(北师大版数学)九上第1至4章知识点(再总结)

2024年3月12日发(作者：采摘葡萄)

第一章 《特殊的平行四边形》

一.知识点：平行四边形，菱形，矩形，正方形，各自的性质和判定(看笔记)；

(一)菱形：

(1)有一个内角是60°(或120°)，较短的对角线将菱形分成了两个等边三角形，较短的对角

线等于边长，较长的对角线=边长的

3

倍；

(2)菱形的对角线平分一组对角(即具有角平分线的性质)，两条对角线分成的四个小直角三角

形全等；

(3)面积=底×高=

1

对角线乘积；

2

(4)是轴对称图形(分别是两条对角线所在的直线)，也是中心对称图形(对称中心为对角线的交

点)，过对称中心的任意一条直线都可以将它的面积平分；

(5)两条宽度相等的矩形纸条重合，重合部分是菱形.

(二)矩形

(1)是轴对称图形(即过对边中点的直线)也是中心对称图形；两条对角线分成的四个三角形面

积相等，而且是四个等腰三角形(注意：相对的两个等腰三角形全等)；

(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半(特别重要，在等腰三角形，△的全等，△的相似

中经常用到)；

例如：如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.

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AB，DF=AC（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

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1DEDFEF1

EF=BC(三角形的中位线性质)，∴



，∴△DEF∽△ABC(三边对应成比

2ABACBC2

提示：DE=

例的两个三角形相似)

(三)正方形

(1)四条对称轴，一个对称中心；对角线分成的四个三角形是全等的等腰直角三角形；

(2)注意正方形在相似中的作用，利用勾股定理表示三角形的边经常用到.

特别注意：

如果要从对角线入手判定四边形是特殊的平行四边形，“互相平分”是前提，没有这个条件，

添加其它再多的条件都是没有意义的；

二.中点四边形：(只与原四边形的对角线“相等”还是“垂直”有关系，与互不互相平分无

关)

(1)对角线既不相等也不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形(如：一般的四边形，平行

四边形的中点四边形都是平行四边形)；

(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形(如：矩形，等腰梯形它们的中点四边形都是菱

形)；

1

(3)对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形(如菱形，筝形它们的中点四边形都是矩形)；

(4)对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形(如：正方形的中点四边形是正方形，

当然还有其它满足条件的四边形)；

三.特殊三角形边的关系

(1)30°，60°，90°的直角三角形：三边的比是：1:

3

：2；

(2)45°，45°，90°的直角三角形：三边之比是：1:1:

2

；

(3)30°，30°，120°的等腰三角形：三边之比为：1:1:

3

；

(4) 边长为a等等边三角形面积为：S=

3

2

a

.

4

习题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，E是BC的中点，点P以每秒1个

单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点

C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为几秒时，

以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

第二章 《一元二次方程方程》：

一.判断是不是一元二次方程方程的标准：

首先必须要把方程化成一般式，并且要化到最简[ax²+bx+c=0(a≠0)]再判断,关于谁的方程，

谁就是未知数，其它的字母当做已知数对待，例如：a²-a+x=0，是关于a的一元二次方程，

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