求一个数的平方的巧算方法

2024年3月9日发(作者：孩子厌学原因)

求29

2

和82

2

的值。

　　解：29

2

=29×29

下面通过例题来说明这一方法。

例 求993

2

和2004

2

的值。

求一位数的平方的巧算方法

转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，所以个位数的平方值大家已经在乘法口诀中

得以熟记，如7×7＝49（七七四十九）。

2×2＝43×3＝94×4＝165×5＝25

6×6＝367×7＝498×8＝649×9＝81

　　解：82

2

＝82×82

　　＝（29＋1）×（29-1）＋1

2

　　＝（82－2）×（82＋2）＋2

2

　　＝30×28＋1　　＝80×84＋4

　　＝840+1　　＝6720+4

　　＝841　　＝6724

由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为 82比80多2

，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移

多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1

；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

对于两位数的平方，大多数同学能背熟了10～20的平方，

10×10＝10011×11＝12112×12＝14413×13＝16914×14＝196

15×15＝22516×16＝25617×17＝28918×18＝32419×19＝361

而21～99的平方就不大熟悉了。有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？这里

向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

　　解：993

2

=993×993

　　＝（993＋7）×（993-7）+7

2

　　＝1000×986＋49

　　＝986000＋49

　　＝986049

由凑整补零法计算35

2

，得：35×35＝40×30＋5

2

=1225

所谓

凑整补零法

，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

　　2004

2

=2004×2004

　　＝（2004-4）×（2004+4）＋4

2

　　＝2000×2008＋16

　　＝4016000＋16

　　＝4016016

奥数～巧算～

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末位数是5的两位数的平方的速算

末位数是5的两位数平方，就等于用比十位数大1的数乘十位数，并在所得的积后写上25。

请看：35的平方，等于十位数3加上1后，乘以十位数3，即（3+1）×3=12

再在这乘积12的后面写上25就行了，也就是1225.

为什么可以这样速算呢？

任何一个末位数是5的两位数都可以写成10a+5，a代表十位数。

有一个代数公式：(a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

。

因此，末位数是5的两位数的平方都可以写成：

(10a+5)2 =100a2+2×5+10a+25

=100a2+100a+25

=100a(a+1)+25

=a(a+1)×100+25。

这样，用a乘上比a大1的数（a+1)，然后在它的后面写上25，就得到它的平方数了。

　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同

，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法。

　　例5 88×64＝？

　　分析与解：由乘法分配律和结合律，得到

　　88×64

　　＝（80＋8）×（60＋4）

　　＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4

　　＝80×60＋8×60＋80×4＋8×4

　　＝80×60＋80×6＋80×4＋8×4

　　＝80×（60＋6＋4）＋8×4

　　＝80×（60＋10）＋8×4

　　＝8×（6＋1）×100+8×4。

　　于是，我们得到下面的速算式：

　　由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积，本例为8×4；积中从百位起前面

的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1

的乘积，本例为8×（6＋1）。

　　又例 77×91＝？

　　解：由上例的解法得到7×1=7

　　当两个因数的个位数之积是一位数时，应在十位上补一个0，本例为7×1＝07。

　　用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算

。

两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位

数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式的简便

速算方法

如算式：　　66×46，73×88，19×44。

奥数～巧算～

（a4）68

=

（a1）37

=

2

2

（b4）82×44

=

（b5）37×33

=

（b2）66×55

=

（b1）77×28

=

练习计算下列各题

2

（a2）53

=

（a5）108

=

2

（a6）397

=

2

（a3）91

=

2

（b6）46×99

=

（b3）33×19

=

奥数～巧算～