初中三角函数公式大全

2024年3月9日发(作者：感恩父母小故事)

三角函数公式大全

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=2tanA/1-tanA^2

注：SinA^2 是sinA的平方 sin2A

三倍角公式

sin3α=4sinα·sinπ/3+αsinπ/3-α

cos3α=4cosα·cosπ/3+αcosπ/3-α

tan3a = tan a · tanπ/3+a· tanπ/3-a

三倍角公式推导

sin3a

=sin2a+a

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2sinα+t,其中

sint=B/A^2+B^2^1/2

cost=A/A^2+B^2^1/2

tant=B/A

Asinα+Bcosα=A^2+B^2^1/2cosα-t,tant=A/B

降幂公式

sin^2α=1-cos2α/2=versin2α/2

cos^2α=1+cos2α/2=covers2α/2

tan^2α=1-cos2α/1+cos2α

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=sinα/2+cosα/2^2

=2sina1-sin²a+1-2sin²asina

=3sina-4sin³a

cos3a

=cos2a+a

=cos2acosa-sin2asina

=2cos²a-1cosa-21-sin²acosa

=4cos³a-3cosa

sin3a=3sina-4sin³a

=4sina3/4-sin²a

=4sina√3/2²-sin²a

=4sinasin²60°-sin²a

=4sinasin60°+sinasin60°-sina

=4sina2sin60+a/2cos60°-a/22sin60°-a/2cos60°-a/2

=4sinasin60°+asin60°-a

cos3a=4cos³a-3cosa

=4cosacos²a-3/4

=4cosacos²a-√3/2²

=4cosacos²a-cos²30°

=4cosacosa+cos30°cosa-cos30°

=4cosa2cosa+30°/2cosa-30°/2{-2sina+30°/2sina-30°/2}

=-4cosasina+30°sina-30°

=-4cosasin90°-60°-asin-90°+60°+a

=-4cosacos60°-a-cos60°+a

=4cosacos60°-acos60°+a

上述两式相比可得

tan3a=tanatan60°-atan60°+a

半角公式

tanA/2=1-cosA/sinA=sinA/1+cosA;

cotA/2=sinA/1-cosA=1+cosA/sinA.

sin^2a/2=1-cosa/2

cos^2a/2=1+cosa/2

tana/2=1-cosa/sina=sina/1+cosa

三角和

sinα+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sin

β·sinγ

cosα+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sin

β·cosγ

tanα+β+γ=tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan

γ·tanα

两角和差

cosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cosα-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tanα+β=tanα+tanβ/1-tanα·tanβ

tanα-β=tanα-tanβ/1+tanα·tanβ

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sinθ+φ/2 cosθ-φ/2

sinθ-sinφ = 2 cosθ+φ/2 sinθ-φ/2

cosθ+cosφ = 2 cosθ+φ/2 cosθ-φ/2

cosθ-cosφ = -2 sinθ+φ/2 sinθ-φ/2

tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB=tanA+B1-tanAtanB

tanA-tanB=sinA-B/cosAcosB=tanA-B1+tanAtanB

积化和差

sinαsinβ = cosα-β-cosα+β /2

cosαcosβ = cosα+β+cosα-β/2

sinαcosβ = sinα+β+sinα-β/2

cosαsinβ = sinα+β-sinα-β/2

诱导公式

sin-α = -sinα

cos-α = cosα

tan —a=-tanα

sinπ/2-α = cosα

cosπ/2-α = sinα

sinπ/2+α = cosα

cosπ/2+α = -sinα

sinπ-α = sinα

cosπ-α = -cosα

sinπ+α = -sinα

cosπ+α = -cosα

tanA= sinA/cosA

tanπ/2＋α＝－cotα

tanπ/2－α＝cotα

tanπ－α＝－tanα

tanπ＋α＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限

万能公式

sinα=2tanα/2/1+tan＾α/2

cosα=1-tan＾α/2/1+tan＾α/2

tanα=2tanα/2/1-tan＾α/2

其它公式

1sinα^2+cosα^2=1

21+tanα^2=cα^2

31+cotα^2=cscα^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除sinα^2,第二个除cosα^2即可

4对于任意非直角三角形,总有

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证:

A+B=π-C

tanA+B=tanπ-C

tanA+tanB/1-tanAtanB=tanπ-tanC/1+tanπtanC

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

得证

同样可以得证,当x+y+z=nπn∈Z时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

6cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2cotB/2cotC/2

7cosA^2+cosB^2+cosC^2=1-2cosAcosBcosC

8sinA^2+sinB^2+sinC^2=2+2cosAcosBcosC

9sinα+sinα+2π/n+sinα+2π2/n+sinα+2π3/n+……+sinα+2πn-1/n=0

cosα+cosα+2π/n+cosα+2π2/n+cosα+2π3/n+……+cosα+2πn-1/n=0 以及

sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/3=3/2

tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B=0