概率论与数理统计课后习题答案第八章习题详解

2024年3月9日发(作者：冬至大过年)

习题八

1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布

N

,.现在测了5炉铁水，其

含碳量（%）分别为

问若标准差不改变，总体平均值有无显着性变化（



=）

【解】

H

0

:







0

4.55;H

1

:







0

4.55.

n5,



0.05,Z



/2

Z

0.025

1.96,



0.108

x4.364,

x



0

(4.3644.55)

Z53.851,

0.108



/n

Z

Z

0.025

.

所以拒绝

H

0

，认为总体平均值有显着性变化.

2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：

设含镍量服从正态分布，问在



=下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为.

【解】设

H

0

:







0

3.25;H

1

:







0

3.25.

n5,



0.01,t



/2

(n1)t

0.005

(4)4.6041

x3.252,s0.013,

x



0

(3.2523.25)

t50.344,

0.013

s/n

t

t

0.005

(4).

所以接受

H

0

，认为这批矿砂的含镍量为.

3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作

为样本；测得样本均值为（克），样本方差

s

2

=(

g

2

).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟

（支）的重量（克）近似服从正态分布（取



=）.

【解】设

H

0

:







0

1.1;H

1

:







0

1.1.

n36,



0.05,t



/2

(n1)t

0.025

(35)2.0301,n36,

x1.008,s

2

0.1,

t

x



0

(1.0081.1)

61.7456,

s/n0.1

t

1.7456t

0.025

(35)2.0301.

所以接受

H

0

，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.

4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为小时，标准差为小时.在实验

室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，

25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短设电池寿命近

似地服从正态分布（取



=）.

【解】

H

0

:



21.5;H

1

:



21.5.



0

21.5,n6,



0.05,z

0.05

1.65,



2.9,x20,

x



0

(2021.5)

z61.267,

2.9



/n

zz

0.05

1.65.

所以接受

H

0

，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.

5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出

x

=(%),

s

=(%).设测定值总体为正

态，

μ

为总体均值，

σ

为总体标准差，试在水平



=下检验.

（1）

H

0

：

μ

=(%)；

H

1

：

μ

＜(%).

（2）

H

0

:



=(%)；

H

1

:



＜(%).





【解】(1)



0

0.5;n10,



0.05,t



(n1)t

0.05

(9)1.8331,

x0.452,s0.037,

(0.4520.5)

104.10241,

0.037

s/n

tt

0.05

(9)1.8331.

t

x



0

所以拒绝

H

0

，接受

H

1

.

(2)

2



0

2

(0.04)

2

,n10,



0.05,



1

2









0.95

(9)3.325,

x0.452,s0.037,





2

(n1)s

2



0

2

90.037

2

7.7006,

0.04

2

2



2





0.95

(9).

所以接受

H

0

，拒绝

H

1

.

6.某种导线的电阻服从正态分布

N

（

μ

，）.今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电

阻，得

s

=欧.对于



=，能否认为这批导线电阻的标准差仍为

【解】

H

0

:







0

0.005;H

1

:







0

0.005.

n9,



0.05,s0.008,

2222





/2

(8)



0.025

(8)17.535,



1



/2

(8)



0.975

(8)2.088,





2

(n1)s

2



0

2

80.008

2

2

20.48,



2





0.025

(8).

2

(0.005)

故应拒绝

H

0

，不能认为这批导线的电阻标准差仍为.

7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：

第一批棉纱样本：

n

1

=200，

x

=0.532kg,

s

1

=0.218kg；

第二批棉纱样本：

n

2

=200，

y

=0.57kg,

s

2

=0.176kg.

设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显着差异(



=

【解】

H

0

:



1





2

;H

1

:



1





2

.

n

1

n

2

200,



0.05,

t



/2

(n

1

n

2

2)t

0.025

(398)z

0.025

1.96,

2

(n

1

1)s

1

2

(n

2

1)s

2

199(0.218

2

0.176

2

)

s

w

0.1981,

n

1

n

2

2398

t

xy(0.5320.57)

1.918;

1111

s

w

0.1981

n

1

n

2

200200

t

t

0.025

(398).

所以接受

H

0

，认为两批强度均值无显着差别.

8.两位化验员

A

，

B

对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得到

样本方差分别为(%

2

)与(%

2

).若

A

，

B

所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为

σ

A

2

，

σ

B

2

，试在水平



=下检验方差齐性的假设

2222

H

0

:



A





B

;H

1

:



A





B

.

【解】

2

n

1

n

2

5,



0.05,s

1

2

0.4322,s

2

0.5006,

F



/2

(n

1

1,n

2

1)F

0.025

(4,4)9.6,

F

0.975

(4,4)

11

0.1042,

F

0.025

(4.4)9.6

s

1

2

0.4322

F

2

0.8634.

s

2

0.5006

那么

F

0.975

(4,4)FF

0.025

(4,4).

所以接受

H

0

，拒绝

H

1

.

9~12. 略