Sobolev方程的线性元超逼近性分析

2024年3月12日发(作者：梅龙湖)

第２７卷　第４期　

Ｖ＿０１．２７　Ｎｏ．４　

新乡学院学报：自然科学版　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉｎｘｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　

２０１０年８月　

Ａｕｇ．２０１０　

Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的线性元超逼近性分析　

王彩霞　

（华北水利水电学院数学与信息科学学院，郑州４５００１１）　

摘要：采用混合有限元法，在线性有限元空间上，分析了Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的半离散格式，得到了超逼近结果。　

文献标志码：Ａ　文章编号：１６７４—３３２６（２０１０）０４－００２１－０２　

关键词：混合有限元；Ｓｏｂｏｌｅｖ方程；半离散；超逼近　

中图分类号：Ｏ２４１．２１　

Ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＷＡＮＧ　Ｃａｉ．ｘｉａ　

（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

ｏｆ　Ｗａｔｅｒ　Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００１　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｅｍｉ－ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｏｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｓｐａｃｅｓ　ｂｙ　

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｉｘｅｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｓｕｐｅｒ－ｃｌｏｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ；Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｅｍｉ・ｄｉｓｃｒｅｔｅ；ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　

Ｏ　引言　

考虑　×（０，Ｔ】上的方程　

ｆ　一Ｖ・（口（　，ｔ）Ｖｕｆ＋ｂ（ｘ，ｔ）Ｖｕ）＝ｆ（ｘ，ｆ），　（Ｘ，ｔ）∈　×（０，　】；　

｛ｕ（ｘ，ｆ）＝０，　（　，ｆ）∈ａ．　×（０，　】．　（１）　

【“（・，０）＝Ｕｏ（Ｘ），　

为给定的具有有界导数的连续函数，且满足　

Ｉ６Ｉ≤ｃｔｏ，０＜　ａ　ａ２，Ｉａｔ　ｌ　

ｘ∈　

其中：　为　上的有界区域，其边界为０．６２；ｕ（ｘ，ｆ）、ｆ（ｘ，ｔ）为已知函数；ａ（ｘ，ｆ）、ｂ（ｘ，ｔ）（以下简记为ａ、ｂ）　

，ａ，ｂ∈Ｗ１，ｏｏ（　）。　（２）　

根据问题的实际意义，引入中间变量Ｐ＝ａＶｕｔ＋ｂＶｕ，则方程（１）可化为　

｛【　＋ａＶｕ　ｔ　　＝。ｂＶｕ　Ｐ　　

公式可得（３）式的混合变分形式，即求（　，Ｐ）：（Ｏ，Ｔ】　Ｖ×Ｍ使得　

●㈣　一．’Ｉ　

…　

记Ｖ＝　（　、Ｍ＝（　（　）　，用（３）式中的２个方程分别与ｖ（ｖ∈　）、ｗ（ｗ∈　）在　上作内积，再利用Ｇｒｅｅｎ　

ｆ（“，，Ｖ）一（Ｐ，　Ｖ）＝（厂，Ｖ），　Ｖｖ∈　

【（ｐ，Ｗ）一（ａＶｕ，＋ｂＶｕ，Ｗ）＝０，Ｖｗ∈Ｗ。　

文献【１】考虑了应用双线性元于（１）的问题，得到了相应的超逼近性结果；文献【２】讨论了（４）的混合有限　

元方法，但仅得到了收敛性结果。在此基础上，笔者研究了（１）的一种混合有限元格式，并利用平均值技巧　

导出了其超逼近性结论，弥补了文献【１—２】结论的不足。　

ｌ　单元的构造及逼近格式　

为了方便起见，设　是　上的有界多边形区域，其边界　平行于　轴与Ｙ轴，　是　上的正则［　】　

矩形剖分族，Ｖ　∈　；设中心位于（　，　），４个顶点分别是ａｌ（ｘＫ一　，Ｙｘ一　）、　（　＋　，　一厅　）、　

收稿日期：２０１０．０５．０６　修回日期：２０１０．０７．１ｌ　

基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６７１１８４，１０９７１２０３）；河南省教育厅自然科学研究计划项目（２０１０Ｂ１１００１７）　

作者简介：王彩霞（１９７９一），女，河南开封人。讲师，博士，研究方向：有限元方法。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｃａｉｘｉａ＠ｎｃｗｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。　

・

２２・　新乡学院学报：自然科学版　

＋　，　＋　）、ａ４（　－４＜，　＋　）。又设Ｋ＝卜１，ｌ】　是　－７７平面上的参考元，中心位于（０，ｏ），４个顶点分　

别为ａ　（一ｌ，－Ｉ）、龟（１，一１）、ｈ３（１，１）、幺（一ｌ，１），则存在可逆的仿射变换　：　

在　上构造有限元（　

∑　＝｛　，　，　）；其中　＝　（　），（ｆ＿ｌ，２，３，４），　＝　ｄ釉　，　＝　

，即ｘ＝ｘｒ＋　，　＝　＋　７７。　

７７，　，＝　７７ｄ　７７。容易验证：　

，　ｆ）），（ｆ＝ｌ，２）如下：　”＝ｓｐａｎ０，ｇ，７７，勃），∑＝｛　，　，　，　）；Ｐ（　）＝ｓｐａｎ｛１，　，１７｝，　

Ｖ　∈　（Ｋ），其插值函数　）　（ｆ＿１，２）可分别表示为：　）　＝（　１＋　２＋　３＋　４）／４＋（　２＋　３一　ｌ—ｖ４）　／４＋　

（　＋　一　一￣２）ｒ／／４＋（　＋　一　一　）　７７／４，　（　）　＝￣＇５１４＋３　／４＋３７７１７／４。　

定义一般单元　上的如　如下：　

。　

＝ｖ（　７７），　＝　７７），相应的有限元空间分别为　：吼　

‘

，　

∈　“

，

ＶＫｅＴ￣，　∈　，　Ｉｏａ＝０｝和　＝　：　ｌ　＝　。　，　∈　）ｘ／＊　，ＶＫｅ￣｝，容易验证Ｖ　ｃ　。　

：　，１ｔｋｖ＝　。　，　：　（　，砰Ｉ　ｐ＝　×　。　’，并考虑（４）式的半　

×　，使得：　

定义插值算子：　

离散格式：求（　，ｐ　）：（ｑ刀　

ｆ（　，　）一（　，Ｖ　）＝（厂，　），　

２　主要结论　

Ｖ　∈　；　，　

一　【（　，　）一（口Ｖ‰＋ｂＶｕ＾，ｗ＾）＝０，Ｖｗ＾∈　。　

为了进行超逼近分析，令ｒｌ＝ｕ－￣ｕ，，ｏ＝ｐ－￣ｐ；记　一　＝　一兀１　＋（兀ｌ“一　）＝７７＋　，ｐ—　＝　一刀２　＋　

（ＺＺ　ｐ—ｐｈ）＝ｐ＋　，由（４）式和（５）式，可得误差方程：　

ｆ（７／－，，　）＋（　，ｖｈ）＋（ｐ，Ｖｖ＾）＋（　，Ｖｖ＾）＝０，　Ｖｖ＾∈　；　，　

一　【（　，　）＋（　，　）＝　（Ｖ　＋Ｖ　）＋ｂ（Ｖｒ／＋Ｖ　），ｗ＾），Ｖｗ＾∈　。　

定理１：设（“，ｐ）和（　，　）分别是（４）式和（５）式的解，当“，　∈Ｈ。（　），则有如下结果：　

Ｉ１　一ｒｌ￣＇ｕ　Ｉｌ＋Ｉ１　ｚ　，一Ｆｌ￣ｕ，ｌＩ１≤ｃｈ　【ｅ（１　幢＋Ｉ１Ｉ　旧＋ｌ　幢＋ＩＩＩ“幛）ｄ　】　。　

证明：在（６）式第１方程中取　＝　，第２方程中取ｗ＾＝Ｖ　，联立求得：（　

（７）　

，ｖｇ）＋Ｇ，　＝－（ａＶｒａ，Ｖ　一　

（　７ｊｌ　一（　一　，　，令ａ４Ｘｌ＿【，　，ｂ４Ｋｌ一．【，６（ｂ　，则由文献【２］可知，Ｉａ－ａｌ＜＆，１ｂ－ｂｉｇ＆。另一　

ｌｌ０，６（　＝　Ｉ　ＩＶ（１ｌ。，故有：（ａｖｇ，ｖｏ　＝　一　

，ｖｏ＝　，ＶＯ—ｂ（ＶａＶＯ。由（２）式、Ｃａｕｃｈｙ、Ｙｏｕｎｇ不等式和　

方面，由文献【２］之引理１．１，可知ａ（ｖｒ￣，　＝　Ｉ　ｒ／，　

ａ）Ｖｒ￣，ＶＯ一（（６一ｂ）Ｖｒ，Ｖｇ）一（ｂＶ（，ＶＯ一　，　一　

２－　ｄｌｌ　一　（ｑ　可得：ｄｌｌＶ￣ｌｌ＝ｏ／ａ＋ｄｌｌ（１７，／ａ＿＜ｃ（Ｙ　矗惦　８Ｖ，￣ｌ　＋１ｌｒ／憾＋　Ｂ＋０Ｖ（１ｌｂ＋ｄ／（］ｒｔＩ；＋Ｉ　７７１］）。　

２边从。到ｆ积分，可得ｆｆ　ｖ４＂ｌ　＋ｆｆ　ｆ２。　Ｉ　ｔ（　ｆｉ　Ｖ　惦＋　ｆ　ｆＶｒ／ｌ５＋ｆｆ　ｒ／，惦十Ｉｆ　惦＋『ｌ　ｖ（ＩＩＤ＆砌　Ｊ：（ｆ　＋　

ｌ　ｒ／Ｉ；）　。由Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理，可得　

Ｉｌ　５＋　ｃ　（　Ｖ　３＋　Ｖ　＋ｌｌ　ｒｈ　ｌ５）　ｒＤ　Ｉ　ｒ／ＩＩ）ｄｓ。　（８）　

在（６）式第ｉ方程中取ｙ＾＝　，第２方程中取　＝　，联立求得：　＋（　ｇ）＝－－（ａｖ￣，　一（ｂＷ，Ｖｇ）一　

（ｒ／，，　），由Ｃａｕｃｈｙ、ｙｏｕｎｇ不等式，类似（８）的证明过程，可得　Ｉ　≤　０　略斩Ｉｌ　Ｉｌｒ／４　＋１　Ｉ１　）＋　

０　７７５　，把（８）代入上式，可得ｌ　１Ｂ　Ｉ　皓Ｉ　ｌ　７７　０　７７８　）　Ｉ　蛞　８　叫　ｌ０　７７ｇ　

＋１ｒ＃ｌ￣，由Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理，可得ｆｌ　腮＜ｃｃ　０　憾　《　＋Ｉ理憾）凼＋ａｈ４　Ｃ（ｆｒｈ　Ｂ＋ｆ　ｒ￣ｌ１）ｄｓ。由于珥，“∈　，则　

有Ｉ　：，１　９。　Ｉｌ０　Ｉ　ｚ｛８　，于是，有４　ｄ　睦叫　幢　ｚｆ《　“ｇ　，１　ｆｎ　ｚｆ匿叫　ｚｆｇ　赡　，　

综合有：０　一　ｕｌｌ　＋ＩＩ　一　

参考文献：　

ｃｈ　【ｆ；（ｉ　＋　幢＋　Ｉｉ；＋１“Ｉ；）　】　，即（７）式成立。　

【１】郑克龙．Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的混合有限元法［Ｄ］．成都：四川大学数学系，２００５．　

［２】林群，严宁宁．高效有限元构造与分析【Ｍ】．保定：河北大学出版社，１９９６：５－１５２　

【３】ＣＩＡＲＬＥＴ　Ｐ　Ｇ　Ｔｈｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｍ］．Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ　Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１　９７８：１３２．　

【责任编辑王云鹏】