ（　一Ⅱ　），　。（　）‘。（ｐ一Ⅱ　气＝　

∑Ｊ　（Ｆ（　一Ⅱ　））　Ｆ～ａ（　）‘。（ｐ—ｎ　）ｄ　ｄｙ＝荟　“　（２．１４）　

其中　

一

Ⅱ　出　一Ⅱ　ｙ　

取边界三角形的内边的中点为Ｍ，则由（ｏ．２）式和矩阵Ｆ　的规范性知：在　上　

ｄ（　）～ｅＴＦ一‘　ｅ．（　）＝ｏ（　）～ｅ　Ｆ一‘　ｅ　（　）＋Ｄ（＾）　（２．１５）　

于是　

ｌ　１１　ｌ≤∑ｌ（ｅ　Ｆ　ｎ（　）～ｅ　）（　）Ｊ　ｅ

‘＾　

ＴＦ（ｐ　一兀　）（ｐ一Ⅱ，）　ｅ　ｄｘｄｙ　ｌ＋　

∑ｃ

＇ｌ　

ｈ　ｌ　ｌ　ｅ

＾　

　Ｆ（　一ｎ　）（ｐ一Ⅱ，）　ｅ－ｄｘｄｙ　ｌ≤　

ｌ　ｄｅｔ（Ｆ）ｌｌｌ（ｅＴＦ　。（　）　）　一Ⅱ　。．　一Ⅱ　气　

　ｌｄｅｔ（Ｆ）ｌ　ｈ　Ｐ一Ⅱ　¨　Ｐ一Ⅱ　。．　（２・１６）　

再一次利用Ｃａｕｅｈｙ—Ｓｅｈｗａｍ不等式和有限元逼近理论可得　

ｌ，】Ｉ≤ｃ　ｌ　ｄｅｔ（Ｆ）ｌ　Ｉ　Ｉ一Ⅱ，ＩＩ　ｏ，．　（１Ｉ　ｅ　Ｆ　ａ（　）～ｅ　ＩＩ＊＋１）（＾　ＩＩ　ｐ　ＩＩ　，ｎ＋＾ＩＩ　ｐ　ＩＩ　）　

（２．１７）　

因此　

≤ｃｈ　Ｉ　ＩＰ　一Ⅱ＾Ｐ　ＩＩ∽（＾　ＩＩ　Ｐ　ＩＩ　＋ＩＩ　Ｐ　ＩＩ　）　

（２．１８）　

Ｌ≤ｃｈ　ＩＩ　Ｐ　一１－／，ＩＩ。．ｎ（＾　ＩＩ　Ｐ　ＩＩ－．ｎ＋ｈ　Ｉ　ＩＰ　Ｉ：－ｎ＋ＩＩ　Ｐ　ＩＩ　－ｎ）　

（２．１９）　

＝一

（ｕ—　，ｄｉｖ（ｐ　一Ⅱ　））。．ｎ≤　

ｃ　ＩＩ　ｕ—　ｕ　Ｉ。．　Ｉ　Ｐ　一Ⅱ，ＩＩ　≤ｃｈ　ＩＩ　ｕ　ＩＩ：．ｎ　ＩＩ　Ｐ　一Ⅱ　ＩＩ　ｆｈｎ　

（２．加）　

Ｌ＝（ｐ一Ⅱ　，ｇｒａｄ（　一Ｐ＾ｕ））。＿ｎ≤ｃｈ　ＩＩ　Ｐ　ＩＩ　ｎ　ＩＩ　ｕ　一　ｕ　ＩＩ　＿ｎ　

（２．２１）　

维普资讯

１２　湘潭大学自然科学学报　２ｏｏ２正　

厶＝（Ａ　ｇｒａｄ（ｓ＾Ｈ—Ｐ＾Ⅱ），ｇｒａｄ（　一Ｐ＾Ｈ））ｏ．ｎ≤　

ｃ　ＲⅡ一Ｐ＾Ⅱｌｌ１．ｎ　０　一Ｐ＾　ｌｌＩ－ｎ《ｃｈ２　Ｉ１　Ｈ　ｌｌ　３ｌｎ　一Ｐ＾ｕ　ｌｌＩ．ｎ　（２．恐）　

这里我们利用了Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｅｈｖ￣ｔｚ不等式和一些逼近性质，引理５，以及算子ｓ＾的性质．联立（２．１１，（２．　

１８—２．２２）以及Ｓｏ￣ｌｅｖ空间的嵌入定理，有　

Ｉ　一Ｐ＾　Ｉ　Ｉｔｍ＋ＩＩ　Ｐ＾一ＩＩ，ｐ　ＩＩ　ｃ　ｎ）≤　

ｃｈ３ｎ（ＩＩ　ｐ　

．

ｎ＋ｈ。　ｌ　ｌｐ　ＩＩ】，ｎ＋　。　ＩＩ　ｐ　Ｉ　Ｉ．　＋ｈ。　Ｉ　ＩＨ　ＩＩ　．ｎ＋ｈ　ＩＩ　ｕ　ＩＩ　３．ｎ）　（２．２３）　

综上所述，定理得证．　◇　

参考文献　

ｎ］　叫ｈ删＾１，ｃ．￣－ｉｃ　Ｆ．　卿ＲＤ．【地　一娜－ｔ特ｒ￣ｘｅｄ矗　山口嘲把“啦研ｄ一舶　舯“］，姒Ｍ　Ｊ　＾越，１９９４．　

（５）：１　３６８—１　３７７　

［２］Ｂ　Ｌｎ　Ａ　１．ｃＩ啊ｃ　Ｆ．Ｅｒｒａ－甜ｉ删ｍ∞妇ｌｅａｓｔ一哪嘲“　ｉｆｎｉｔｅ　ｄ曲　Ⅱｂ［　．ＲＡｍＯ　Ｍ￣ｌｔｈ　Ｍｏｄｅｌ羽　Ｎｍ　＾ｔｌ｜ｌ，１９９４，２８（５）｝４９９—　

５１６．　

［３］Ｌｉｎ　Ｑ，Ｙ矾Ｎ　Ｎ．Ｈｉ　ｃｉ唧ｙ　Ｆ肌Ｃｕｎ￣ｏｔｔ　ｂｉ［Ｍ］．￣ａｉｊｌｍｕ：Ｈ　ｕ　竹ＰＴ嘲．１９９６．　

［４］ＪＢ｜ＬＨ　Ｂｒａｎｄ￣．　雌嘣　瓣　ａ　啊ｊ　酬　硼妇　础　ｉｆｎｉｔｅ　ｄ㈨ｂ［Ｊ］．ＮＩ州ｌｌａｔｈ．１９９４，６８：３１１—３２４　

［５］　Ｐ＾，．Ｉｌ啪埘ＪＩＶ１．＾Ｈ由　６　ｋ　Ⅱ吼ｔ眦蛐２ｎｄ　Ｉｅｒ　ｅ¨叫　岫［ｃ］．Ｍ日ｌ｜Ｉ　Ｐｅ出０ｆｌ｝ｌｃ　ｎ　ｌｅ日哪曩Ｉ【ＭＨ　ｂ咖工ｅ　

Ｈ岫ｍ．　Ｍ　．Ｂ　ｎ：　．１卵．６０６：２９２－３１５．　

［６］ＪＤ叫　蚰Ｊｒ．ｓ　ｐｅ’∞ｍ　田“＿：ｉｎｌ｝ｌｃ　ｅ　ｍｉｎｌ｝ｌｃ　ｎｌ１宣　０ｆ　ｅ　ｄ　Ｉ∞哪即ｌ［Ｊ】．洲Ｊ　＾ｔｌ自１．１９８５，盈：９晓一９６９．　

［７］Ｅ　ＲＥ．ｓ｝・即Ｊ．’　｜Ｉｌｇ　Ｊ．＾弹Ｈ哪　０ｆ即　帅　唱ｍｃｅ　ｌ舯　ｅ憎ｉｎｌ｝ｌｃ曲哪Ｉ　０ｆ￣ｅｌｂｌｅｄＩ　矗ｃ呷　ｎｌ［Ｊ］０哪　ＩＭｅｄ・０ｄＢＡｇｐＩＭｅｅｈ　

Ⅱ　弭．１　ｌ，８９：７３—８４．　

［８］ｃ　Ｙ　Ｐ　ｓＩ柙ｖｅ　－ｕ　ｉｎ　８舢＿　∞０ｆ　日ｄ　ｅ　ｍ　ｔ［Ｊ］．Ｊ跏　＆Ｍ曲ｓｃ　．１９９８，１８（３）：３２８—３３４．　

［９］　ｃｈ棚Ｙ　Ｐ，Ｈｕａｎｇ　Ｙ　０，ｓ｝１哪ｚＨ．Ｌ蛐【一　岍　￣￣ｉｔｅｄ蚰　啪岫ｆｏｒｉｎ唧　ｅ『Ｉｌｉ　＿　矗ｃ邸帆ｌ［Ｊ］Ｎｕｍｅｒ　Ｍ　Ｊ　０ｆ　０Ｉ。。　

ｒ啪ｅ　ｕ　妇，２　．盈（３）：卵２—２７８（ｉｎ　ａ　）　

ｎＯ］０唧　Ｐ．｝ｌＩ哪　ＹＱ，９嘲ｚＨ．Ｌ删一婶－日ｒ瞪“　６　ｋ山ｎ　ｔ哺　妇一　ｇ—ｂ　ｄｌ　ｃ　砌删∞【盯．　Ｍ　￣ｉｎｉｅａ．￣１１０１，２３　

（１）；８７—９４．　．　

［Ｉ１］Ｊ胁　翻Ｊ｜．Ｒ妇ｒＩ胄Ｊ　Ｅ．Ｇ１０ｂｄ枷瞳蛔ｆａｒ　ｋ如洲ｍｄＩ　ｆｏｒ哪ｄ　ｄｌｉｐｌｉ。邮删呷［Ｊ】＿Ｍ曲　叩，１９８５．４４（１田）：３９　

—

５２．　

［１２］０哪Ｙ　Ｐ．ｓ＇脚Ｈ　啪　妇ｄＩｉ　。Ｐｒｄｄｄ憎　ｌ∞　一唧脚ＩＩ血　ｆｌｍｌｅｄｄ哪ｔ［Ｊ］．Ｉｎｔｅ￣Ｊ　ＭｅｄｍｄＢ（∞。　）