三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法

更新时间:2024-03-08 05:57:49 阅读：评论：0

2024年3月8日发(作者：政务大厅)

三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法

谈静;陈子春;朱小强

【摘要】将三角模拓展到犹豫模糊集,用T-模表示该犹豫模糊集的悲观取值,用S-模表示其乐观取值.借助于犹豫模糊集的悲观值和乐观值提出一种新的偏好度,给出了犹豫模糊集的排序方法并将其应用于犹豫模糊集多属性决策,并以实例验证了这种可能度的可行性和有效性.

【期刊名称】《宜宾学院学报》

【年(卷),期】2019(019)006

【总页数】5页(P81-85)

【关键词】多属性决策;犹豫模糊集;T-模;S-模;可能度

【作者】谈静;陈子春;朱小强

【作者单位】西华大学无线电管理技术研究中心,四川成都610039;西华大学无线电管理技术研究中心,四川成都610039;西华大学无线电管理技术研究中心,四川成都610039

【正文语种】中文

【中图分类】O159

自美国控制论专家Zadeh于1965年首次提出模糊集[1]这一概念以来，模糊集合理论将人们研究的对象由确定性现象扩展到模糊性现象，并成功应用于管理决策[2]、资源分配[3]、军事应用[4]等领域.利用模糊集理论能够合理解决不准确、不

完全信息问题.在刻画模糊信息时，确定一个元素的隶属度往往会在几个值或几个区间之间犹豫不定，无法给出一个确定的值或者区间.基于此，Torra于2010年提出了犹豫模糊集[5]这一概念，主要用这些值或者区间组成的集合来表示这个元素的隶属度.由于犹豫模糊集中隶属度的数值可能是犹豫的，所以犹豫模糊集比模糊集的推广形式更能全面地表达模糊信息.

Farhadinia[6-7]提出一系列犹豫模糊数的得分函数及其相应的犹豫模糊数排序方法.在采用得分函数排序时，当得分函数相等，则无法得出最优方案.2013年，Xu[8]等给出了区间犹豫模糊集概念，并以此为基础定义了区间犹豫模糊数的基本运算.在此定义中，当区间犹豫模糊的区间个数不同时，则增加最小区间值将其区间个数补充相同，再进一步计算.此方法不能有效考虑到犹豫模糊集的一个重要指标—犹豫性.为此，Li等[9]在2018年提出将三角模糊数应用到犹豫模糊语言术语集中，用T-模和S-模表示犹豫模糊语言集的上下端点，增加了犹豫模糊语言集犹豫性，增强了决策的有效性.在此基础上，本文通过分析犹豫模糊集和T-模和S-模的相关概念，采用T-模和S-模分别表示犹豫模糊集的悲观值和乐观值，然后借助于犹豫模糊数的悲观值和乐观值提出了一种新的偏好度，得出一个偏好矩阵对方案进行排序，并将其应用于犹豫模糊集多属性决策.最后，将该方法的排序结果与文献[10]进行对比，验证方法的合理性.

1 预备知识

定义1[5] 设X是一个给定的集合（论域），X上的犹豫模糊集的一个映射，它把X中的每一个元对应于[0,1]区间的一个子集.用数学语言诠释犹豫模糊集的概念如下：E={( x ,hE(x))|x∈X}，其中h E(x)是[0,1]区间中一些数值组成的集合，它们代表x∈X的隶属程度，把h=hE(x)称为一个犹豫模糊元.

例 1：假设论域 X={x 1,x 2,x 3}，对 x i(i=1,2,3)属于一个集合E的犹豫模糊元分别是h(x 1)={0 .8,0.5,0.3}，h(x 2)={0 .6,0.4}和h(x 3)={0 .6,0.3,0.2}，E是一个

犹豫模糊集，表示为E={(x 1,{0.8,0.5,0.3}),(x 2,{0.6,0.4}),(x 3,{0.6,0.3,0.2})}.

犹豫模糊集在进行各种运算的过程中都是通过相应的犹豫模糊元来进行计算的，相应的犹豫模糊元之间的运算如下：

定义2[10]设h为任意的犹豫模糊元素，则h的得分函数为模糊元素h中的元素个数.

设h1、h2为两个犹豫模糊元素，若其得分函数分别为S(h1)、S(h2)，则：

①当S(h1)＞ S(h2)时，h1＞ h2；

②当S(h1)=S(h2)时，h1=h2.

2 关于T-模和S-模理论

特别地，当犹豫模糊集中的元素唯一时，犹豫模糊集会退化为模糊集.值得注意的是，不同犹豫模糊中元素个数可能不同，所以为了便于不同犹豫模糊元的比较和运算，文献[8][10]中所采用的方法是取大取小定义区间的上下端点，然后比较大小.本文为了度量犹豫模糊集中每个犹豫模糊元的信息，首先引进T-模和S-模的概念.

定义3[11-12]一般地，T-模是一个映射运算T:[0,1]×[0,1]→[0,1]，对任意

x,y,z∈[0,1]，满足：

①T(x,y)=T(y,x)；

②T(T (x,y),z)=T(x ,T(y,z))；

③ y ≤ z⇒ T(x,y)≤ T(x,z)；

④T(x,1)=x.

同样，S-模也是一个映射运算，S:[0,1]×[0,1]→[0,1]，对任意的x,y,z ∈[0,1]，满足：

①S(x,y)=S(y,x)；

②S(S (x,y),z)=S(x ,S(y,z))；

③ y ≤ z⇒ S(x,y)≤ S(x,z)；

④S(x,0)=x.

表1给出了几组常见的T-模和S-模，其中T∧和S∨被称为最小值和最大值，T·和S·被称为代数积和代数和，T E和SE被称为Einstein积和Einstein和，T L和SL被称为有界积和有界和.

表1 常见的几组T-模和S-模T∧T∧( )a,b=a∧b T·T⋅( )a,b=a⋅b T E T E( )a,b=a⋅b

1+( )1-a( )1-b T-模T L T L( )a,b=0∨( )a+b-1 T n T n( )a,b=T W a∧b,a+b≻1 0,其它T w( )a,b=a∧b,a∨b=1 0,其它S∨=a∨b S⋅( )a,b=a+b-ab SE( )a,b=S∨S·SE

S-模SL a+b 1+ab SL( )a,b=1∧( )a+b Sn Sn( )a,b=Sw a∨b,a+b≺1 1,其它Sw( )a,b=a∨b,a∧b=0 1,其它

在给定的几个犹豫模糊集中，可由表1中任意选取一对T-模和S-模确定犹豫模糊集的上下端点，然后在所求区间中根据可能度比较大小，得出偏好矩阵，按行求和选出最优方案.

定义4 设h={γ1,γ2,…γk}是一犹豫模糊元，则h上的T-模和S-模运算定义为：

性质 1 设 h1={γ1,γ2,…,γi}，h2={γ1,γ2,…,γi-1,γi,γi+1,…,γj}，j＞ i，即h2比h1具有更多的可能隶属度值，则T(h1)≥T(h2),S(h1)≤S(h2).

证明：根据犹豫模糊集的性质有：

因为T(a,1)=a，∀a ∈[0,1]，所以

因为对 ∀a,b,c∈[0,1]，若 a≤ b，有 T(a,c)≤T(b,c).则

即T(h1)≥ T(h2)得证.

因为S(a,0)=a，∀a ∈[0,1]，所以

又因为对 ∀a,b,c∈[0,1]，若 a≤b，有S(a,c)≤S(b,c).则

即证出S(h1)≤S(h2).

定义5 对于任意的T-模和S-模，设h={γ1,γ2,…γk}是一犹豫模糊元，γi∈[0,1]，定义h(TS)=[T (h),S(h)].

例2：设X是一个给定的集合，称为论域.定义在X上的两个犹豫模糊集h1和h2分别表示为h1={0 .1,0.2}、h2={0 .1,0.2,0.3}，则h1上的T-模和S-模运算分别为T(h1)=T(0.1,0.2)=0.1×0.2=0.02，S(h1)=S(0.1,0.2)=0.1+0.2-0.1×0.2=0.28；h2上的T-模和S-模运算分别为T(h2)=T(T (0.1,0.2),0.3) 0.1×0.2×0.3=0.006，S(h1)=S(S (0.1,0.2),0.3)=0.496.则显然可以得出T(h1)＞ T(h2)，S(h1)＜ S(h2).

3 基于可能度的犹豫模糊集的多属性决策算法

3.1 基于三角模构造犹豫模糊集的可能度

类似于区间可能度[13]，下面应用犹豫模糊元的T-模和S-模聚合结果构造犹豫模糊元之间的广义可能度.

定义6 设h1和h2为X上两个犹豫模糊集，定义h1≥h2的可能度

其中l 1=S(h1)-T(h1)，l 2=S(h2)-T(h2).

性质2 由于：①0≤P(h 1(TS)≥h2(TS))≤1； ② P(h 1(TS)≥

h2(TS))+P(h1(TS)≤h2(TS))=1，根据区间可能度得到判断矩阵P=(pij)n×n，对矩阵P按行求和得

按pi大小对区间排序，即得最优方案.

例3：设X是一个给定的集合，称为论域.定义在X上的三个犹豫模糊集h1、h2和h3分别为：

根据文献[10]可以分别计算出得分函数S(h1)、S(h2)和S(h3)，即S(h1)=S(h2)=S(h3)=0.4，对对象x 1、x 2和x 3难以排序.

本文先求出h1、h2和h3对应区间的上下端点，即任意选取一对T-模S-模：

则有

可以得出h1的犹豫模糊区间表示为[0.042,0.832].同样，以此类推可分别得出h2和h3的犹豫模糊区间表示（见表2）.

表2 犹豫模糊决策区间h1h2h3(T.,S.)[0.042,0.832][0.06,0.79][0.03,0.98]

由等式（1）可计算出h1、h2和h3之间的偏好可能度：

同样地，可分别计算出h1、h2和h3彼此之间的可能度，得出偏好矩阵：

采用公式（2），对偏好矩阵P按行求和，并排序得出h3≥h1≥h2.

3.2 基于可能度的犹豫模糊集的多属性决策方法

根据犹豫模糊元之间的可能度，给出犹豫模糊多属性决策方法：

设 A={A 1,A 2,…,A m}是方案集，C={c1,c2,…,cn}为属性集，对每个方案A

i∈A，专家都会针对每一个属性值cj∈C,给出相应的偏好值aij，设ω=(ω1,ω2,…,ωn)T为属性C={c1,c2,…,cn}的专家对方案A i给出的关于第j个属性值的评价信息，这里aij是一个犹豫模糊元，方案的所有偏好值组成了决策矩阵A=(aij)m×n，本文假设权重是已知的，方法涉及步骤如下：

Step 1：任意选取一组T-模和S-模重新确定犹豫模糊集的上下端点；

Step 2：利用加权平均模型计算每个方案的综合得分区间；

Step 3：根据公式（1）计算对应区间之间的可能度，得出偏好矩阵；

Step 4：利用公式（2）对所得偏好矩阵按行求和，进行排序，即得出最优方案.

4 算例

Xia在2013年利用现有犹豫模糊集标准化处理方法研究了供应商选择多属性群决策问题[14].问题描述如下：在一个小型企业中，为了减少供应链的风险和不确定性，从而提高顾客的服务性能，库存水平性能和循环时间效率，达到提高竞争力和盈利能力的要求.专家们被授权考虑下列属性并评分，分别是①x 1：执行力（例如：交货时间、质量和价格）；②x 2：技术（例如：制造能力、设计能力和更新能力）；③x 3：机构文化及战略（例如：供应商的信任度、不同类型功能产品兼容性）.根据市场要求三个属性权重ω=(0.2,0.3,0.5)'，目前是三家供应商A

i(i=1,2,3)，假定专家们对所有方案A i(i=1,2,3)的各个属性x j(j=1,2,3)提供所有可能的属性值，记为犹豫模糊元r ij(i,j=1,2,3)，构选决策矩阵H=(hij)3×3，如表3所示.

表3 犹豫模糊决策区间Hx 1 x 2 x 3 A 1 A 2 A

3{(0.6),(0.2,0.4),(0.5)}{(0.6,0.8),(0.8),(0.7,0.9)}{(0.4,0.5),(0.4),(0.3,0.4)}{(0.7),(0.3,0.5),(0.3,0.4)}{(0.5,0.9),(0.7),(0.8)}{(0.3),(0.3,0.6),(0.4,0.5)}{(0.4,0.5),(0.4),(0.6)}{(0.7),(0.6,0.7),(0.5,0.6)}{(0.6),(0.5,0.7),(0.8)}

通过文献[10]方法可以得到犹豫模糊多属性群决策的结果是A 2＞A 3＞A 1.

基于三角模的犹豫模糊多属性决策算法，具体步骤如下：

Step 1：采用一对T-模和S-模重新确定犹豫模糊集的上下端点，如表4所示.

表4 犹豫模糊决策区间H'x 1x 2x 3[0.096,0.88][0.21,0.964][0.24,0.976]A 1 A 2

A 3[0.06,0.88][0.336,0.996][0.048,0.82][0.063,0.91][0.28,0.994][0.036,0.86]

Step 2：由题意知，方案属性权重ω=(0.2,0.3,0.5)'，结合上一步所得到的新的犹豫模糊决策矩阵H'，进一步确定每一个方案对应属性的区间，应用加权平均模型计算每个方案的综合得分区间，aj=ω1 x 1j+ω2 x 2j+ω3 x 3j(j=1,2,3).其中 x ij为方案A j关于属性x j的得分区间数，不难计算出这三个方案的综合得分区间分别为：

Step 3：利用公式（2）计算对应区间的可能度，得出偏好矩阵P：

Step 4：利用公式（3）对矩阵P按行求和，可得出A 2＞A 3＞A 1，即最优方案为A 2，其结果与现有方法得出的决策结果相同.

5 结语

针对现实生活中人类都对复杂决策问题的犹豫模糊性思维分析，本文基于三角模糊数和犹豫模糊集的概念，给出了一种基于三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法.算例充分证明了本文思路的合理性和决策方法的可行性，为复杂数据环境下的多属性决策分析开辟了一条新的解决思路.

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