三角模糊数互反判断矩阵的一种排序方法及其应用

2024年3月8日发(作者：李泰来)

２０１０年２月　廊坊师范学院学报（自然科学版）　Ｆｅｂ．２０１Ｏ　第１０卷第１期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌａｎｇｆａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｍａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．１Ｏ　Ｎｏ．１　三角模糊数互反判断矩阵的一种排序方法及其应用　吴力荣　（浙江工业职业技术学院，浙江绍兴３１２０００）　【摘要】给出模糊判断矩阵的一种标度，利用模糊均值、模糊偏差和模糊综合数，结合Ｓａｔｔｙ的特征根法，提出三　角模糊数互反判断矩阵的一种排序方法，并通过算例说明该方法的可行性和有效性。　【关键词】　三角模糊数；互反判断矩阵；特征根；排序　Ａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｐｒｉｏｒｉｔｉｅｓ　ｏｆ　Ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　Ｆｕｚｚｙ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　Ｊｕｄｇｍｅｎｔ　Ｍａｔｒｉｃｅｓ　Ｕ　Ｌｉ－ｒｏｎｇ　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｇｉｖｉｎｇ　ａ　ｓｃａｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｕｓｉｎｇ　ｆｕｚｚｙ　ｍｅａｎ　ｖａｌｕｅ　ｆｕｚｚｙ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒ，ｗｅ　ｇｉｖｅ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｐｒｉｏｒｉｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒ　ｒｅｃｉｐｒｏｃｌａ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｉｒｃｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｓｈｏｗｅｄ　ｂｙ　ｅｘａｍｐｌｅ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ】ｔｉｒａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒ；ｒｃｅｉｐｒｏｃａｌ　ｊｕｄｇｍｅｎｔ　ｍａｔｉｒｃｅｓ；ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ　ｒｏｏｔｓ；ｐｒｉｏｒｉｔｉｅｓ　［中图分类号］Ｎ９４５　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７４—３２２９（２０１０）０１—００２６—０２　１　引言　首先简述一些基本的概念。　定义１　实数集　上的模糊数　称为三角模　在传统的层次分析中判断矩阵是通过对方案的　糊数，如果Ｍ的隶属度函数　埘：Ｒ一［０，１］表示为　两两比较后确定的，由于要求判断矩阵中的元素是精　元—二＿１　＿７　一　一　，　确数，这就要求决策者对每个方案的相对重要性有非　，　∈［ｚ，，Ｌ　，　ｈ　ｉ　常清楚的认识。但实际中，由于客观事物的复杂性以　＝　一　一　，，　　∈［ｍ，Ｌ　ｍ，　］　Ｊ　及人的思维对于模糊概念运用，用准确的数来描述相　对重要性就显得很困难，而用“大约”、“左右”之类的　０，　∈（一∞，Ｚ）Ｕ（　，＋。。）　模糊概念来进行描述就更为合理一些。有鉴于此，　式中ｆ≤ｍ≤　，ｚ和　表示　的下界值和上　Ｌｏａｒｇｏｖｅｎ等人提出了层次分析法的一个推广模型，　界值，当ｚ＝ｍ＝ｕ时，　蜕化为非模糊数。一般　即用模糊集来取代判断矩阵中的数并提出了一种根　地，三角模糊数　表示为　＝（ｆ，ｒｉｂ，　）。　据判断矩阵求模糊权重的方法。之后国内一些学者　下面，给出三角模糊数互反判断矩阵的描述。　对如何建立模糊判断矩阵以及排序问题也提出了自　在给定准则下，两两比较判断的模糊数表示法：　己的方法。本文在Ｓａａｔｖ提出的特征根法的基础上，　如果第　个元素比第　个元素明显重要，则可表示为　＝针对三角模糊数互反判断矩阵提出了一种新的排序　（ｚ，５，　），其中，左右扩展Ｚ，“表示该判断的　方法，并通过算例说明了该方法的有效ｆ生和可行陛。　模糊程度。当　—ｚ越大时，判断越模糊；当　—ｚ越　小时，判断越清楚；当Ｍ＝ｆ时，判断是非模糊的，此　２三角模糊数互反判断矩阵　时，它与ＡＨＰ方法中“明显”重要的标度相同。现考　用三角模糊数表示层次分析法中方案间的比较　虑决策问题是从一个有限方案集　＝｛　ｌ　ｉ∈　判断，在理论上不存在困难，问题在于怎徉赋予这种　，｝（，＝｛１，２，…，　｝，　≥２）中选择最优方案或进　表示以明确的实际意义和如何使方案相对重要性的　行方案排序，其中　表示第ｉ个方案。在方案排序　排序权值的计算比较容易。　中，所采用的决策信息是决策者针对方案集　提供　［收稿日期］２００９—１１—１３　［作者简介］吴力荣（１９７９一），男，浙江工业职业技术学院讲师，研究方向：运筹学及决策分析。　・２６・　

第１０卷・第１期　吴力荣：三角模糊数互反判断矩阵的一种排序方法及其应用　２０１０年２月　的两两方案优劣比较的由三角模糊数表示的互反判　断矩阵。　一这里的　是由决策者选定的权值，它反映了均　值和标准偏差在决策者心目中的相对重要程度。排　序准则是：均值越大，偏差越小，三角模糊数就越排　在前面。　般地，三角模糊数互反判断矩阵可用下面的　定义描述。　定义２　设判断矩阵Ｒ＝（ｒ　）　，其中ｒ　＝　Ｓａａｔｖ提出的特征根法，是目前求解互反判断矩　阵排序向量最有效的方法，我们将其思想应用到三　角模糊数互反判断矩阵排序中，构造出模糊特征根　法，具体步骤如下：　步骤１　利用模糊标度，对　个方案两两比较，　构造三角模糊数互反判断矩阵　。　步骤２　把三角模糊数互反判断矩阵Ｒ分解成　三个确定数的矩阵　，　，　。　（ｚ　，ｍ口，　）为三角模糊数，并且吉≤ｚ　≤ｍ　≤　≤９；ｉ，Ｊ∈Ｉｏ若矩阵满足：　（１）Ｚ　＝／／ｉ　＝　＝１，Ｖ　ｉ∈，；　（２）Ｚ０　＝１，ｍｉｓｍ　＝１，ｕｉｊｌｊｉ＝１，ｉ≠Ｊ，ｉ，　ｊ∈Ｉ，　则称　是三角模糊数互反判断矩阵，矩阵中的　元素ｒｉ　表示方案　优于方案　的程度。　步骤３用特征根法分别求出　，　，　的特征　根　（　＝１，２，３），及其对应的特征向量Ｗ　＝（Ｗ　，　Ｗ　，…，Ｗ　）＝（Ｗ；），ｉ＝１，２，３；　＝１，…，ｎ。　３排序算法　基于模糊数的　胛，目前关于标度方面的研　究比较少，仅文献［６］提出了三角模糊数１，３，５，７，　步骤４对于固定的某一下标ｉ，对上标从小到　大排序，然后重新组成以下标为ｉ的三角模糊数　Ｗ　。最后按照公式（１）、（２）、（３），对这ｎ个三角模糊　数比较，得出三角模糊数的排序向量Ｗ。　９作为模糊标度，但其三角模糊数的上下限是固定　的，如３＝（１，３，５）。本文在此基础上，提出了更一般　４算例分析　某房地产公司２００５年拟在市中心繁华地段建立　一的三角模糊数标度～ｒ　＝（　，ｍ　，Ｍ　），吉≤ｚ　≤　ｍ　≤“　≤９，ｎｉｉ　表示方案　优于方案　的程度的　集商业、酒店、办公为一体的综合商务中心，总建筑　期望均值，Ｈ　ｚ　，表示方案　优于方案　的程度的　期望值的上、下限。　面积为３万ＩＩｌ２，计划工期为２年，预计投资１亿元。　在进行项目投资决策研究时，公司领导决定除了进行　正常的可行性研究内容外，还需要对该项目的决策风　险度进行评价。根据项目本身的具体情况，决定从项　目的区位、投资方向、投资方式、投资时机和可行性研　究的客观性五个因素进行风险分析。下面用本文提　对于三角模糊数　，其均值和标准偏差可定义　为：　ｍ　（　）＝　号　）：　（１）　（２）　出的方法来确定这五个因素的权重值。　本项目通过专业咨询公司，邀请到多位风险决　策专家，对本项目风险因素进行分析，得到如下两两　比较的三角模糊数互反判断矩阵：　在模糊均值和模糊标准偏差的基础上，三角模　糊数综合排序指标定义为：　Ｆ（天）＝　ｍ　（　）＋（１一　）［　（　）］　（１，１，１）　（３）　，Ａ：　ｆ　５　７　　１　ｆ　２　１　ｊ，　／　（　，　，２）　＼２一’２／　（　，詈，詈）　Ｉｆ　，，１　　（２，　５，３）　（　丢　）　＼３’３　／　（号，丢，　）　（１，１，１）／１　，　２．　，　＼Ｊ　　（号，　，吾）　Ｉ（号，号，詈）　（吉，号，　）　（１，１，１）　（　，号，　）　（吾，导，　）　（　３）　（１，１，１）（　，　，专）　　（詈，　，号）　（吉，詈，寻）　（　，导，３）　（詈，号，　）　（１，ｌ，１）（下转３１页）　・　２７　・　

第１０卷・第１期　党艳霞：浅谈微分中值定理及其应用　２０１０年２月　一　ｔａｎ　一ｓｉｎ　＝／（　）　：　（　）　＝—　：—　币：　，’　ｎ（ｓｉｎ　＜　＜ｔ　＜　ｎａｎ　），　’　代入原式　：ｌｉｍ——　１．＝Ｌ　＝　ｏ　２　￣／１＋　（１一ｅＯＳ￣ｆ）　［厂（　＋　）一厂（　）］Ｔｂ－ａ　）字　＋　ｔａｎｘ（１一ｅｏｓｘ）　：厂（ｃ）　，　，。：　＋０　∈（口，　一０　２　￣／１＋　（１—１２０８　）　＝Ｊｉｍ　２　删１　　ＣＯＳ—’０　￣／　＋＝吉。ｚ　　其中口＜　＜　ｂ），０＜０＜１。　３．４　证明恒等式及等式　例４　设　（　）在区间［口，ｂ］上连续，在（ａ，６）　例５　设ｆ（　）在［Ⅱ，ｂ］连续，在（０，ｂ）内可导　（０≤口＜ｂ），ｆ（口）≠ｆ（ｂ），证明：ｊ　，ｒｌ∈（口，ｂ），　内有二阶导数，试证：存在ｃ∈（０，６），使＿厂（６）一　２　（　）＋／（。）＝（６一。）　厂（ｃ）／４。　证明　由已知得　使得厂（　）＝　（　）。　证明　令Ｆ（　）＝　。，利用柯西中值定理有：　　．（垒２＝．　！　２一　ｂ　一ａ　一２ｒｌ’　＝＝厂（６）一２厂（丁ａ＋ｂ）＋　（。）　再利用拉格朗日定理有，（６）一，（Ⅱ）＝厂（　）　　［　）一厂（　）］一［　（　）一　）］　（６一ｎ），综上所述，有￡　：　［　（　＋　）一厂（　）】　整理变形得／（　）＝　（　）。　＿［厂（。＋　）一　）］。　［参考文献］　作辅助函数　（　）＝，（　＋　）一，（　），则　［１］同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出　，　上式等于　版社．２００８．　（　）一　（口）　（上接２７页）　根据步骤３，将模糊矩阵４分解成　，Ｍ，Ｕ三　＝（０．２９５２，０．２４８１，０．０９８５，０．２０１ｌ，０．１５７１）。　个确定数矩阵，并计算得到最大特征根对应的特征　向量：　ＸＬ＝（０．６２５５，０．５４４７，０．１９６３，０．４１７５，０．３１４９），　Ｘ　＝（０．６３３５，０．５２７９，０．２１１２，０．４１１５，０．３２５６），　［参考文献］　［１］Ｌｏａｒｇｏｖｅｎ　Ｖ　ａｎ，Ｐｅｄｒｕｌ　ＺＷ．Ａ　ｆｕｚｚｙ　ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｓａｔｔｙ’ｓ　ｐｒｉｏｒｉｔｙ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ　Ｓｅｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓｔｅｍ，１９８３，ｌ１（１）：　２２９—２４１．　［２］常大勇，张丽丽，等．经济管理中的模糊数学方法［Ｍ］．　北京：北京经济学院出版社，１９９５．　ＸⅣ＝（０．６３１５，０．５００６，０．２１７３，０．４４６２，０．３５６Ｏ）。　根据步骤４，得到　（０．６１３５，０．６２５５，０．６３３５）　（０．５００６，０．５２７９，０．５４４７）　～　［３］关冲，李汉铃．模糊ＡＨＰ决策方法［Ｊ］．管理工程学报，　２００１，１５（１）：６３—６４．　［４］许若宁，翟晓燕．层次分析中Ｆｕｚｚｙ判断矩阵的建立及其　Ｗ　＝　（０．１９６３，０．２１１２，０．２１７３）　（０．４１１５，０．４１７５，０．４４６２）　（０．３１４９，０．３２５６，０．３５６０）　排序［Ｊ］．系统工程，１９８８，６（５）：５２—６１．　［５］Ｓａａｔｖ　Ｔ　Ｌ．Ｔｈｅ　Ａｎａｌｙｔｉｃ　Ｈｉｅｒａｒｃｈｙ　Ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：ＭｅＧｒａｗ，Ｉｎｅ，１９８０．　假设决策者是风险中立的，令卢＝０．５，得到排　序向量　［６］肖钰，李华．基于三角模糊数的判断矩阵的改进及其应　用［Ｊ］．模糊系统与数学．２００３，１７（２）：５９—６４．　・　３ｌ　・