三角模糊数的可能度排序方法与应用

2024年3月8日发(作者：平常心)

第３２卷第３期　三峡大学学报（自然科学版）　Ｊ　ｏｆ　Ｃｈｉｎａ　Ｔｈｒｅｅ　Ｇｏｒｇｅｓ　Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．３２　ＮＯ．３　２０１０年６月　Ｊｕｎ．２０１０　三角模糊数的可能度排序方法与应用　王艳杰钱伟懿　（渤海大学数学系，辽宁锦州　１２１０００）　摘要：给出了新的三角模糊数相互比较的可能度公式，并与已有结果　中的三角模糊数可能度定　义进行比较分析，给出了一种基于三角模糊数可能度概念的多属性决策方法，并通过实例说明了　该方法的可行性与有效性．　关键词：三角模糊数；　可能度；　排序；　决策方法　中图分类号：０２２３　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—９４８Ｘ（２０１０）０３—００９６—０４　Ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　Ｄｅｇｒｅｅ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｒａｎｋｉｎｇ　Ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　Ｆｕｚｚｙ　Ｎｕｍｂｅｒｓ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　Ｗａｎｇ　Ｙａｎｊ　ｉｅ　Ｑｉａｎ　Ｗｅｉｙｉ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｏｈａｉ　Ｕｎｉｖ．，Ｊｉｎｚｈｏｕ　１２１０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ａ　ｎｅｗ　ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｇｒｅｅ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｆｏｒ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｗｏ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒｓ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ．　Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｈａｓ　ａ　ｄｅｔａｉｌｅｄ　ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｎｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｉｎ［　．Ｔｈｅｎ，ａ　ｍｕｌｔｉ—ａｔｔｒｉｂｕｔｅ　ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｇｒｅｅ　ｆｏｒ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ　ｆｅａｓｉｂｉｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｒｅ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ　ｂｙ　ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　ｆｕｚｚｙ　ｎｕｍｂｅｒｓ；ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｇｒｅｅ；　ｒａｎｋｉｎｇ；ｄｅｃｉｓｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　随着社会、经济的发展，客观事物的不确定性以　ａ　，称ａ为一个三角模糊数，其特征函数（隶属函数）　可表示为　及人类思维的模糊性在不断增强．近年来，有关决策　信息以不确定形式表达的决策方法的研究逐渐引起　人们关注，具有代表性的是决策信息是区间数［２　和　三角模糊数口　．文献［１］首次提出三角模糊数的可　能度定义，但是该定义在特殊情况下存在不严密之　（　）一１　【　ｌｄ　一ａ“　ａｍ≤　≤ａｕ其他　‘　处，本文在此基础上，给出一个新的三角模糊数相互　０　比较的可能度定义，并与文献［１］的结果进行比较分　析，然后给出了一种基于三角模糊数的可能度概念的　下面给出有关三角模糊数的两种运算：　设ａ一（ｎ　，ａ　，ｎ　），６一（６ｆ，ｂ　，ｂ　），贝０　（１）口＋６一（口　，口　，ａ　）＋（　，ｂ　，ｂ　）一（口　＋ｂ　，ｎ　＋ｂ　，ｎ　＋ｂ　）；　（２）　一（一１，　，　多属性决策方法，最后把提出的方法应用到实际问题　中，通过实例说明了方法的可行性和有效性．　１　三角模糊数比较的可能度定义　定义１［　若　（口　，口　，ｎ　），其中，Ｏ％ａ　＜口　＜　称　）．　ｎ　ａ“ａｍ　ａｌ　定义２［　设ａ一（口ｚ，ａ　，ａ　），ｂ一（６　，ｂ　，ｂ　），则　收稿日期：２０１０—０３—２６　基金项目：国家自然科学基金（１０８７１０３３）；辽宁省教育厅科学技术研究项目（２００８００４）　通讯作者：王艳杰（１９７９一），女，助教，硕士研究生，主要研究方向为最优化理论与方法．Ｅ—ｍａｉｌ：ｗ　ｙｊ—ｇｌ＠１６３．ｃｏｒｎ　

第３２卷第３期　王艳杰等　三角模糊数的可能度排序方法与应用　９７　Ｐ（ａ　≥　）一Ａｍａｘ｛１一ｍａｘ［≥６）一　｛一　－—　—Ｔ，０］，）＋　，０）＋　ｏ≤ｍａ　Ｘ｛卜ｍａｘ　ｒ－一　一　＇Ｏ］，Ｏ｝＜１；　（１一　ｍａｘｕ—ｍａｘ［ａ　＿二　ｏ　ｏ　’０］＇Ｏ）　一“口　十“一　为口≥６的可能度，其中　∈ＥＯ，１３．　对于三角模糊数ａ一（ｎ　，ａ　，ａ　），６一（　，ｂ　，ｂ　），　我们考虑下面两种情况：　（１）ａ￡一ｂ　，ａ　一ｂ　；　（２）ａ　一ｂ￡，ａ　＝＝：ｂ　．　对于情况（１），根据定义２知，ａ≥ｂ的可能度为　１，但事实上，ｎ≥ｂ的可能度应小于１．对于情况（２），　根据定义２知，ｎ≥６的可能度为０，但事实上，ｎ≥６的　可能度应大于０．因此我们给出一个改进的三角模糊　数相互比较的可能度定义．　定义３设ａ一（＆　，ａ　，ａ　），６一（　，ｂ　，６　），则称　Ｐ（　≥　一　ｍａｘ／１一ｍａｘ　＿　｛１－ｍａｘ　，ｏ３，０｝＋　“卅　“，　　ｆ，　埘　ａｘ｛ｌ—ｍａｘ　，ｏ３，０｝＋　“，　“Ⅲ　ｌ【，卅　ｕ，　ａｘ／１一ｍａｘ　ｒ－　］，０　ｎ“一ｎｍ十ｏ　“一　ｏ为　≥６的可能度，记作Ｐ（～　　≥６）．其中，～　　，　。，　。，　∈［０，１］，且　＋　２＋　。＋　一１．　由定义２和定义３知，当　一　。一０时，定义３就　变成定义２，当　≠０，　。≠０时，针对上述两种情况，　根据定义３计算结果如下：　对于情况（１）　～　～　１　Ｐ（ｎ≥ｂ）一　＋÷　２＋　ｓ＋　＜１　对于情况（２）　～　～　１　Ｐ（ａ≥ｂ）一÷　３＞０　从结果看出，我们给出的定义是合理的．　定理１设ａ一（ａ　，ｎ　，ａ　），６一（６　，ｂ　，ｂ　），贝０　（１）Ｏ≤Ｐ（ａ≥６）≤１．　（２）若　≠０，则ｂ　≤ｎ　当且仅当Ｐ（＆≥６）一１．　（３）若　。≠Ｏ，则ａ　≤　当且仅当Ｐ（＆≥６）一０．　（４）Ｐ（ａ≥６）＋Ｐ（ｂ≥ｎ）一ｌ，特别地，Ｐ（ａ≥ａ）一　１　２‘　证明　（１）由公式（１）易知，　ｏ≤ｍａｘ｛１一ｍａｘ［＿二二　ａ　一　十　０　一　Ｏ，ａ　ｏ］，ｏ）≤ｌ；　ｚａ　ｍａｔ　－Ｉ－０　“０ｏ≤…｛１一ｍａｘ　，ｏ３，０｝≤１；　。≤ｍａｘ｛１一ｍａｘ［　，Ｏ］，０）≤１．　～　～　所以Ｏ≤Ｐ（ａ≥６）≤１．　（２）若ｂ　≤“　，则６　≤ａ　，ｂ　≤ｎ　，６　≤ｎ　，于是　ｍａ　ｘ｛卜ｍａｘ　ｒ－，ａ　一ｎ，１＿　。　一　ｏｚ　０３，０｝一１；　ｍａ　Ｘ｛卜ｍａｘ　ｒ－ａ　埘—鲁—　，ａ　０１一　，　０，——　卅　　，ｏ３，０｝＝＝＝１；　ｍａ　Ｘ｛卜ｍａｘ　ｒ－，ａ　，，一口Ⅲ十０　Ⅲ一口　ｏ３，０｝一１；　ｍａ　Ｘ｛卜…ｒ－，ａ　，　一ｎ　ｍ　１＿　０　一ｐｍ　０］，０｝一１．　～　～　所以Ｐ（ａ≥ｂ）一１．　～　～　反之，若Ｐ（ａ≥６）一１，由　≠０，则　ｍａ　Ｘ｛１一ｍａｘ［ａ　＿二＝＝＿　ａ　ｚ　－ｉ－　０　二　，一“口　Ｏ］＇Ｏ｝一１　假若不然，则由（１）证明知　０≤ｍａ　ｘ｛１＿ｍａｘ　ｒ－　＇Ｏｌ－１’Ｏ）＜１　ｎ　一　ａｔ　十ｏ　¨一　ｏ　～　～　于是Ｐ（ａ≥６）＜　＋　＋　。＋　一１．这与条件矛　Ｊ自・Ｃ　　（３）若ａ　≤６　，则ａ　≤６　，ａ　≤６　，ａ　≤６　，于是　ｂ　一ａ　ａ　一ａ　＋ｂ　一ｂ￡　≥　，ａ　ｍ—ｎ　十０　“一　≥１　ｂ　——ａ　ａ　一ａ　＋ｂ　一ｂ　≥　，ａ　“一ｎ　十０　“一　０　≥１　ｍａ　Ｘ｛１＿ｍａｘ　ｒ－ａ　一　十口鲁ａ／　　一　ｏ／　，ｏ３，０｝≤１；　ｍａ　ｘ｛１＿ｍａｘ　ｒ－，ａ　一ａ　，十　ｏ　，一口　０３，０｝≤１；　ｍａｘ／１一ａｘ［，ａ　，，一　ａ　十Ｄ　一　ｏｚ　０］，０｝≤１；　ｍａ　Ｘ｛卜ｍａｘ［，ａ　，　一ａ　Ⅲ十ｏ　，　一ｐ　０］，０｝≤１．　～　～　所以Ｐ（“≥６）一０．　～　～　反之，若Ｐ（ｎ≥６）一０，由　。≠０，则　ｍａｘ／１一ｍａｘ　ｒ－　＿ａ　＿＝　，ｏ３＇０｝一ｏ　“口　十　ｏ　一　ｏｚ假若不然，则　ｍａ　ｘ｛１＿ｍａｘ［，ａ　——　ａ　卅１一　卅——　。　ｏｚ　０］，０｝＞０　～　～　于是Ｐ（＆≥６）　３ｍａｘ｛１一ｍａｘ［　ｂ　一ａ　ａ　一ａ　＋ｂ　－－ｂｆ’　０］Ｕ｝，７，，Ｕ一）＞ｏ，这与条件矛盾．二＞ｕ，哒勺余１午才眉．　

９８　三峡大学学报（自然科学版）　２０１０年６月　（４）卜向针对ｂｌ≤６　≤ｎ　≤口　≤６　≤口　情况进仃　证明，其它情况可以类似的证明．　Ｐ　（（ｎ≥６）　≥　　１ｍａｘ｛１～ｍａｘ　ａｘ｛～——　“　一，ｏＪ，，，｝＋　０｝＋　“，Ｔ　，　一　，　鑫　ｍａｘ｛１一ｍａｘ　。ｍａｘ｛１一ｍａｘａ　ｔＨ＿二　一　ａｌ＿；　ｏ　ｏｕ—ｍ　，　Ｏ］＇Ｏ｝＋　ａ　“＿一ａ＝　｛　ｏ　十Ⅲ一　　ｏｔ，０］＇Ｏ）＋　嘉…＇２，…　２（５）　２４　ｍａＸ｛１一ａｘａ　¨一ｍ去ａ　ｏ　—ｍ　ｏ＇　Ｏ　Ｏ）　对于定理１中（２）、（３），按定义２，Ｐ（　≥　）一１和　Ｐ（　≥　）一０是６　≤　和＆　≤　的必要条件，按定义　３，Ｐ（三≥　）一１和Ｐ（　≥　）一０是６　≤　和　≤　的　充要条件．如此也可以看出本文定义比定义２更合　瑚．　２　决策方法　基于三角模糊数比较的可能度概念，下面介绍一　种多属性决策方法．具体步骤如下：　步骤１：对于某一多属性决策问题，属性的权重　完全确定．对于方案　（ｉ一１，２，…，”），按属性　（　一　１，２，…，　）进行测度，得到　关于“　的属性值ａ　（这里ｎ　一［ｎ　，ｎ孑，ａ　６］），从而构成决策矩阵Ａ．最常　见的属性类型为效益型和成本型．设工　（ｉ一１，２）分别　表示效益型、成本型的下标集．用下列公式将Ａ转化　为规范化矩阵Ｒ一（　）　，其中ｒ　一［ｒ　，，一　，ｒ；］．按　公式　ｒ＂０一　■　，ｉ一１，２，…，＇一，　，…，　；　；一』Ｊ—ｊ１　（２），　∑　Ｊ—ｊ　１　一＿　Ｌ＿　，，　ｉ一１，２，…，”；，，…，”；　Ｊ—Ｉ２２　（３）ｄ　　∑　Ｊ一１　ｎ　根据三角模糊数运算法则得　一　Ｌｆ　∑ｎ　］　一　，　：１，２，…，”；　—Ｉ　（４）　∑。　Ｊ一】　一　Ｌ　∑ａ　囊　步骤２：求各方案的综合属性值　Ｚｉ（　）一∑　，Ｊ一１　．　（６）　步骤３：利用定义２、３中的公式，计算各方案综　合属性值ｚ　（∞）（ｉ一１，２，…，　）的可能度Ｐ　—Ｐ（ｚ　（叫）≥２２，（　）），并建立可能度矩阵Ｐ一（Ｐ　）　．　步骤４：按公式＿１］　一　（　＋号　．１＇２，…，　（７）　求可能度矩阵的排序向量ｖ（ｖ　，　，…，　），并按　其分量大小对方案进行排序，即得最优方案．　３实例分析　某单位对干部进行考核时，采用思想品德“　、工　作态度“　、工作作风“。、文化水平和知识结构“　，领　导能力“　，开拓能力“。这６个属性作为考核指标，对　３名候选人（　，　，　。）进行考核．假定属性的权重值　一（０．２５，０．１０，０．２２，０．０６，０．１８，０．１９）．决策以三角　模糊数这种不确定形式给出各方案的属性值，其规范　化矩阵ｌ８　如表１所示．　表１规范化决策矩阵蠢　利用式（６）计算出每个候选人的综合属性值分别　为　１一（０．３８１，０．４０３，０．４２８），　２一（０．３８６，０．４１０，　

第３２卷第３期　王艳杰等　三角模糊数的可能度排序方法与应用　９９　０．４３６），ｚ３一（０．３８４，０．４０９，０．４３５），根据公式（１）计　算可能度矩阵　０．５　Ｐ＝＝　０．６０５　１　Ｏ．３９４　９　０．４１４　２　Ｏ．５　０．５１７　５　０．５　Ｆｕｚｚｙ　Ｔｒｉａｎｇｕｌａｒ　Ｎｕｍｂｅｒｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ　Ｓｙｓｔｅｍｓ，１９９８，１３：６１３—６２２．　达庆利，刘新旺．区间数线性规划及其满意解［Ｊ］．系统　工程理论与实践，１９９９，１９（４）：３－７．　徐泽水，达庆利．区间数排序的可能度法及应用［Ｊ］．系　统工程学报，２００３，５（６）：２４—２８．　Ｏ．５８５　８　０．４８２　５　再根据公式（７）计算出可能度矩阵Ｐ的排序向量．　＝＝＝姜艳萍，樊治平．三角模糊数互补判断矩阵排序的一种　（０．０９０　５，０．１０６　１，０．１０３　４）　实用方法［Ｊ］．系统工程，２００２，２０（２）：８９—９２．　巩在武，刘思峰．三角模糊数互补判断矩阵的一致性及　根据排序向量，得到３个候选人排序为　２＞ｚ３＞　ｚ１　其排序研究口］．控制与决策，２００６，２１（８）：９０３—９０７．　从而第２个候选人最佳．　Ｖ　ａｎ　Ｌ　ａａｒｈｏｖｅｎ　Ｐ　Ｊ　Ｍ，Ｐｅｄｒｙｃｚ　Ｗ．Ａ　Ｆｕｚｚｙ　Ｅｘｔｅｎ—　ｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｓａａｔ￣ｓ　Ｐｒｉｏｒｉｔｙ　Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｆｕｚｚｙ　Ｓｅｔｓ　ａｎｄ　Ｓｙｓ—　参考文献：　ｔｅｍ　Ｓ，１９８３，１１：２２９—２４１．　夏国恩，金宏，金炜东．具有三角模糊数的多属性性格　序决策方法［Ｊ］．统计与决策，２００６（１）：２２—２３．　［１］　徐泽水．三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法［Ｊ］．　模糊系统与数学，２００２，１６（１）：４７—５０．　［责任编辑周丽丽］　［２］　Ｆａｃｃｈｉｎｅｔｔｉ　Ｇ，Ｒｉ］　ｃｃｉ］　Ｒ　Ｇ，Ｍｕｚｚｉ　］　ｏｌ］ｉ　Ｓ．Ｎｏｔｅ　ｏｎ　Ｒａｎｋｉ　］　］ｎｇ　　（上接第９５页）　本文对大白栓菌中３一氢化松苓酸Ｂ的含量进行　１９９８：３６５—３６６．　了测定．为进一步制定大白栓菌的质量控制标准提供　［２］　谭梦华，段朝红，桂裕成等．大白栓菌的人工培养条件优　了基础．３一氢化松苓酸Ｂ是大白栓菌的主要成分之　化［Ｊ］．时珍国医国药，２００８，１９（２）：４６２—４６３．　一亦为大白栓菌主要活性成分．大白栓菌中３一氢化　［３］　汪望植，王绍柏，刘晓琴等．栽培条件对无土袋栽天麻种　，松苓酸Ｂ平均达５．７１　．培养物中３一氢化松苓酸Ｂ　麻质量的影响［Ｊ］．中国民族民间医药杂志，２００６（４）：　２４３—２４６．　平均为０．５３　．其含量较高，可进一步开发利用．　［４］　田允波，葛长荣，高士争．天然植物提取物对生长猪的促　生长作用及其内分泌机制的研究［Ｊ］．饲料及饲养试验，　参考文献：　２００６（７）：４０—４２．　［责任编辑周文凯］　［１］赵继鼎．中国真菌志：第３卷［Ｍ］．北京：科学出版社，