抛物方程的非协调类Wilson元超收敛性分析和外推

2024年3月12日发(作者：awhile)

高校应用数学学报　

２０１２，２７（３）：２９３—３０２　

抛物方程的非协调类Ｗｉｌｓｏｎ元超收敛性分析和　

外推　

马国锋　，石东洋　

ｆ１．许昌学院数学与统计学院，河南许昌４６１０００；　２．郑　’Ｉ＇ｌ大学数学系，河南郑９。Ｉ＇１　４５００５２）　

摘要：本文主要研究类Ｗｉｌｓｏｎ元对抛物方程的逼近．当问题的解　∈Ｈ０（Ｑ）及　∈　

Ｈ　ｆ【２１时，利用该元的非协调误差在能量模意义下分别可以达到Ｏ（ｈ　）和０（　０）比其插　

值误差高一阶这一特殊性质，运用对时间ｔ的导数转移技巧，再结合双线性元的高精度　

分析及插值后处理技术，导出了Ｏ（ｈ２１阶超逼近性质和整体超收敛．进一步地，通过构　

造了一个新的外推格式，得到了具有更高精度０（　０）阶的外推结果．　

关键词：抛物方程；类Ｗｉｌｓｏｎ￣；高精度分析；插值后处理；外推　

中图分类号：０２４２．２１　

文献标识码：Ａ　文章编号：１０００－４４２４（２０１２）０３—０２９３—０１０　

§１　

引　言　

’　

（　，ｔ）∈／２×（０，　］，　

（Ｘ，ｔ）∈ａ　×（０，　］，　

Ｘ∈　．　

（１）　

这里／２　ｃ　Ｒ０是具有Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续边界的有界凸多边形区域，Ｔ∈（０，ｏｏ）为一定值，Ｘ＝（ｚ，　），　

ｆ（Ｘ，ｔ）及札０（　）为给定的光滑函数．　

大量物理现象可由上述抛物方程来描述（比如热传导，扩散，生物力学等实际问题），并已出　

现了许多有关此类方程的有限元方法研究【ｌｌ　５Ｉ．其中ｆ１］讨论了在矩形网格下双ｐ次元的超逼近　

性质．ｆ２１探讨了一维情形下的连续有限元方法，得到了网格节点上的超收敛性．ｆ３—４】研究了各　

向异性网格下的双二次元逼近，通过积分恒等式和插值后处理技术，得到了相应的超逼近和超　

收敛结果．『５１提出并分析了问题（１）的ｍｏｒｔａｒ元方法的收敛性，得到了Ｌ０模及能量模的误差估计．　

ｆ６１及ｆ７１分别在正则网格和各向异性网格下给出了Ｓｏｂｏｌｖｅ型方程Ｗｉｌｓｏｎ元解的高精度分析，利　

收稿日期：２０１１—１１—０１　修回日期：２０１２—０７—０４　

基金项目：国家自然科学基金（１Ｏ６７ｌ１８４；１０９７１２０３）；高等学校博士学科点专项科研基金（２００ｇ４ｌ０ｌ１１００Ｏ６）；河南　

省科技厅项目（１２２３００４１０２６６）；河南省教育厅项目（１２Ａｌ１００２１）　

２９４　高校应用数学学报　第２７卷第３期　

用Ｗｉｌｓｏｎ元插值的线性部分与双线性元解一致的特点，得到了Ｏ（ｈ　）的整体超收敛和后验误差估　

计，分别给出了Ｏ（ｈ３）阶和Ｏ（ｈ４）阶的外推结果．ｆ８１在各向异性网格下研究了二阶椭圆边值问题　

的Ｗｉｌｓｏｎ元方法，并用类似于ｆ６．７］的技巧，得到了超收敛结果．ｆ９１和ｆ１０］分别讨论了粘弹性方程　

的ＡＣＭ元和二阶椭圆问题的一个新的Ｈｅｒｍｉｔｅ型矩形元的超收敛及外推．但是，关于方程（１）的　

非协调元的外推还未见详细的报道．　

本文将主要讨论问题（１）的类ｗｉｌｓｏｎ元在矩形网格下解的超收敛和外推．由于ｆ６１和ｆ７１中的方　

法对方程（１）不再适用，利用『１１］￣［１２］中分别证明的相容误差比插值误差高一阶和二阶的性质，　

通过对时间　的导数转移技巧，结合对双线性元已有的高精度分析【１３］及插值后处理技术，导出了　

与【８卜一样的Ｏ（　０１阶超逼近性质和整体超收敛结果．进一步构造了一个新的外推格式，得到了具　

有Ｏ（ｈ０）阶精度的近似解，从而丰富了非协调有限元的研究内容．同时文中也指出，本文的超逼　

近和超收敛结果对『１１中所讨论的广义矩形网格也是成立的．　

§２单元构造与有限元逼近　

设露＝［一１，１】×［一１，１］为参考单元，四个顶点分别为五：［一１，一１】，盈＝［１，一１］，　＝　

［１，１］，五＝［－１，１］．类ｗｉ１ｓｏｎ有限元（露，声，　）定义如下　

Ｐ＝ｓｐａｎ｛　（　，叩），（ｉ＝１，２，３，４），　（　），　（叩）），　

宝＝　ｃｉ＝１，２，３，４，，丽１　筹　叼，高　等　

其中　

＝　

（　（　叩）＝　（１＋已ｆ）（１＋　叩），（　１，∈２，∈３，　）：（一１，１，１，一１），　

（研１，叼２，叼３，”４）＝（一１，一１，ｌ，１），　（ｔ）＝去（ｔ　一１）一　５２、ｔ　一１）．　

则露上的形函数可表示为　

４

＝　

洲　一　

是　的一个矩形网格剖分，满足正则　设　是一个矩形区域，其边ａ　分别平行于　轴￥ｎｙ轴　

性条件．设Ｋ∈　，Ｋ的中心点为ｘＫ，　），四个顶点分别为Ａｉ＝（ＸＫ—　，Ｋ，ＹＫ—　，　），Ａ２＝　

（ＸＫ＋ｈ　，Ｋ，ＹＫ—ｈｙ，　），Ａａ＝（ＸＫ＋　，Ｋ，ＹＫ＋ｈｙ，　），Ａ４＝（ＸＫ—ｈ　，Ｋ，ＹＫ＋ｈｙ，　），边分　

别为２１＝—Ａ１—Ａ２，２２＝—Ａ２—Ａ３，２３＝—Ａａ—Ａ４，２４：—Ａ４—Ａ１，这里２　

Ｋ￣２ｈｙ，Ｋ分别为沿Ｘ．轴方向与　

，

沿Ｙ一轴方向的边的长度．　为　的直径，ｈ＝ｍ

ａｘ　

～

．　

定义仿射变换Ｆ　：Ｋ—　如下　

Ｘ　＝ＸＫ＋∈　，Ｋ，　Ｙ　＝ＹＫ＋叼　，Ｋ　

对任意Ｋ上函数　（　，　），定义　

（∈，叩）＝ｖ（ｘ　（∈），ｙｇ（叩））　

马国锋等：抛物方程的非协调类Ｗｉｌｓｏｎ元超收敛性分析和外推　２９５　

在矩形单元　上，定义形函数空间　

：

｛ｐ：Ｉｐ＝　。　，ｊ弓∈声）　

∈，＾，　在边界节点上为零）．容易　

／●●，（１●　

设　九为　上相应的有限元空间，Ｖｈ＝｛　：　ｆＫ∈　，　

验证Ｉ．｝ｈ＝（∑Ｉ．　Ｋ）　是　ｈ上的模．对任意口＾∈Ｖｈ，＂＾可表示为　＾：　＋　ｊ，其中　和　ｊ分　

ＫＣｒｈ　

别表示　ｈ的协调部分和非协调部分．　

∑Ｋ　

）０　

引理１　。】Ｖ＂ｈ∈Ｖ　，ｑ∈Ｐ１（　），则有　

ｕ　

－

￡，＾ｌ２＾＋Ｊ　＾１ｆ　２＝｝　Ｉ　，Ｉ　１０　Ｃｈｌｖ１１￣　

磐　筹　。　

＝　

ＪｏＫ　礼　

厂　州　

Ｃｈ。Ｉ　Ｉ３Ｉｕ　Ｊ九，　∈Ｈ。（　），　

…　（　）　

Ｋ　

这里　（　）是　上一次多项式，ｎ为单位外法向量，Ｃ为与　无关的正常数　

与（１）等价的变分问题为：求ｕ∈础（力），使　

Ｖｖ∈硪（仃）　

Ｘ∈　．　

设　ｈ为双线性元空间，　为　ｈ上的插值算子，则（６）的离散问题为：求¨ｈ∈　，使　

Ｉ（ｕ｝，Ｖｈ）＋（Ｖｈｕｈ，　ｈ＂ｈ）ｈ＝（，，　

Ｖｕ＾∈Ｖｈ

，　

Ｉ　ｕ＾（　，０）＝　ｕ０（　），　

Ｘ∈　．　

其中，　ｈ表示分片求导，（ｕ，ｖ）ｈ＝　／ｕｖｄｘｄｙ　／‘　一　

ｊ　Ｋ　

§３超逼近和整体超收敛　

下面的结论在本文的分析中起着关键作用　

弓Ｉ理２［１，１３］　ｖ　Ｖｈ∈　，贝０有　

（　一　州咖　｛　ｈ２ｌ

ｕ　［３ｌ　Ｖｈｌｈ，　ｕ

ｕ

∈

ｅ　Ｈ３（　￣２；　

引理３设　＝札一，ｈ乱，则有　

（３）　

（５）　

∑　

２９６　高校应用数学学担　第２７卷第３期　

证　由Ｃａｕｃｈｙ．Ｓｃｈｗａｒｔｚ不等式，插值理论及（３）得　

Ｖ

一

‘　

Ｃｈ　

‘Ｉ　ｌ２ＩＶ　

ｌ　

ｈ　

：　

—　

Ｉｈ　（Ｖｈ＇．＂

）１０

ＩＶｈｖ　￣ｌｏ

１ｗｌ３１Ｖｈ　１．ｈ　

ｆ。　Ｌ／ｎ　

（８）　

。ｌ　一Ｉｈｕｌ３　Ｉｈ：Ｃｈ　３　ｌｈ．　

注意到面　∈　＾，由（２），引理２及（８）式得　

（　，ｖ＾ｕ　）九：（　ｈ　，ＶｈＶｈ）ｈ＋（　ｈ　，Ｖｈ　）　

Ｃｈ２１ｕｌ３　５　ｈｌｈ＋Ｃｈ。ｌｕＩ３Ｉ　Ｉｈ　Ｃｈ　ｌ“，ｌ３ｌ　ｈＩｈ‘　

令ｎｈ为日　（　）　Ｑ≥（双二次有限元空间）的插值算子，根据插值理论和逆不等式得　

：

Ｉ　

１

：　蚤　

（　）１０ｌＶ＾　ｌｏ　ｃｈ　１　＾　１３１　１　Ｌ／ｎ　ｆ　

１　

ｈ　—　ｈ

’　

ｃ９　

Ｃｈ＋ｌｕｔ４　Ｉｌ　Ｃｈ。ｔ￣ｔ４ｔｖｈｔｏ・　

（９）再结合弓Ｉ理２得　

（ｖｈ　，　ｖｈ）ｎ　Ｃｈ。ｌＩ“　ｈ　１０－　

定理１设ｕ，　分别为（６）和（７）的解，“，“，ｔ∈硪（　）ｎ日。（　），则有下面的超逼近性和收敛　

性结果　

ｊ　ｕ—ｕｈ１ｈ　ｃｈ。［　（１ｕｔｌ；＋１ｕｔｌ；）ｄｓ＋ｌｕＩ；］　，　

（１Ｏ）　

Ｉ　一　ｈＩ　ｃ　｛【／二　（１札　ｌｉ＋１ｕｔ１；）ｄｓ＋　．ｕ偿】　＋｛ｕｌ　）・　

进一步地，当　，仳　∈碥（　）ｎＨ　（　）时，有　

Ｉ　一　ｈｆ　Ｃｈ。［Ｊ（。（１ｕ　ｌ　＋１ｕ　Ｉ）ｄｓ］　，　

【　一钆ｈＩ＾　｛ｌ　　ｌ＋【　（Ｉ　ｔ１；十Ｉ　ｌｉ）ｄｓ］　）・　

证对任意　∈　ｈ由（１）和（７）可得误差方程　

＋（　以　）ｈ：　

令　ｈ：　，则　

）一（　）＾＋∑

Ｋ　

州ｓ　

Ｌ

ｊ８Ｋ　ｏ讯　

厂　Ｏｄ　

Ｋ　

马国锋等：抛物方程的非协调类Ｗｉｌｓｏｎ：，Ｌ超收敛性分析和外推　

（１５）式右端第一项司估计为　

Ｉ（　ｔ，　）ｌ　Ｃｈ　ｌｕｔ１２１ｏｔＩｏ　Ｃｈ　ｌ“ｔｌ；＋Ｉ　ｌ３，　

由引理３和（４），（１５）式右端第三项和第五项分别估计为　

Ｉ（　ｔ，Ｖ￣Ｏ）ｈＩ　Ｃｈ　ｌｒ“ｔ１３１ｏ１０　Ｃｈ　ｌｕｔｌ；＋Ｃｌｅｌ［，　

Ｉ∑

Ｏｕｔ　ｌ　１　ｌ

＾　　ＩｔＩ；　　１

Ｋ　Ｋ　

利用（１６）一（１８）将（１５）变形为　

ｌ　ｄ　Ｃｈ４（ｆｕ　２）＋　＋　ｄ　

ｓ　

ｄ（Ｖ

ｈＷ，Ｖｈｇ　

Ｋ　

上式两边从０到ｔ积分并利用ｏ（ｘ，０）：０得　

／ｏ　（　ｔ１２）ｄｓ＋Ｃ　＋　Ｋ　ＯＵ　一（Ｖ￣ｗ，ＶｈＯ　

由（４）知　

＜

Ｃｈ２Ｉ，“　ｈ￣－ＣｈａＩ　１

．

＿

根据引理３知　

一

（　ｈ　，Ｖ￣０）ｈ　Ｃｈ　ｆｕｆ３Ｉ　ｆ＾　Ｃｈ　ｆｕｆ§＋　ｆ　Ｉ　．　

由（１９）一（２１）式得　

Ｉ　　Ｉｃ　（　０　（１ｕｔＩ　＋ｌ，“　１；）ｄｓ＋１ｕｌ；）＋；ｏ　　ＩＩ　＋　１Ｊ　０　Ｉ　ｄｓ．　

再由Ｇｒｏｎｗａｌｌ￣ｌ理可导出　

ＩＯｌｈ　Ｃｈ　［（／（１ｕｔＩ；＋Ｉ　Ｉ￣）ｄｓ＋Ｉ乱ｌ２３，Ｊ１　，　

即（１０）式成立．利用三角不等式及插值理论得　

　ｆ一ＵｈＩ＾　ｌｎ—Ｉｈｕｌｈ＋ｌｉｅｕ一　ｈｆ＾　Ｖｈｌｕｌ２　４－Ｃｈ　［／（１ｕｔｆ；＋ｆ　ｔＩ￣）ｄｓ＋ｌ　Ｉ；］　

ｔ　

０　

｛【／（１￣ｔｌ；＋ｌｕｔｌ￣）ｄｓ＋Ｉ　Ｉ３２　Ｊ　ｚ１＋ｊｕ　　Ｊ）．　

另一方面，当ｕ，ｕｔ∈础（　）ｎ　Ｈ　（　）时，对（１４）式各项分别重新进行估计．　

根据插值理论，（１４）式中第一项可估计为　

ｌ（　￡，ｕ＾）１　Ｃｈ。ｌｕｔＩ￣ｌｖｈｌｏ　Ｃｈ　Ｉ“ｔＩ；＋ｌＩｖｈｌｌ￣ｏ，　

再由引理２，（１４）式中第二项可估计为　

１（　ｈｕ，ＶｈＶ￣）ｈｌ　Ｃｈ　ｌｕｌ４１ｖｈｌｏ≤Ｃｈ　ｌｕＩｉ＋ｃｌｖｈｌ￣，　

２９７　

（１６）　

（１７）　

（１８）　

（１９）　

（２０）　

（２１）　

（２２）　

（２３）　

２９８　高校应用数学学报　第２７卷第３期　

利用逆不等式和（５），（１４）式中第三项可估计为　

ｄｓ＜　

Ｋ　

ｌ　『ｈ＜＿Ｃｈ２ｌ　ｌｏ￣Ｃｈ４　

（２４）　

因此，根据（２０）一（２２），（１４）式可估计为　

（　，ｕ　）＋ＷｈＯ，ＶｈＶｈ）ｈ　Ｃｈ　（１ｕｔＩｉ＋ｌｕｌ１）＋ｃＩＩｖｈ　

在（２５）中令Ｖ＾＝　得　

（２５）　

三ｄｌ０１￣　ｃ　（１札　）　

对（２６）式两边从０到　积分并利用　ｆ　，０）：０得　

（２６）　

ＩＯｌｈ　Ｃｈ。［（／（１ｕｔＩ　＋　）ｄｓ】　，　

＿，０　

即（１２）式成立．　

再根据三角不等式和插值理论得　

ｔ　

　一　＾ＩＩｈ　Ｊ钆　

札Ｊ＾＋Ｉ　一ｒ“ｈｌｈ　Ｃｈ。｛ｌｕｌ￣＋［／（Ｉ钆　Ｉ；＋Ｉ钆　）ｄ８］　）　

定理得证．　

为了

得到整体超收敛，设　∈Ｆ２ｈ是由，　中相邻四个单元合并构成的一个大单元

４

，

记　

为　Ｕｌ　・在大单元上，在　上同［１］一样构造如下的插值后处理算子Ⅱ；ｈ．　

Ⅱ；　仳　Ｉ霞∈Ｑ２（　），　Ｖｕ∈ｃ（Ｒ）　

其中Ｑ２（　）为　上双二次Ｌａｇｒａｎｇｅ多项式空间，　（　）为　上的连续函数空间

则有　

，

Ⅱ；ｈ　札＝Ⅱ；　ｕ　

（２７）　

（２８）　

Ⅱｌｈ　—　ｌ１　

其中　是双二次有限元空间．　

Ｃｈ。　３

，　

ｕ∈Ｈ。（　），　

Ｖｖ∈　，　

ＩⅡ；ｈｖｌ１　

ｃｉｖｉｌ，　

（２９）　

定理２在定理ｌ的假设下，则有下面超收敛结果　

ＩⅡ　２ｈｕｈ一札Ｉ　Ｃｈ。｛Ｉ钆Ｉｓ＋Ｅ／ｏ　（Ｉ　ｔｆ；＋Ｉ“ｔＩ；）ｄｓ＋ｌ乱ｔＩ；］　）．　

证　注意到Ⅱ；ｈ　“　一．“＝Ⅱ；ｈ　一ｎ；　乱＋Ⅱ；　一“，由（２７）和（２８）可得　

ＩⅡ；ｈ厶钆一ｕＩ１＝ｌⅡ；ｈ　一乱Ｉ１　Ｃｈ　Ｉ　ｌ３，　

再由（２９）及定理１　

ｌⅡ；＾ｕｈ一Ⅱ；　ｌ１＝『Ⅱ；　（　ｈ一厶札）Ｊ１　Ｃｌｕ　—Ｉｈｕ　Ｊ＾　

Ｃｈ。［／（１乱ｔｌ；＋Ｉ　ｔＩ￣）ｄｓ＋Ｉｕ　Ｊ；］　，　

马国锋等：抛物方程的非协调类Ｗｉｌｓｏｎ元超收敛性分析和外推　

Ｉｎ；ｈｕｈ－Ｕ　Ｉ＾。Ｉ　Ｅ／ｏ　（ＩｕｔＩ；＋Ｉ仳ｔ１；）ｄｓ＋Ｉ　ｌ；］　＋ｌ扎Ｉｓ）　．

§４外推　

Ｉｏ一　ｈｌ　ｃ　＾。【ｌｕＩｉ＋／ｌ乱　ｌ２４ｕ　Ｊ１ｉ．　

所以　（”）是础（　）上的有界泛函，根据微分方程解的正则性理论可知　

Ｉ（　ｈ，Ｖｈ）＋（　ｈ　＾，ＶｈＶｈ）ｈ＝Ｌ（Ｖｈ），　ＶＶｈ∈Ｖｈ　

Ｉ　Ｉｈ～厶　ｌＩ＜Ｃｈ。［厂　（　；＋　）ｄｓ　

（Ｏｒ－ｈｃｐ　ｈ）＋（　（０－ｈ￣ｈ　）　州ｓ　

攀氍　

２９９　

（３０１　

（３１）　

（３２）　

（３３）　

（３４）　

（３５）　

（３６）　

高校应用数学学报　第２７卷第３期　

利用（５）和Ｙ（）ｕｎｇ不等式得　

根　

据　

Ｏｕｔ（　ｄｓ１＜

Ｃｈ３Ｉ　山ｌ０－－ｈ￣ｈ１ｈ＜Ｃｈ６ｌ　

＿

０　…ｈ　２　．　（３７）　

变　

０一　ｈ　

一　

ｈ）ｄｓ＋Ｃｈ。ｌｕ￡Ｊｉ＋ｃＩｏ一　ｈｌ　

（３８）　

∑　、√．　

对（３８）两端从０到　积分，￣

一　，　

Ｊｏ（ｘ，０）一　ｈ（　，０）＝０，并结合（５）得　

ｔ　ＩＩｏｔ一　Ｊ　Ｊ３ｄｓ＋去Ｊ　一　＾Ｉ　

ｄ　

＝　

（０－ｈ￣ｈ）ｄｓ＋Ｃｈ６　Ｊｏ　ＩＵｔ￣４２ｄｓ＋Ｃ／ｏ。１０－ｈ￣ｈ　ｓ　

Ｃｈ。１￣１４１ｏ一　ｈＩ　＋　＾。／ｆＪ０　　Ｉｉｄｓ＋　／１０一　ｈＩ２ｄ　

ｒｔ　

，。０　

√Ｏ　

ｒｔ　，’ｂ　

Ｃｈ。ｆ训ｉ＋ｃｌ　一　ｈｌ　＋Ｃｈ。／ＩＵｔＩｉｄｓ＋Ｃ／１０一　ｌ　ｄ。　

ｒｔ　０　Ｊ　０　

Ｃｈ。（Ｉ钆　＋／ｌ　“ｔＩｉｄｓ）＋Ｃ／１０一　ｈｌ　ｄｓ，　

即Ｉ　一＾　＾Ｉ２　Ｃｈ。（１训ｉ＋／ＩＵｔｌｉｄｓ）＋ｃ／１０一　ｈ　Ｊ　ｄｓ．　

根据Ｇｒｏｎｗａｌｌ￣ｌ理得　

１０一　ｈｌ　Ｃｈ。【Ｉｕ　＋／１　ｔｌ　ｄｓ】　．　

定理得证．　

与前面【１２】的定义方式类似，用　∈，。ｈ表示将，ｈ中相邻九个单元合并构成的一个大单元　

记为　＝Ｕ　Ｋｉ．在大单元上：Ⅱ３ｈＷ　ｉ贾∈Ｑ３（　），ｖｗ∈　（　），且　

Ⅱ；ｈ加（Ａ）＝ｗ（Ａｉ），　ｉ＝１，２，…，１６，　

其中　ｔ，ｉ＝１，２，…，１６为小单元的所有顶点，　

Ｑ３（　）为　上双三次Ｌａｇｒａｎｇｅ多项式空间，ｃ（ｇ）　

为　上的连续函数空间．则有如下性质　

Ⅱ；　ｕ＝Ⅱ；＾　，　

Ⅱ；　钆一　ＩＩ１　Ｃｈ。１１￣ｌｌ４　

Ⅱｉ＾ｖｉｉ１　ｃｌｌｖｌｌｌ，　Ｖｖ∈Ｖ　

定理４在定理２的条件下，设，鲁，，警分别为矩形剖分　，　

（３９）　

（４０）　

（４１）　

中点加密后得到的网格，　

￣＾＝２Ⅱ　鲁一Ⅱｉｈｕ＾为外推解，７２￣Ｕｔ∈Ｈ　（　），有　

ｕ一　＿ｌ１＝Ｏ（ｈ。）　

（４２）　

马国锋等：抛物方程的非协调类Ｗｉｌｓｏｎ￣Ｌ超收敛性分析和外推　３０１　

证　由（３４）及（３９）和（４１）得　

ｌｌ　

＝＝

ｌｌ２（ＩＩ３ｈ　ｕ￣　

Ⅱ　鲁　“）＋２（Ⅱ　鲁乱一　）一（Ⅱｉ　ｕ　～Ⅱ；ｈ　ｕ）～（Ⅱ；ｈ　～ｕ）Ｉ１　

ｌｌ２Ⅱ　（　鲁　

一

～

：

羞　）＋２（Ⅱ　一札）一ｎ￣ｈ（ｕ＾一　一＾　）　

一

（ｎ；＾　

ｕ）＋　（Ⅱ　一ｎ；　）【ｌ１　

一

ｃ（１ｌｎ￣（ｕ　

一　鲁ｕ—　）ｌｌ　十ｌＩⅡ　２“一乱ＩＩ　

＋ｌｌⅡ　（乱　一　

ｆｉ１＋ｌｌⅡ；ｈ　“一钆ｆｆ１＋　ｌｌⅡ　

２　

＝

Ⅱ；ｈ　ｌｌ１）　

∑厶．　

根据定理３得　

ＩＩｎ　（“鲁一　导ｕ＿鲁　皇＋

箬　鲁一≥　）１　

ｌｌⅡ　（　“导一＾

鲁　导ｌｌｌ＋　Ⅱ　（　鲁一Ｉ￣ｑｏ）ｌｌ１　

＝

，

ｕ一

．

（４３）　

（４４）　

ｌＩ札皇一　号ｕ～　鲁ｌＩ１＋Ｃｈｌｌ￣一　鲁　ｌＩ１＝Ｏ（ｈ。）．　

同理　

／３　ｌ　ｌ＾一　

根据（４０）得　

一　ｈＩｌｌ＋　ｌ　～厶　ｆｌｆ１＝Ｏ（ｈ３）　

＋Ｉ４＝　Ⅱ　

由ｆ３１）得　

～　ｆｆ１十ｆｆⅡ　“一　＝Ｏ（ｈ。）．　ｆ４５）　

（ＩｌⅡ　一　ｌｌ１＋ｌｌⅡｉｈ　一　【ｌ１）　Ｃｈ＂。　ｌｌ３＝Ｏ（ｈ３）．　

根据（４３）一（４６）导出（４２）．定理得证．　

ｆ４６１　

注　因为［１ｌ】中已经证明了引理ｌ中的（４）在任意四边形网格下成立

［１１中又已证明引理２的　

第一个结论在广义矩形网格下亦适用，因此本文中的超逼近结果（即定理１中的第一个结　

，

论（１０）式）及定理２中的超收敛结果在广义矩形网格下也是正确的

．　

参考文献：　

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Ｓｕｐｅｒｃ０ｎＶｅｒｇｅｃｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉ０ｎ　ｏｆ　ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｉｎｉｎｇ　

ｑｕａｓｉ－Ｗｉｌｓｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｆｏｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　

ＭＡ　Ｇｕｏ－ｆｅｎｇ　，ＳＨＩ　Ｄｏｎｇ－ｙａｎｇ。　

（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｘｕｃｈａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｃｈａｎｇ　４６１０００，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００５２，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｑｕａｓｉ—Ｗｉｌｓｏｎ　ｉｆｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｍａｉｎｌｙ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｏｆｒ　ｐａｒａｂｏｌｉｃ　

ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ，ｔｈａｔ　ｉｓ，ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ　ｅｒｒｏｒ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ｏｒ　

Ｏ（ｈ。）（ｗｈｅｎ　ｕ　ｂｅｌｏｎｇｓ　ｔｏ　Ｈ。（　）ｏｒ　Ｈ　（　））ｉｎ　ｂｒｏｋｅｎ　ｅｎｅｒｇｙ　ｎｏｒｍ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｏｎｅ　ｏｒｄｅｒ　

ｈｉｇｈｅｒ　ｔｈａｎ　ｉｔｓ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｅｒｒｏｒ，ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｔｉｍｅ　ｔ，ｔｈｅ　

ｋｎｏｗｎ　ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｂｉｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ａｎｄ　ｐｏｓｔ—ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｔｈｅ　ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　

ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ａｎｄ　ｓｕｐｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ａｒｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｅ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　

ｗｉｔｈ　ｈｉｇｈｅｒ　ｏｒｄｅｒ　Ｏ（ｈ　）ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ａ　ｎｅｗ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ．　

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒａｂｏｌｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｑｕａｓｉ－Ｗｉｌｓｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔ；ｈｉｇｈｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ；ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ｐｏｓｔ　ｐｒｏ－　

ｃｅｓｓｉｎｇ；ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　

ＭＲ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ：６５Ｎ１５；６５Ｎ３０