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导波光学1

更新时间:2024-03-07 03:42:36 阅读：评论：0

2024年3月7日发(作者：老师对学生的评价)

导波光学1

天津理工大学

导波光学

刘翰霖

任广军

2008-12-10

绪论

主要内容：

二十一世纪是信息时代，信息技术正在改变着人类社会。在信息的产生、采集、显示、传输、存储以及处理的各个环节中，光技术都扮演着重要的角色。20世纪60年代激光器的出现，导致了半导体电子学、导波光学、非线性光学等一系列新学科的涌现。20世纪70年代，由于半导体激光器和光纤技术的重要突破，导致了以光导纤维通信、光信息处理、光纤传感、光信息存储与显示等为代表的光信息科学技术的蓬勃发展，导波光学（包括集成光学和纤维光学两个分支）已成为光信息技术与科学的基础。

1.1通信历史的回顾

（1）通信的发展历史总是与人类文明的发展历史紧密相关的。可以认为，人类早期的长途通信手段——烽火台报警通信就是光通信。到了中世纪这种烽火台通信又得到了改进，人们用不同颜色的烽烟组合来传递较为复杂的信息。目视光通信在19世纪达到了它的顶峰。

（2）18世纪末，法国人夏布（Chappe）发明了扬旗式通信机（又称旗语通信机）。扬旗通信在拿破仑时代达到了鼎盛时期，在欧洲架设了数千公里的线路。到了19世纪中叶，由于电通信技术的出现，以扬旗通信为代表的目视光通信因其固有的缺点而迅速退出了历史舞台。

（3）1837年美国人莫尔斯发明了电报，标志着人类进入了电通信时代。以后贝尔发明了电话，马可尼、波波夫发明了无线电通信，于是电通信即成为最主要的通信方式。可以说，直到20世纪60年代，电通信在通信领域都居于绝对统治地位。

（4）20世纪70年代以后，通信技术进入了光通信时代。必须解决两个最为关键的问题：一是可以高速调制的相干性很好的光源，二是低损耗的光波传输介质。

1960年第一台激光器问世解决了光源的问题，这种光源发出的相干光束即可成为高速数据信息的载体。但当时最好的光学玻璃做成的光学纤维其损耗也达到了1000dB/km，用这样的光学纤维显然是无法实现光信号的长距离传输的。直到1966年华裔科学家高锟在他的著名论文中解决的石英光纤损耗的理论问题，提出了研制低损耗光纤的可能性。1970年美国康宁公司研制成功第一根低损耗光纤，从此阻碍光通信发展的两大困难得以解决。

1.2光纤通信的产生和发展

20世纪70年代，由于制约光纤通信发展的两个主要问题相继得到了解决，于是光纤通信技术即以异乎寻常的速度发展。到20世纪90年代，除了用户线以外，光纤传输已完全取代了传统的电缆通信，成为通信网的主干。与传统的通信方式相比，光纤通信主要优势体现在如下几个方面：

（1）巨大的传输带宽。石英光纤的工作频段为0.8~1.65μm，单根光纤的可用频带几乎达到了200THz。

（2）极低的传输损耗。目前工业制造的光纤在1.3μm附近，其损耗在0.3~0.4 dB / km范围以内，在1.55μm波段已降至0.2dB / km以下。

（3）光纤通信可抗强电磁干扰，不向外辐射电磁波，这样就提高了这种通信手段的保密性，同时也不会产生电磁污染。

第一代光网络采用静态的点到点波分复用（WDM）系统来增加带宽，这种光网络被广泛地应用于长途骨干网传输，可以提供数十个波长的OC-48（2.5Gbit/s）或OC-192（10Gbit/s）的信号通道。该光网络采用静态的通道分配技术，在两点间提供固定的传输通道。

第二代网络为光电混合网络，其传输在光域实现，但在网络节点处信息的交换、数据流的分出和插入都在电域完成。第二代网络的交换、路由等必须在电域实现，因而其性能必然要受到电子器件处理速率的制约，这就是所谓“电子瓶颈”问题。

第三代网络是全光网络。所谓全光网是指信息从源节点到目的节点能够实现全光透明传输的网络。全光网中的网络节点在光域中处理信息，交换、路由等都在光域完成。

1.3光波技术的发展

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20世纪70年代至90年代，光波技术的发展是以光纤通信为主线的，基本上以提高光纤链路传输速率和延长传输距离为目标。20世纪90年代以后逐渐进入光网络时代。光网络是以网络节点互连而成的全光透明网络。为了实现光信号的透明传输，网络节点必须在光域完成选路、交换等功能。因而光信息技术，如光缓存、光逻辑、光交换等，已成为光波技术的前沿领域。

经典通信包括相干通信、光孤子通信等新的通信技术都受到经典信道中高斯噪声的制约，其信道容量都是有限的。近年提出的量子光通信概念，以光量子作为信息载体，而非传统的以光波（波长极短的电磁波）作为信息载体。

实现量子光通信的关键技术是光子计数技术、光量子无破坏检测技术和相应的激光器技术。

1.4 光纤

光纤是构成光网络的传输介质，它是以石英为基础材料制成的。它由纤芯、包层及保护层构成，其横截面如图1-1所示。纤芯和包层由石英材料掺不同的杂质构成，使纤芯折射率n1略大于包层折射率n2。通信用光纤主要有多模光纤与单模光纤两类。多模光纤纤芯直径2a主要有50μm、62.5μm两种规格，单模光纤纤芯更细，其直径小于10μm。多模光纤和单模光纤的包层直径一般都为125μm。如果不加标识，凭肉眼，我们无法区分多模光纤和单模光纤。

光纤最主要的传输特性是它的损耗、色散、非线性及双折射等。

（1）光纤的损耗特性

光纤的损耗导致光信号在传输过程中信号功率下降，光功率P纤中的变化可以用方程式（1.3-1）表示。

dPdzP在光图1-1光纤的横截面

（1.4

– 1）

式中就是光纤的衰减系数。积分上式可得

L

P• （1.4 – 2）

outP•ine式中Pin是注入功率,Pout是长为L的光纤的输出功率。一般用dBkm•作为光纤损耗的实用单位，即

dBkm10outP•lg （1.4 – 3）

LP•in

光纤损耗主要由光纤的本征吸收、瑞利散射、杂质吸收等因素构成。

折射率的不均匀必然导致对光波的散射，散射导致光信号能量的损耗，这种与光波波长尺度相当的不均匀性对光波的散射称为瑞利散射。瑞利散射导致的损耗系数可以表示为

CR4 （1.4 – 4）

式中的常数C在0.7 ~ 0.9μm4dB/km范围，在0.8μm处已达2dB/km，所以瑞利散射是限制通信波段波长的主要因素。

OH-离子的吸收导致光纤的通信波段在0.8～1.65μm范围内形成两个低损耗窗口，即1.31μm和1.55μm。

R（2）光纤的色散特性

一般意义下的色散是指介质中不同频率的电磁波以不同的速度传播这一物理现象。在光纤中不仅不同频率成分的光有不同的传播速度，而且不同的传播模式也有不同的传播速度，称之为模式色散。模式色散同样导致光信号在传播过程中的畸变。

光纤的色散因素主要包括材料色散、波导色散和模式色散。

单模光纤的偏振模色散（PMD）实际也是一种模式色散。它是由于单模光纤中两个正交的偏振态以不同的速度传播造成的。

（3）单模光纤的非线性

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非线性是指光纤对大信号的影响特性，几乎所有媒质都是非线性媒质，但在小信号条件下，非线性极小，可以忽略。单模光纤中传输的光信号的功率在mW量级，但由于单模光纤芯径很小，单位面积上通过的功率却是很大的，或者说光强很强。光纤纤芯中的电场强度达到105~106 V/m量级。在如此强大的电场作用下，石英的非线性极化导致光纤的折射率有一个与外加光强成正比例的非线性修正项，即

n =

n2|E| (1.4 – 5 )

这就是所谓的光可尔效应。由于光克尔效应的存在，导致光信号传输过程中存在自相位调制(SPM)、交叉相位调制(XPM)以及四波混频(FWM)。此外在外加信号较大时光纤中还存在非弹性散射过程，例如受激拉曼散射(SRS)、受激布里渊散射(SBS)等。

（4）单模光纤的双折射

单模光纤中的传播模式并不是严格意义上的单一模式，光纤的主模式是一对偏振态相互正交的简并模，在非理想状态下，这一对模式将不再是理想的简并模，它们的传输特性将略有差别，或者说它们的等效折射率不同，这就是单模光纤的双折射。

光波导的几何光学分析方法

主要内容：

在本章中我们将从路径方程出发，分析光线在各类光波导中的传播特性。首先，我们将从最简单的均匀介质薄膜波导开始，然后讨论光纤中光线的传播问题，最后讨论光源与光纤之间的耦合问题。

2.1 均匀介质薄膜波导中光线的传播

介质薄膜波导由三层介质构成。中间一层厚度为d (约为数微米)，折射率为n1，光线即在这一层介质中传播，称为芯层。下面一层折射率为n2，称为衬底。上面一层折射率为n3，称为敷层。其结构如图2-1所示。为了保证光线在芯层中传播，必须有nl大于n2和n3。在横方向上，薄膜波导在y方向尺寸比起x方向尺寸要大得多，为了分析简单起见，认为在y方向上是无限延伸的，所以又可以将薄膜波导称为平面波导。一般薄膜波导的芯层是采用扩散工艺沉积在衬底上做成的。

光纤通信系统中，不用薄膜光波导作为传输媒质。图2-1 介质薄膜波导的纵剖面图

但是，对薄膜波导的分析具有重要的意义。首先，薄膜波导是最简单的光波导，可以很方便地得到结果，对薄膜波导的讨论可以为分析条形波导和光纤打下基础。另外，薄膜波导理论又是集成光学的基础，很多无源光器件，如光调制器、光耦合器等的工作原理都是建立在薄膜波导理论基础上的。所以在主要介绍光纤传输理论的同时，也对薄膜波导的传输理论作必要的介绍。

2.1.1 光线的传播路径及光线分类

均匀薄膜波导的芯层折射率nl、衬底折射率n2、敷层折射率n3都是常数。因而光线在芯层中沿直线传播，在芯层与衬底，芯层与敷层的界面上发生反射和折射，如图2-2所示。如果光线的入射角大于这两个界面上的全反射临界角，则光线在芯层形成内全反射，此时光线被约束在芯层内沿锯齿状路径传播。

根据衬底和敷层中是否有折射光线存在，我们将波导内的光线分成两类，即束缚光线和折射光线。如果光线在两个界面上都满足全反射条件，光线完全被约束在芯层内，则称为束缚光线。如果光线在某一个界面上或同时在两个界

图2-2 介质薄膜波导界面上光线的反射和折射

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面上不满足全反射条件，从而导致光线穿过界面进入衬底或敷层，就称为折

射光线。显然只有束缚光线才能在波导中沿确定的方向传播。

令光线在芯层和衬底及芯层和敷层分界面上的全反射临界角分别为θc12sin1c12和θc13，则有

n2n1，c13sin1n3n1

假设衬底折射率n2大于敷层折射率n3，则必有θc12>θc13，这表明，在芯层中光线成为束缚光线的必要条件是光线在界面上的入射角θl>θc12。为了以后讨论方便，我们用光线与波导轴也就是z轴之间的夹角θz来表示射线的方向，它与入射角θi互为余角，即θz = 90°-θi。全反射临界角的余角用θzc表示,则θzc=90°-θc。引进θz角之后，光线在界面上发生全反射的条件成为θz<θzc。由于θc12>θc13，所以θz12<θz13，于是得到薄膜波导两个界面上同时满足全反射条件，从而光线成为束缚光线的条件成为

0θz<θzc13 （2.1-1）

如果忽略介质本身的损耗，则满足条件(2.1-1)式的光线在波导芯层将沿z轴方向以锯齿状的路径无衰减地传播。这种光线又可以称为导波光线，因为用波动理论来看，它就是导行波。

如果(2.1-1)式的条件不满足，即光线的倾斜角θzθzc12，则光线在到达界面时将部分地折射出去，光的能量每经过一次折射都要损失一部分，因而沿z轴方向光线的能量迅速衰减。这种能量的损耗以辐射的形式向芯层外面弥散，所以又称这种部分向外折射的光线为辐射光线。这里又可出现两种情形，即当

θzc12θz<θzc13 （2.1-2a）

时仅出现衬底辐射，即在衬底中有折射光线存在，而在敷层中没有折射光线存在。而当

θzc13≤θz≤2 (2.1-2b)

时衬底和敷层中同时都有折射光线存在，或者说同时出现衬底辐射和敷层辐射。

(2.1-1)式和(2.1-2)式的条件可以归纳为

束缚光线： 0≤θz

-1 (2.1-3)

n2n1≤θz

2同时存在衬底辐射和敷层辐射：cosn3n1≤θz< (2.1-4b)

由折射定律可知，光线在传播过程中必有

是个常数，脚标i=l，2，3。可以将归一化相位常数，即

ncosz称为光线不变量，它实际上是光波在z轴方向传播的nicoszi=k0=ncosz

用光线不变量表示，则薄膜波导中存在束缚光线的条件是

n2<≤n1

(2.1-5)

仅出现衬底辐射的条件是

n3<≤n2

(2.1-6a)

同时出现衬底辐射和敷层辐射的条件是

0≤

2.1.2 传播时延及时延差

光线在芯层中的传播速度v = c／n1，c是自由空间的光速度，n1是芯层折射率。由于光线在芯层内沿锯齿状路径传播，如图2-3所示，光线沿z轴方向传播距离z时，走过的实际路径长度为

L = z／cosθz

传播这段距离所需要的时间为

t = L / v = n1 z / c cosθz

定义沿z轴方向传播单位距离的时间为光线的传播时延，用τ表示，则

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τ= t / z = n1/ c cosθz (2.1-7)

如果在芯层中有两条束缚光线，它们与z轴之间的夹角分别为



1 和



z2 ，则在z轴方向传播单位距离时，它们走过的路径不一样，因而传播时延也不一样，两条路径传播时延差用



 表示，则有

n111



 =

 (2.1-8)

12ccosz1cosz2

在所有可以存在的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线传播的光线其θz＝0，而路径最长的一条光线则是靠近全反射临界角入射的光线，其倾斜角θz＝cos-1(n2/n1) 。这两条光线传播时延差最大，称为最大时延差，记为max，显然

n1n1n2= （2.1-9）

cn2由上式可以看到

max与芯层折射率和衬底折射率之差n1-n2成正比。而较大的时延差将会导致严重的多径色散，引起光脉冲在传播过程中展宽，所以实际的光波导n1-n2不宜过大。一般的光波导衬底和芯层往往用同一种材料，只是掺有不同浓度的杂质做成，其折射率差很小。定义相对折射率差为

22n1n2nnnn





2 <<1 (2.1-10)

2n1n1n2

-----------------------------------------------

引进参量以后，最大时延差即可表示为

Δ (2.1-11)

max=

c(2.1-11)式是一个极为重要的结果。用它可以估算光波导中由于多径传输所导致的光脉冲展宽的大小。(2.1-11)式未考虑其它的色散因素，例如材料色散等。对这种均匀薄膜波导，多径色散是主要的，因而用(2.1-11)式所得到的结果误差不会很大。

2.2 芯层折射率渐变的介质薄膜波导中光线的传播

均匀介质薄膜波导结构简单，容易分析，其缺点是多径色散效应严重。改进的办法是将芯层折射率做成渐变的，波导芯层的中心折射率最大，并单调下降至衬底折射率的值。这种情形下对光线的传播特性的分析将比均匀结构复杂。

2.2.1 传播路径及光线分类

实际使用的光波导其芯层折射率仅是x的函数，从中心线向两边递减。为简单起见，假设芯层两侧折射率相等，边界面上折射率连续，即折射率分布可以表示为

n1(x)n1(x)•n(x)•n2n1(xa)xaxa （2.2-1）

我们将这种折射率呈对称分布的结构称为对称薄膜波导，其折射率分布如图2-4所示。

在芯层中，光线传播的路径方程可以具体化为

ddrdn1(x)n1(x)ex

dsdsdx （2.2-2）

我们限定光线在芯层沿z轴传播，因而光线的路径是xyz平面内的曲线，曲线上任意一点的矢径及其路程的导数分别为

rxexzez•,•drdsdxdzexezdsds

将（2.2-2）式写成分量形式，可以得到

ddxdn1(x)n1(x)dsdsdxddzn1(x)0dsds2 1/2 （2.2-3a）

（2.2-3b）

在xoz平面内ds = [ dx2

+ dz]，或者dz = d cosθz(x)，这里θz(x)是传播路径上某点的切线与z轴之间的夹角。由于传播路径一般为曲线，所以θz(x)是位置的函数。dx，dz，ds，θz(x)之间的关系如图2-5所示。

积分式（2.2-2b）可得

n1(x)dzdsn1(x)cosz(x)n1(0)cosz(0) （2.2-4）

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由此可见，折射率渐变波导中，如果折射率仅是x的函数，则仍然可以引进归一化的z方向相位常数这个光线不变量。也就是说光线传播的z方向归一化相位常数在传播过程中始终保持不变，其值仅由光线的初始状态决定。

从（2.2-3）式可以看到，如果光波导的芯层折射率由x = 0处向两边单调下降，则光线与z轴间的夹角也就是说在非均匀介质中，z(x)会随x的增加而减小，光线

总是弯向折射率大的一侧。如果芯层中某点满足z(x)=0，

图 2-5 传播路径上的几何关系

则此点以外的区域光线不能传播，光线将从此点弯回中心轴一侧，我们称这个点为光线的折返点，其坐标用xtp表示。显然折返点坐标xtp是下面方程的解

n1(xtp)n1(0)cosz(0)0xtpd2a (2.2-5)

式中 n1

( 0 )是波导中心轴上( x = 0 )的折射率，θz(0) 则是中心轴上光线与z轴间的夹角。若方程（2.2-5）在|x|

在折射率对称分布，即n ( x ) = n (- x ) 的波导中，束缚光线沿类似于正弦曲线的路径传播，如图2-7所示。路径的准确形状则应从方程（2.2-3a）式解得。

由上面的讨论可知，束缚光线和折射光线的分界线是刚好达到芯层与敷层的分界面的路径，即xtp= a的路径。由（2.2-5）式可以得到这条路径的其起始倾斜角为

zc(0)cos1n1(a)n1(0)cos1n2n1 （2.2-6）

式中n2

= n1( x = a )是衬底及敷层折射率，n1是芯层中心轴上的折射率，即n1

= n1(0)。于是我们可以将束缚光线和折射光线的条件归纳为

束缚光线： 0≤θz（0）

2≤θz（0）<≤ （2.2-7b）

如果用光线不变量= n(x)cosθz(x)来表示，则为

束缚光线： n2<≤n1

（2.2-8a）

折射光线： 0≤≤n2

（2.2-8b）

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现在假设光线不变量满足条件n2<≤n1，我们来看看光线路径方程的积分。利用图2-5所示的几何关系

dxdzsinz(x)•,••••cosz(x)dsdsddzdxdz

也可将（2.2-3a）式写成

cosz(x)[n1(x)cosz(x)]dn1(x)dx利用n(x)cosz(x)是不变量这一关系，又可以将上式写成

2dtdx221dn1(x)2dxtdtdx2 （2.2-9）

1dt2作变换tdxdz，则•dxdz22dtdzdt•dxdx•dz2dx2，将其代入（2.2-9）式，得到

dn1(x)dx2dt2dx

tp积分上式得到

t22n1(x)A2式中A为积分常数。由于dxdz2tanz(x)，在xx时z(x)0，所以dxdz20，于是有n1(xxtp)A0，再由（2.2-5）式，可以确定Adxdz[n1(x)]2212。于是得到

（2.2-10）

（2.2-11）

再次积分，即可得到光线路径方程的积分式

z(x)xdx0n21(x)212上式是在x = 0时，z = 0的前提下得到的。如果给定芯层折射率分布n1( x ) 和光线的初始状态，也就是给定z(0)，则光线的传播路径即可由（2.2-11）式的积分完全确定。

2.2.2 传播时延及时延差

由于束缚光线的路径类似于正弦曲线那样的周期曲线，我们可以只考虑路径的半个周期的路径长度及光程，即可得到单位距离的传播时延等重要信息。路径的半个周期也就是图2-7中P、Q两点间的曲线段。这段路径的QQ长度及光程分别用Lp和Lo表示，则有

P、Q两点的x坐标分别为 - xtp和xtp







(

)

s （2.2-12）

Pdz再利用（2.2-10）式，即

 变换：

dzdzdx2212dsn(x)dx[n1(x)]

cosz(x)dx

则可以将P、Q两点间的路径长度及光程分别写成

2n(x)dxn1(x)dx

p （2.2-13a）



2 （2.2-13b）





o2212[n1(x)][n1(x)]

xxxtp2Ln1(x)dx1P、Q两点在z轴上的投影点之间的距离为zp

ot2122

ccx[n1(x)]xtp

dxzp2212（2.2-14）光线从P点传播到Q点的时间则为（2.2-15）

[n(x)]1x

 （2.2-16）光线沿z轴传播单位距离的传播时延则为



1tptp1tptptptp0czp

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式中是z轴方向上单位距离内包含的路径半周期数目，如果1/zp是整数，则（2.2-16）式精确成立。如果1/zp不是整数，但1/zp >>1。（2.2-16）式仍是个很好的近似；如果1/zp >>1这个条件不满足，则传播时延的精确值应为

1z1z











(

z （2.2-17）

11c0c0

式中z是路径在z轴方向的总长度。

沿两条不同的路径积分，在z轴方向传播相同的距离时，光程不同，因而有不同的传播时间，这就导致了传播时延差。对于芯层折射率从x = 0处向两边单调下降的波导，与芯层折射率均匀的波导比较，前者的时延差会在一定程度上有所减小。这是因为大的光线尽管所走的路程较长，但它部分地进入了芯层的边缘部分，那里的折射率较小，光的传播速度就要快些；沿波导中心线附近传播的光线尽管所走的距离短些，但此处折射率大些，传播速度要慢些，从而缩小了各条光线之间的传播时延差。缩小的程度取决于芯层折射率分布函数，下面我们将看到，如果芯层折射率按双曲正割函数分布，则所有各条束缚光线的传播时延相等，时延差为零。

2.2.3 举例

例１光波导的折射率分布按所谓无界抛物线函数分布，即（2.2-18）

 范围内按抛物线函数分布，所以这时式中的a已不具有芯层厚度的意义，它只是一由于这里假设折射率在



个参量，Δ是一个无量纲的参量，而且总小于１。

2

0这个分布使得x





Δ 时n=0，而



Δ 时



 ,显然这不符合实际情况。但从它可以得到简单的解，有助于我们理解光线传播的概念，而且对其中那些不大的所谓傍轴光线，所得结果是相当精确的。在光波导中，我们主要关心的也就是傍轴光线，所以这样的假设有讨论的价值。

由于没有芯层和敷层的界面，所以所有的光线都是束缚的。其折返点位置由方程

sinz(0)xtp2



(



cos



(

) 解出为





a （2.2-19）

)

]

2Δa

由（2.2-19）式可知，当波导参量a，Δ确定以后，折返点位置完全取决于起始倾斜角。





 越大，xtp就越x大，光线就愈加远离波导中心轴。

dxzx20把（2.2-18）式代入（2.2-11）式，可得

x122n1[sinz(0)22]

xadxa将（2.2-19）式代入，得到

zx22120n12Δ(xtpx)

wdw作变换



sin



cos ，则有

xxaxtpcoswdwadwzx0n12Δx2x2sin2w120n2Δ

1tptp

nz2Δaax1x也就是



sin

1 （2.2-20）

w0sinxtpan12Δn12Δ

从上式可以看到，光线的路径是正弦曲线，其半周期长度可以直接从（2.2-20）式中令正弦函数的宗量





π 得到，即





Δ （2.2-21）

πz于是可以将路径方程写成



sin （2.2-22）

zp由（2.2-21）式可以看到，光线路径的半周期长度在波导结构确定以后完全由起始倾斜角决定，

(

) 越大，z半周期长度越小，如图2-8所示

半周期的光程可由（2.2-13b）式积分得出，将（2.2-18）式代入（2.2-13b）式，得到

x2x2xxn1[12()]dxan1[12()]

aaLo)dx

221x222(xtpx)-x[sin

z(0)2()]2-xa

•cosw ，则有作变换



sin



222xxz(n)an1tpp12

Lo[122sin]dx



 （2.2-23）

式中即为(2.2-21)式所确定的半周期长度。

L122on

)光线在z轴方向传播单位距离的时延为

(

1 （2.2-24）

czp2c显然，这种结构的光波导，光线的起始倾斜角不同，即不同，其传播时延也不同，即存在着传播时延差。

如果仍将

 作为波导芯层的边界，则





a 是约束光线的临界路径。由（2.2-19）式可以求得此临界路

a径的起始倾斜角满足

sin02Δ,cos2012Δ•,•2n212Δzz1



z•



而沿波导轴线传播的光线，





•

1。分别将这些数据代进（2.2-24）式，即可得到这两条路径的传播tptptptptptpx222n(x)n1[12()]

x

n1cΔ2第8页/共9页

时延差为（2.2-25）

1 的假设。将（2.2-25）式与（2.1-11）式比较，可以看到芯层折射率按抛物线函数在得到上式时，用了



变化时，其时延差是芯层折射率均匀的波导时延差的Δ倍。由于

1 ，所以折射率按抛线函数分布的波导的多径色散效应明显地小于均匀波导。

0自聚焦效应为观察方便，把光线入射点移到中心轴线(z=0, ri=0)，得到

rsin(Az)(2.14a)

An(0)

θ*=θ0cos(Az) (2.14b)

由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0，其周期Λ=2π/A=2πa/

 ，取决于光纤的结构参数(a, Δ)，而与入射角θ0无关。

这说明不同入射角相应的光线，虽然经历的路程不同，但是最终都会聚在P点上，见图2.5和图2.2(b)，这种现象称为自聚焦(Self-Focusing)效应。

2.3 阶跃光纤中光线的传播

光导纤维是光纤通讯系统中的传输媒介，实际上就是圆柱形状的介质波导，它由纤芯、包层和护套层构成。纤芯和包层材料都是石英玻璃，只是掺杂成分和掺杂浓度略有不同，因而折射率略有不同。设纤芯折射率为n1，包层折射率为n2，为了保证光线被约束在纤芯中传播，总有nl

n2。纤芯折射率可以是均匀的，也可以是渐变的。纤芯折射率均匀，也就是n1是常数，则在纤芯与包层的分界面上折射率发生突变，包层折射率n2总是常数，这种光纤称为阶跃光纤，或者SI（Step Index）光纤。如果光纤的折射率是渐变的，一般是由中心轴上的最大值n1按某种函数规律阶跃光纤的横截面结构

下降到包层折射率n2，这种光纤称为梯度光纤，或者GI（Graded Index）光纤。

2.3.1传播路径及光线分类

由于阶跃光纤纤芯折射率是均匀的，所以光线在纤芯内沿直线传播。当光线到达纤芯与包层界面时，按斯涅尔定律发生反射和折射（11'，n1sin1n2sin2）。在一定的条件下，光线在界面上发生全反射，则在纤芯内形成沿折线路径传播的束缚光线。与前一节所讨论的薄膜波导不同，光纤中的光线由于入射方向的差异，必须区分两种情形。一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线。子午光线的路径是平面折线，在光纤横截面内的投影是长度为2a的线段，也就是光纤纤芯的某一条直径。子午光线的路径及在横截面内的投影如右所示。另一类光线其传播路径不与光纤轴相交，称为偏斜光线。偏斜光线的路径是空间折线，在光纤横截面内的投影是内切于一个圆的多边形(可以是不封闭的)。偏斜光线的传播路径及

子午光线的传播路径及其在横截面内的投影

第9页/共10页

偏斜光线的传播路径及其在横截面内的投影

其在横截面内的投影如下图所示。偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，这个圆柱面称为偏斜光线的内焦散面(Inner Caustic)。内焦散面的半径如果用ric表示，则有0

2.3.2 数值孔径

如前所述，无论是子午光线，还是偏斜光线，仅当z（2）c时，光线才能成为束缚光线并沿光纤轴方向无衰减传播，而光线的起始倾斜角z则由光纤端面上光线的入射方向决定。我们以子午光线为例来看看从端面入射的光线被光纤捕获并成为束缚光线的入射条件。假设光线从空气中以入射角θ投射到光纤端面上，如图所示。光线进入光纤以后，其传播路径与z轴之间的夹角为z，根据斯涅尔定律应有

光纤端面上光线的入射与折射

n0sinn1sinz,sinzn0n1sin

n1是纤芯折射率，n0是光纤端面外介质的折射率，如果端面之外是空气，则n0=1。入射光线成为束缚光线的条件是z（π/2）c,sinzcosc。也就是

n0n1sincos2n212n112

于是得到

对于空气，n01

sin1n0(n1n2)2212

。从上式可以得到一个重要结果，即从空气中入射到光纤纤芯端面上的光线被光sinmax＝n1n2n1222纤捕获并成为束缚光线的最大入射角max，必须满足条件

2（n1式中Δ22n2）/2n1是光纤纤芯和包层之间的相对折射率差。

定义上述光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即sinmax为光纤的数值孔径（Numberical

Aperture），记为NA，即

NA＝n1n2n1222

数值孔径NA是光纤的一个极为重要的参数，它反映光纤捕捉光线能力的大小。NA越大，光纤捕捉光线的能力就越强，光纤与光源之间的耦合效率就越高。从这个意义上讲，光纤的相对折射率差Δ应取得大一些，但Δ过大会使光纤的多径色散严重。实际的光纤总有Δ1，多模光纤的数值孔径一般在0.2左右，单模光纤的数值孔径更小，在0.1左右。

2.3.3 传播时延和时延差

设光线的传播路径与包层和纤芯界面的两个相邻交点P、Q间的距离设为Lp，由几何关系可得

222122asin(n1l)22212l)

1 设其光程为L0，则有

LP



22(n1L0n1LP2an122sinz

n122n1第10页/共11页

22212

(n1l)2aP、 Q两点之间的路径在光纤轴上的投影的长度为zP，则

zPLPc2os2asinctg22n1Lnn011光线沿z轴方向传播单位距离的传播时延则为



zPccccosZ由上式可以得到一个重要结论，阶跃光纤中光线的传播时延仅与光线与z轴间的夹角有关，而与偏斜角无关。在相同的条件下，从始端同时出发的子午光线与偏斜光线同时到达终端。因而在讨论阶跃光纤中的多径色散时仅需讨论子午光线。光纤中的子午光线与薄膜波导中的光线其传播特性是相同的。在z轴方向传播单位距离，具有不同倾斜角的束缚光线的最大时延差为

n1n1n1ΔΔmax

csincccZZ2.4 梯度光纤中光线的传播

为了减小多径色散，可以将光纤纤芯折射率做成渐变的。一般是让纤芯折射率从中心轴到与包层的分界面单调下降，而且折射率是呈轴对称分布的。这样的光纤就称为梯度光纤(GI光纤)。梯度光纤的折射率分布可以写成

n1(r),ran(r)

（2.4.1）

n2n1,ra2.4.1 路径方程和光线不变量

以光纤轴为z轴的圆柱坐标系

•



•(

r•,

•z

•

) 中，光线的路径方程可以写成三个标量方程：

2dd2n(r)ddrddzddn(r)

dn(r)drrn(r)n(r)0n(r)0dsdsrdsds

dsdsdsdsdrds光线在非均匀光纤中的传播

光纤的光学特性决定于它的折射率分布。梯度型光纤的折射率分布可以表示为

r

n1[12()]1/2ran(r)

aran2

式中：a是纤芯半径；r是光纤中任意一点到中心的距离；是随折射率变化的参数，且





 ，当





2 时即为常见的平方率分布。阶跃型光纤也1

可认为是





 的特殊情况。

ddrn光线在各向同性介质中的传输轨迹用射线方程表示为

ndsds式中：r是轨迹上一点的矢量；ds是沿轨迹的距离单元；表示折射率的梯度。

将射线方程应用到光纤的园柱坐标中，讨论平方律分布的光纤中近轴子午光线，即与光纤轴线夹角很小的且可近似认为平行于光纤轴线(z轴)的子午光线。由于光纤中的折射率仅以径向变化，沿圆周方向和z轴方向是不变的。因此，对于近轴子午光线，射线方程2可简化为式中r是射线离开轴线的径向距离

2dzndr2

dr2nr

 对近轴光线，对于平方律分布，有





1 代入得到



1 ，因此上式近似为

n2dznadra

d2r2rd

' ，则上式的解为

a1/2z'1/2z

 ，设z＝0时，



2r,rrrcos[2()]rsin[2()]00001/2adza(2)a

dz即为平方律分布的光纤中近轴子午光线的传输轨迹。

2.4.2 数值孔径

对于渐变型光纤，由于纤芯折射率分布随径向坐标r的增加而减小，因此光源射线照射到纤芯端面时，各点的NA也是不同的。为了定量描述光纤端面各点接受人射光的能力，定义局部数值孔径LNA(r)为

LNA(r)n(r)n2n(r)2r22 （2.4.12）

式中：r为纤芯端面上任一点的径向坐标；r[n(r)n2]/n(r)。显然，当r＝0时，

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LNA(r)maxn(0)2rn12，为最大理论数值孔径。

2.5光纤与光源的耦合

2.5.1 照射光源

光源发出的光照射在光纤端面上，部分光线被光纤捕获，成为束缚光线在光纤中传播。光线能否被光纤捕获，关键是光线在端面上的入射角度，因而与光源发出的光线的方向有直接关系。一般通信用光源可以看成是面发光光源，单位面积的发光面向与其法线方向之间的夹角θ0的方向上单位立体角内发出的光功率称为光强，记为I (θ)。

图2-21 由光源面积元dA向体角

如果光源仅向与其法线夹角为θ0的锥体内辐射光线，则元d内辐射的光

在此锥体内如图2-21所示的光源上的面积元dA向立体角dΩ（它的轴线与dA的法线间的夹角为θ内辐射的光功率为

dp =

I()ddA•0•(00)•(02) (2.5-1)

根据光源发光强度的分布情况，可以将光源分为漫射光源和准直光源两类。如果面光源表面上的每个发光面积元均向所有方向辐射光线其强度分布函数为

II0cos•I••02 （2.5-2）

则这种光源称为漫射光源或朗伯光源。

实际的面光源I0并非是个常数，一般说来光源中心部分I0值较大，边缘较小。可以假设发光强度对源的中心点成轴对称分布，而且与离开中心点的距离r之间的关系可以近似地用高斯分布逼2近，即

(

)





] (2.5-3)

exp[式中A、B是两个正的常数，as是光源的半径。

如果一个面光源仅向其法线方向辐射，即所辐射出的光线形成平行光束或准直光束，这种光源即称为准直光源。激光器发出的光束近似为准直光束，而真正的准直光束是置于透射焦点上的理想点光源发出的光线经透镜准直以后所得到的光束。面光源发出的两类光束的情形如图2-22所示。

2.5.2 耦合效率

假设光源的面积足够大，使得它能覆盖光纤纤芯端面，而且光源紧靠光纤端面，这样只有覆盖光纤纤芯端面的那一部分光源才是有效的，其余部分辐射的光线不可能进入光纤纤芯成为束缚光线。我们将进入纤芯的束缚光线的总功率或总的有效光功率pe与上述光源的有效部分即半径为a的圆形区域的总辐射功率pt之比定义为光源与光纤间的耦合效率，用η表示，

pept (2.5-4)

下面分朗伯光源和准直光源两种情形讨论。

1．朗伯光源照射

用朗伯光源照射光纤端面，则光源有效部分总的辐射功率为

ptdAI0cosd

式中第一个积分在光源的有效面积内进行，第二个积分在光源发射光线的所有可能的方向以内进行。对郎伯光源即有

2aptI000(r)rdrdcossindd

0022式中r，是光源面上的极坐标变量，•,•是以辐射面元的法线为极轴的球坐标变量。如果此面

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光源均匀辐射，即I0(r)I0，则可得到

ptπaI0220022cossinddπaI0 (2.5-5)

22在计算过程中使用了dsindd。

纤芯内束缚光线的总功率计算要复杂一些。它不仅与光源的辐射强度有关，而且与光纤的折射率有关。对朗伯光源照射梯度光纤端面的情形，光纤只能捕获入射角小于最大入射角θmax（r）的那些光线，所以束缚光线的总功率可以表示为

pedAI0Tcosd (2.5-6)

式中第一个积分在光源的有效面积内进行，第二个积分则只能限制在能成为束缚光线的范围，即max(r)范围内进行。其中T是光能量在端面上进入光线的透射率，其值由菲涅尔公式给出，即

T1[n1(r)n0n1(r)n0]24n0n1(r)[n1(r)n0]2 (2.5-7)

式中n0是光纤端面外物质的折射率，n1(r)是纤芯折射率。对石英系列光纤n1(r)的值在1.50左右，如果n0

= 1则T≥96%。为了减少端面上光能量的反射损失，还可以在光源与光纤端面间加匹配液，这样透射率T就十分接近于1，所以在分析过程中总可以认为T = 1。于是束缚光线的总功率可以写成

2a2max0pedrdrI0a2000(r)cossinddmaxx0•4πI0a(r)rdrcossind02

•2220I0(r)rsinmax(r)dr式中的sinmax(r)就是（2.4-14）式所定义的本地数值孔径的平方，即sin2max(r)[n12(r)n22]，将其代入上式，得

ape220I0(r)r[n1(r)-n2]dr (2.5-8)

22这里已使用了条件n0

= 1。

对于均匀辐射的光源，I0(r)I0，则有

ape2I020r[n1(r)-n2]dr22 (2.5-9)

进一步，对阶跃光纤n12(r)n12，于是有

peπIoa[n1n2]πaIo(NA)

将它与（2.5-5）式相比较，可以得到郎伯光源与阶跃光纤之间的耦合效率为

2222222pept(NA) (2.5-10)

对于梯度光纤，如果纤芯折射率分布为

r22n(r)n[12()]

11a2则

r222n1(r)n2n12[1()]，将其代入（2.5-9）式，可得

a详细过程

已知pt求pe

第13页/共14页

ape2πI0n12[1(022r'a)]rdr2πI0n1a2222 (2.5-11)

光源与阶跃光纤之间的耦合效率则为

式中(NA)2n122是光纤本地数值孔径NA（r）在光纤轴上的值的平方。

由（2.5-10）式和（2.5-12）式可以看到，当光源为朗伯光源时，光源与光纤之间的耦合系数都与光纤的数值孔径NA的平方成正比。对于同样的光源，同样的数值孔径，阶跃光纤的耦合效率较高。光纤纤芯折射率指标因子a小，则折射率下降较快，耦合效率就低。当a = 2时，即抛物线型折射率分布的光纤，其耦合效率将降为阶跃光纤的一半。

2. 准直光束照射

准直光束如果斜入射到光纤纤芯的端面上，光线入射方向与光纤轴之间的夹角为θ，如图2-23所示。假设准直光束的强度，也就是光束横截面单位面积上通过的光功率I(r)＝I0，即假设准直光束为均匀光束，则入射到光纤纤芯端面上的总功率为Pt＝πa2I0cosθ

（2.5-13）

对阶跃光纤，如果







max ，则所有的入射光线都成为束缚光线，如果







max，则所有的光线都成为折射光线。这里的



max 就是光线成为束缚光线的最大入射角。因而有

πa2I0cos•(0)





max （2.5-14）

0•(max)

相应的耦合效率为

10max





(







) （2.5-15）

max

对于梯度光纤，由于

122max(r)sinn1(r)n2





)则在以光0 ，是r的函数，它随r的增大而递减。如果对于某一确定的r

max

(

纤为轴中心，半径为r0的圆形区域中入射光线将成为束缚光线，而r>r0区域的光线都不能成为束缚光线，因而2 （2.5-16）束缚光线的功率为



πr0

I0cose

122 式中的r0是方程

sin

(

)





 （2.5-17）

2sin1的解，如果纤芯折射率为

 则由（2.5-17）式解得



[



] （2.5-18）

n12n1(r)n1[12()]

22a显然，当

sin





 时，r0=0。这时所有的光线都将成为折射光线，束缚光线功率为零。相应的光源与光线r02间的耦合效率为

1sinn122a





1 （2.5-19）

sinn120

由（2.5-18）和（2.5-19）式可以看出，仅当θ= 0，即准直光束正入射到光纤端面时，光源与光纤的耦合效率才等于1。

（2.5-15）和（2.5-19）式说明，如果用准直光束照射光纤端面，则其耦合效率由光束的入射方向决定。初看来

max似乎与光纤的数值孔径无关，但实际上耦合效率与数值孔径NA仍有关系。这是因为准直光束的入射角的最大允许值是由数值孔径决定的。数值孔径NA较大，则

max 较大，可以允许准直光束的入射角大一些。对于梯2度光纤，如果





 大一些，则在θ一定时，由（2.5-18）式可以看到r0就大一些，耦合效

n率就高一些。这与用朗伯光源照射时的情形是类似的，不同的是不是简单的与成比例。

2必须说明的是，光源的面积As如果大于光纤纤芯截面积

a ，则光源与光纤间的耦合效率还应乘上一个因子

s 。这是因为凡是纤芯端面范围之外的区域，光源所发出的光都不能成为纤芯中的束缚光线。

2.5.3 提高光源耦合效率的措施

实际的光源其发光面往往比光纤纤芯截面大得多。如果将这种光源紧贴光纤端面放置，则大部分光能量不能进入光纤纤芯，因而光源与光纤端面之间的实际耦合效率很低，造成了光源发光功率的很大浪费。因而在光源发光面与光纤端面之间加装某种聚焦装置以提高耦合效率是十分必要的措施。下面分几种情形加以讨论

1. 准直光束照射情形

一半径为



a 的准直光束照射到光纤端面上，如果在光源与光纤端面之间加装一薄透镜，透镜的半径等于光束的半径rs，可以将准直光束聚焦于光纤纤芯端面上的Q点，如图2-24a所示。只要透镜对光纤纤芯的张角θs不超过光纤端面所允许的最大入射角



max ，则准直光束内所有的光线都将成为纤芯中的束缚光线。对于阶跃光122rsftansmaxsinn1n2

11nn•s第14页/共15页f

•rn2n21222212

纤。假设透镜焦距为f，为了使准直光束聚焦于光纤端面，则应有

由





 这一条件，可以推得透镜焦距应满足条件（2.5-20）

smax

当上述条件满足时，半径为rs的准直光束将全部进入纤芯并成为束缚光线。光源与光纤之间的实际耦合效率将22提高到未加透镜时的

a 倍

122如果准直光束以倾斜角θ0入射到透镜上，如图2-24b所示。则当光纤端面上光线的最大入射角



max



sin

n21时，光束中所有光线都将成为束缚光线。显然光束倾斜角不能太大，否则光线将不可能成为束缚光线，具体地2n221sin说，应满足条件









 （2.5-21）

n1

当这些条件满足时，同样可以提高耦合效率到未加透镜时的倍。

第三章薄膜波导和带状波导的模式理论

本章采用经典电磁理论分析薄膜波导和带状波导中光波的传播问题，也就是所谓的光波导的模式理论。

3.1 均匀薄膜波导

均匀薄膜波导的结构如图3-1所示。它由三层均匀介质构成，三层介质的折射率分别为n1,n2,n3，而且n1大于和n2和n3。本节将从麦克斯韦方程出发分析光波的传播特性。

3.1.1 TE模

将（3.1-2b）式两边对x求导，并将（3.1-2）式的其余两个方程代入，可以得到

dEydx22图3-1 均匀薄膜波导的结构

(k0n222)Ey0

（3.1-4）

式中k2200,•n2r。构成波导三层介质折射率分别为n1,

n2,

n3，而且n1大于n2和n3，为了0•保证电磁波能量主要集中在波导芯层（折射率为n1）中传播，方程（3.1-4）在芯层、衬底（折射率为n2）、敷层（折射率为n3）中的解可以分别写成

E1yE1cos(kxx)ejz

|x|a （3.1-5a）

E2yE2e2(xa)ejz

xa （3.1-5b）

E3yE3e3(xa)ejz

xa （3.1-5c）

式中kx,2,3,是场量的特征常数，E1,E2,E3是三个积分常数。kx是芯层中场量在x方向的相位常数，2、3分别是衬底和敷层中场量沿x方向的衰减常数。将（3.1-4）式的解写成上式就意味着在芯层中场量在x方向呈驻波分布，解式中的kx和共同决定驻波场场量的波腹和波节位置，kx则决定了两个波节间的距离。在衬底和敷层中场量随离开界面的距离按指数规律迅速衰减，而2和3则决定了场量衰减的快慢。这样的场结构可保证场能量集中在波导芯层及芯层与衬底及敷层的界面附近的薄层中，并沿着z轴方向传播。这就是波导中的传播模式或导波模式。

对比（3.1-4）式和（3.1-5）式，很容易得到场量的特征参量kx、2、3、与各层介质的折射率n1、n2、n3之间的关系，即

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kx222k0n1 （3.1-6a）

2

a2222k0n2 （3.1-6b）

2222k0n3 （3.1-6c）

a3将（3.1-5）式中的Ey代入（31-2a）及（3.1-2b）式，即可得到三个区域的磁场分量H1x、H2x、H3x及H1z、H2z、H3z，即

H1xH2x00H3xkxxjH02z0E1yE2y （3.1-7a）

E3yjzH1zE1sin(kxx)ea2E2yj0a3E3yj0H3z （3.1-7b）

（3.1-5）式中的三个积分常数，也就是场量的振幅值E1,E2,E3由xa面上的电磁场边界条件及激励条件决定。

在两种不同介质的分界面上，电磁场边界条件是电场强度和磁场强度的切向分量连续。对图3-1所示的薄膜波导，则具体化为

•1zH2z 在xa面：

E1yE2y•;H•1zH3z 在xa面：

E1yE3y•;H将（3.1-5）式中的E1y、E2y、E3y和（3.1-7）式中的H1z、H2z、H3z代入上述边界条件，得到

E1cosk(xa)E2 （3.1-8a）

E1kxsin(kxa)E22 （3.1-8b）

E1cos(kxa)E3 （3.1-8c）

E1kxsin(kxa)E33 （3.1-8d）

这些方程规定了E1、E2、E3之间的关系，它们的完全确定还有赖于波导的激励条件，即输入功率。

从（3.1-8）式中消去E1、E2、E3，可以得到

kxtan(kxa)2 （3.1-9a）

kxtan(kxa)3 （3.1-9b）

（3.1-9）式又可以写成

kxatan12kx1p

kxatan3kxq

式中p = 0, 1, 2, …；q = 0, 1, 2, …。将上两式分别相加和相减，即可得到

kxdtan12kxtan13kxmπ （3.1-10a）

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（3.1-10b）

2式中d2a是波导芯层的厚度，m = p + q = 0, 1, 2,

…，n = p – q =

…, -2, -1, 0, 1, 2, …，但实际上n只取0和1两个数即可。从（3.1-5a）式可以看到当n取0, 1之外的其它任何正负整数时，都不会给出新的结果。而且在m = p + q取偶数时，n取零，芯层内的场量Ey在x方向按余玄函数分布；当m = p + q为奇数时，n取1，芯层内场量Ey在x方向按正弦函数分布。也就是说，可以将芯层内的场量写成

2kx2kx1tan121tan13nπE1yE1cos(kxx)e和

jz （3.1-11a）

E1yE1sin(kxx)e式中

12tan1jz （3.1-11b）

3kx2kx12tan1

这时（3.1-11a）式所给出的场解对应（3.1-10a）式中的m取偶数，而（3.1-11b）式给出的场解对应（3.1-10a）中的m取奇数。

（3.1-10a）式成为均匀薄模波导的特征方程，将它和（3.1-6）式中的三个方程联立求解，即可求得场量的四个特征参量kx,a2,a3,。有时也把这四个方程统称为特征方程。求出kx,2和3以后即可由（3.1-10b）式求得，从而得到TE模的场量。

在方程（3.1-10a）式中，m从零开始每取定一个值，都可解的一组kx,2,3,,值。将其代进（3.1-5）式和（3.1-7）式即可得到一组电磁场量，场量的幅度值E1,E2,E3由激励条件及边界条件（3.1-8）式决定。我们称由这一组电磁场量所构成的电磁波为一个沿z方向传播的TE电磁场模式。由于（3.1-10a）式中的每一个m值都对应着一个TE模式，所以将其记为TEm模，脚标m即为（3.1-10a）式中的m值。稍后我们将看到模式序号m的物理含义。

3.1.2 TM模

采用类似的方法，可以求得（3.1-3）式在波导中的解，也就是TM模式的电磁场分量，其横向磁场Hy的表达式为

cos(kxx)H1yH1ejz

|x|a （3.1-12a）

sin(kxx)H2yH2ea2(xa)

xa （3.1-12b）

H3yH3ea3(xa)

xa （3.1-12c）

式中kx，a2，a3，与各层介质折射率的关系仍由（3.1-6）式给出。

利用（3.1-3）式还可求得各区域的电场分量E1x,E2x,E3x及E1z,E2z,E3z，并利用xa面上的电磁场边界条件，推得TM模式的特征方程为

kxdtan12tan12n122kxn2tan1213n122kxn3mπ （3.1-13a）

（3.1-13b）

12n122kxn2tan13n122kxn3式中m=0,1,2,。

与TE模类似，在（3.1-12a）式中取上面的函数cos(kxx)时，m取偶数，取下面的函数sin(kxx)时，m取奇数。每取定一个m值，可以将（3.1-13a）与（3.1-6）式联立解得一组TM场解，我们称为一个TM模式，记为TMm模。

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3.1.3 传播模和辐射模

在特征方程（3.1-10a）式和（3.1-13a）式中，模式序数m都可以取0,1,2,…等一系列的整数。这就意味着在波导中存在一系列的TE模和TM模，但并不是m取任何整数所对应的模式都可以在波导中传播。如果特征参量2和3都是正实数，则衬底和敷层中的场随离开芯层表面的距离按指数规律迅速衰减。在2和3都是正实数的条件下，z方向的相位常数必是正实数，这表明场量在z轴方向呈无衰减的正弦行波特性。满足这些条件时，我们就称这样的模式为传播模式或导波模式。如果2和3中有一个是虚数，或者两个都是虚数，则衬底或敷层中的场在x轴方向将呈行波特性，这就是说电磁波能量在向z轴方向传播的同时又在衬底或敷层中形成沿x轴方向的辐射。显然这样的模式不可能沿z轴方向长距离传播，这种模式就称为辐射模式。

由（3.1-6）式可以看到：

222222

a22k0n2•，a32k0n3 如果n2

> n3，在同样的β，k0值条件下，首先是a2可能成为虚数，即首先出现衬底辐射。而β,a2,a3都是正实数的条件则是

k0n2k0n1 （3.1-14）

这就是传播模式或导波模式相位常数的取值范围。这与用几何光学理论得到的束缚光线条件

n2k0n1

是完全一致的。如果即辐射条件为

k0n2，由（3.1-6）式可以看到a2成为虚数，这时电磁场即成为辐射模。0k0n2 （3.1-15）

需要说明的是，对辐射模，β可以在（3.1-6）式范围内连续取值，即辐射模谱是连续的。导波模的β在（3.1-14）式所规定的范围内只能取离散的值，（3.1-10a）0,1,2,等脚标对应特征程式和（3.1-13a）式中的m的取值，即传播模或导波模谱是离散的。

后面我们将看到，在波导结构参量a,n1,n2,n3和工作波长 = 2 / k0确定的条件下，一个序号为m的模式能否传播将完全取决于m的大小。m较小的模式称为低阶模， m较大的模式称为高阶模。在确定的波导中，低阶模容易满足传播条件而高阶模则往往不能传播。假设在一个确定的波导中有m个TE模和m´个TM模满足传播条件，则波导中的电磁波总可以表示为

mmlTElEaEl1bEll1TMl[a()E0k0n2TEb()ETM]d （3.1-16）

上式表明，波导中的任何可以存在的电磁场总可以表示为若干个TE模式和TM模式以及具有连续谱的辐射模的叠加。当然不排除展开式中的al, b1,

a（β）, b（β）中某些展开系数为零。例如在单模波导中，除了在激励端可能存在多个模式以外，在稳定状态下就只有一个模式，即（3.1-16）式中只有一个最低阶模的系数不为零。

3.1.4截止参数

如果波导中某个模式开始出现衬底辐射，我们称这个模式截止。显然，某个模式截止的条件

2a2222k0n20

即

k0n2

将上述截止条件代入（3.1-6）式，可得截止状态的其它特征参数

kxk02n12n2•;•a3k022n2n3

将其代入TE模式的特征方程（3.1-10a）式，可得截止状态时的特征方程

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k0221n1n22amπtan22n2n32n12n2

注意到k02π，将某个模式截止时的波长记为•c，则TEm模的截止波长为

c24πan12n21mπtan2n22n32n12n2 （3.1-17）

显然，当m0时，也就是TE0模式，其截止波长是最长的，其值为

c(TE0)24πan12n21tan2n22n32n12n2 （3.1-18）

将截止条件20,•k0n2，代入TM模的特征方程（3.1-13a）式，得到

2n2k0n122amπtan1(n1)2n322n2n32n12n2

TMm模的截止波长则为

c24πan12n2n1mπtan1()2n32n22n32n12n2 （3.1-19）

TM0模的截止波长则为

c(TM0)24πan12n2n11tan()2n32n22n32n12n2 （3.1-20）

比较（3.1-20）式和（3.1-18）式，由于n1n3，所以必有

c(TE0)c(TM0) （3.1-21）

这说明TE0模是截止波长最长，或截止频率最低的模式。在波导理论中，称截止波长最长的模式为波导中的主模式。这就是说，对于衬底和敷层折射率不同的非对称薄膜波导，其主模式为TE0模。如果n2

= n3，即衬底和敷层为同一种介质构成，则TE0模和TM0模的截止波长都是无限长，即它们不截止，同为波导的主模。

从（3.1-17）式和（3.1-19）式可以看到，当波导的结构参量a,

n1,

n2,

n3确定以后，每一个TE模和TM模的截止波长是完全确定的。不同的模式截止波长不同，模式序号m越大，截止波长越短，或者说截止频率越高。只有工作波长λ比截止波长λ

c短的那些模式才可能在波导中传播。这是因为当工作波长λ刚好与截止波长λc相等时，a2

= 0，而当λ < λ

c时，意味着k0增大，从（3.1-6）222式可以看出将增大，从而满足a22k0n20的条件，波在衬底和敷层中按离开界面的距离呈222指数衰减的特性。反之，如果λ > λ

c，则a22k0n20，该模式将成为辐射模。

3.1.5 单模传输和模数量

由上面的讨论，可以得到这样的结论，如果工作波长λ比主模式（TE0模）的截止波长要短，但比次最低阶模式（截止波长仅比主模式短，但比其余所有模式的截止波长要长）的截止波长要长，则在此波导中只有主模才能传播，其余所有的模式都是截止的。这就是波导中的单模传输条件。单模传输是波导理论中的一个极为重要的概念。对于n2 ≠ n3的非对称薄膜波导，主模式为TE0模，而次最低阶模是TM0模。因而非对称薄膜波导中严格的单模传输条件为

c(TM0)c(TE0) （3.1-22）

实际的光波导n1,

n2,

n3相差不大，因而λ

（ TE0

）与λ

（ TM0

）的差别也不会太大，严格满足（3.l-22）式的条件将导致单模传输的频带很窄，因而并无太大的意义。在工程实际中，可以

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认为TE0模和TM0模的截止波长近似相等,而将单模传输条件放宽为

c(TE1)c(TE0) （3.1-23）

此种条件下TE0模和TM0模都可以传播。

对于给定的波导，如果工作波长λ缩短，则波导中可以传播的模式数量将增加。如果波导中有多个模式可以传播，则估算波导中可传播的模式数量是必要的。波导中可以传播的模式数量可以从截止时的特征方程，及传播条件λ < λ

C得到。对TE模.由

•24πan12n22n21mπtan2n32n12n2

可以看到，可传播的TE模的模式序号 m 必须满足

m4a2n12n21tanπ122n2n32n12n2 （3.1-24a）

对于TM模，则其模式序号 m′ 应满足

m4an122n21πta1(nn1)2n222n2n3

2n12n2 （3.1-24b）

假设上两式右边的式子计算出的数字的整数部分为m和m′，则波导中，TE0, TE1,

…,TEm-1, 和TM0,

TM1,

…, TMm′-1, TMm′等模式都可以传播，因而可以传播的模式总量为

Mmm2 （3.1-25a）

（3.1-25b）

作为一粗略的估计，一个多模传播的光波导中传播的模式总量为

M8an11n222对于结构参数a,

n1,

n2,

n3确定的波导，可传播的模式数近似与工作波长成反比。在工作波长确定的条件下（光通信系统中工作波长一般为0. 85μm, 1.31

μm或1.55μm），传播模数量主要决定于波导的厚度和芯层衬底折射率差。波导越厚，折射率差越大，则可传播的模数量就越多。

3.1.8 对称薄膜波导

如果衬底和敷层由同一种介质构成，从而n2

= n3，则称这种波导为对称薄膜波导。由于波导的结构相对于x = 0的平面是对称的，必然有a3

= a2

= a，因而其TE模和TM模场量表达式中的初相位因子φ

= 0，π/2。所有各模式场量必然对x = 0平面呈偶对称或奇对称两种对称分布，以TE模的Ey分量为例，其场量表达式分别为

偶对称分布

E1yE1coskxxeE2yjzE2e(xa)ejz(xa)ejzE2e|x|x

x|x| （3.1-30a）

奇对称分布

E1yE1sinkxxeE2yjzE2e(xa)ejz(xa)ejzE2ex

x （3.1-30b）

利用x = +a面上的边界条件，可以得到上面两种分布所对应的特征方程分别为（见3.1-9式）

偶对称

tankxa奇对称

cotkxa（3.1-31）式又可以写成

kx （3.1-31a）

（3.1-31b）

kx第20页/共21页

kxatan1kxpπ

12)π

1kxatankx(p

式中p = 0, 1, 2,…，将这两个表达式合并起来，可得

kxd2tan1kxmπ （3.1-32）

式中m = 0, 1, 2,…，d = 2a是波导芯层厚度。（3.1-32）实际上就是（3.1-10a）式中取a2

= a3

= a所得的结果。

采用类似的方法可得TM膜的特征方程

1n2n2k）kxd2tan（12xmπ （3.1-33）

式中m = 0, 1, 2,…。

薄膜波导的特征方程都是超越方程，一般只能用数值方法求解。对称波导的特征方程可以用图解法求得近似解。下面以TE模特征方程（3.1-31）式为例，说明求解过程。

222a(n12n2)。于是可以将（3.1-31）式改写成令Ukxa,Wa•，U2W2V2k0UtanUW

Utan(Uπ2)W

或者

UtanU(VUtan(Uπ22U2)122)(VU2)12

tanU以U为横轴，W为纵轴作上面两个方程的图线。方程左边为U边则是以坐标原点为中心，以V和Utan(U方程右π/2)的曲线，22212k0a(n12n2)为半径的圆。特征方程的解则是左边的曲线族与右边的圆的交点，如图3-6所示。图3-6表明，波导中可传播的模数量完全由参数V，也就是图中的圆的半径决定。由前面的定义

222222 （3.1-34）

V2kxa2a2U2W2k0a(n1n2)可以看到，V由波导结构参量a,n1,n2和工作波长2πk0完全决定，它与波的频率成正比，是个无量纲的量，称为波导的归一化频率。归一化频率V越大，由特征方程右边所作出的圆的半径就越大，它与左边的曲线族交点就越多，可以传播的模式也就越多。

波导的截止参数可以由（3.1-17）式和（3.1--19）式中令n2

= n3直接得到，TEm模和TMm

模的截止波长都为

c24an12n2m （3.1-35）

截止参数也可以从图3-6中得到，显然对于某一个TEm模式，它可以传播的条件是归一化频率V必须大于mπ2。否则半径为V的圆与相应的UtanU或Utan(Uπ/2)曲线没有交点。也就是说，可以将TEm模的截止条件确定为

图3-6 对称薄膜波导特征方程的图解法

Vcmπ2

（3.1-36）

式中m = 0, 1, 2,…，Vc即为TEm模的归一化截止频率。显然，（3.1-36）与（4.1-35）式是完全等价的。

TEm模和TMm模有相同的截止参数，但其电磁场结构是不相同的。像这样具有相同截止参数但不同的电磁场结构的模式称为简并模，除了TEm模和TMm模简并以外，对称波导的另一个特点

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是其主模式TE0模的截止波长c，这说明TE0模和TM0模不截止，它们可以以任意低的频率在波导中传播，只是当频率很低时，电磁波能量将不能很好地集中于波导芯层中。对称波导中的212，所以对称波导中TE模和TM模次最低阶模是TE1模和TM1模，其截止波长c4a(n12n2)00单模传输条件是

24an12n2 （3.1-37a）

或者用归一化频率表示为

0Vπ2 （3.1-37b）

第四章光纤的模式理论分析

4.1 光纤中的电磁场方程

光纤是圆柱状的介质光波导，所以采用以光纤中心轴为z轴的圆柱坐标系来定量描述其结构及传输特性。在圆柱坐标系中光纤的横截面结构如图4－1所示。在圆柱坐标系中，光纤纤芯半径为a，折射率为n1。包层内半径为a，外半径为b，折射率为n2。包层外面的护套对波的传播不产生影响，所以未画出。为了改进光纤的传输特性，一些新型光纤往往采用多包层结构，即包层由折射率分别为n1，n2，n3，„„的多个子层构成。实际使用的光纤纤芯折射率n1往往是渐变的，在圆柱坐标系（r，，z）中，光纤横截面内的折射率分布可以写成

n1r,ranrn2n1ra,ra

（4.1－1）

在圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成如下三个分矢量之和，即

EerEreEezEz （4.1－2a）

HerHreHezHz

（4.1－2b）

在圆柱坐标系中将横向拉普拉斯算符展开，可得

1Er1Ez22knr202rrrr2

图4－1 光纤的横截面及分析光纤所取的坐标系

2E2z0

（4.1－3a）

1Hr1Hz22knr202rrrr2Hz0 （4.1－3b）

将纤芯折射率n1和包层折射率n2分别代进（4.1－3）式，即可求得纤芯和包层中的纵向场分量Ez和Hz。

4.2 阶跃光纤的严格解——矢量模解

4.2.1 阶跃光纤的电磁场解

（4.2－20）式和（4.2－21）式所表示的电磁波成为光纤中的导波的条件是U和W都是正实数，以保证电磁场量在纤芯中沿半径方向呈驻波分布，在包层中呈表面波分布。由（5.2－18）式和（4.2－18）式易于看到U和W为正实数的条件是

k0n2k0n1 （4.2－22）

如果上述条件不满足，将会由W20，包层中的场将成为辐射场，导波也就截止了。因此我们将k0n2，W0，UV作为一个导波模截止的临界点。

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4.2.2 导波模的特征方程

4.2.3 导波模分类

波导中的一个电磁场模式是指一个满足电磁场方程和边界条件的电磁场结构。这样的一个电磁场结构可以独立存在于波导中，也可以是一个复杂的电磁场结构的组成部分。如上所述，根据方程（4.2－29）式中m0和m0，可以将波导中的导波模式分成TE模、TM模、EH模、HE模等几大类。

1．TE模和TM模

TE模就是纵向电场Ez0的电磁场模式。这就要求（4.2－20）式中的常数A＝0。从边界条件（4.2－23b）式可以得到

mB显然0，1U21U2102W

1W20，B也不能为零，因为B再为零就没有电磁场存在了，欲使上式成立就只有m0了。这就是说只有m0时TE模才能存在。由（4.2－23a）式或在（4.2－29）式中取m0，就得到

UJ0UJ0UWK0WK0W0 （4.2－30）

这就是TE模式的特征方程。利用贝塞尔函数的递推公式

UJ1U

J0WK1W

K0可以将（2－30）式写成

J1UUJ0UK1WWK0W0 （4.2－31）

这是TE模特征方程的常见形式。

对于TM模，必须Hz0，也就是（2－20）式中的常数B0，这同样导致m0才能满足边界条件。由于B0，从（4.2－23b）式可以得到

n2K1WUJ0Un1K0WJ1U20 （4.2－32）

这个方程就是介质波导中TM模的特征方程。对于弱导光纤n2/n11，则（4.2－32）式与（4.2－31）式一致。在弱导条件下，（4.2－31）式为TE模和TM模共同的特征方程，也就是（4.2－29）式在m0时的特例。

m0，意味着场量不是的函数，即场分量在光纤中呈轴对称分布。也就是说，只有场结构呈轴对称分布的电磁波，才有可能在光纤或介质波导中以TE波或TM波的形式存在。

2．EH模和HE模

如果m0，场量沿圆周围方向按cosm或sinm函数分布，要使边界条件得到满足，则A和都不能为零，即电磁波的纵向场分量Ez0，Hz0。也就是说，光纤中的非轴对称场不可能是单独的TE场或单独的TM场。Ez和Hz同时存在的电磁场模式称为混合模。

m0时方程（4.2－28）式和（4.2－29）式在同一m值下，有两组不同的解，对应着两类不同的模式。在弱导条件下，方程（4.2－29）式右边取正号时所解得的一组模式称为EH模，而（4.2－29）式右边取负号时所解得的一组模式称为HE模。

根据上面的分类，弱导条件下，光纤中EH模和HE模的特征方程分别为

BEH模

UJmUJmUWKmWKmW11m2

2UW

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HE模

UJmUJmUWKmWKmW11m2

2UW利用贝塞尔函数的递推公式，可以将上面两式中贝塞尔函数及变态贝塞尔函数的导函数用同一阶或高一阶（或第一阶）的函数表示，即

U

JmmUmWKmKmWKm1WWJmUJm1UmUmWJmUJm1U



KmWKm1W将其代入前面的EH模和HE模的特征方程，可以将其化简为

Km1W0 （4.2－33）

UJmUWKmWUKm1WJ HE模

m10 （4.2－34）

UJmUWKmW EH模

在（4.2－33）式和（4.2－34）式中，如果令m0，并注意到

J1UJ1U，K1WK1W

则（2－33）式和（2－34）式都可以写成

J1UUJ0Jm1UUK1WWK0W0

这就是弱导条件下的TE模和TM模的特征方程（4.2－31）式。也就是说，在弱导条件下，TE模和TM模可以看成是EH模和HE模的特例。

如果回到精确的特征方程（4.2－28）式，仍然定义式中右端取正号为介质波导的EH模特征方程，取负号为HE模特征方程。则在m0时，将由EH模特征方程得到TM模特征方程（4.2－32）式，由HE模特征方程得到TE模特征方程（4.2－31）式。因而可以进一步认为，TE模是HE模在轴对称情形下的特例，而TM模则是EH模在轴对称情形下的特例。在微波技术中又将TM模称为E模，TE模称为H模，这是因为前者在纵向有电场E的分量，后者在纵向有磁场H的分量。从以上分析可以看到，将混和模区分为EH模和HE模的根据，即将与H模相联系的混和模用HE模表示，将与E模相联系的混和模用EH模表示。

有关光纤中的TE模，TM模和混合模，如果用射线理论和本地平面波理论解释．则TE模和TM模由光纤中传播的子午光线形成；而混合模HE模和EH模则由偏斜光线形成。进一步，由水平偏振的子午线形成TE模，而垂直偏振的子午光线则形成TM模。这是因为子午光线的路径是平面折线，它们在光纤纤芯与包层的界面上反射时，横向场分量不改变方向，水平偏振波的电场总在与Z轴垂直的方向上，而垂直偏振波的磁场总在与Z轴垂直的方向上，因而子午光线形成了光纤中的TE模和TM模。这种情形如图所示。偏斜光线的路径是空间折线，纤芯包层分界面上的不同反射点的法线方向不一致，因而每一次反射不管光线的初始偏振状态如何，都有可能产生Z方向的电场和磁场。因而偏斜光线只能形成光纤中的混合模。

4.2.4 导波模的截止参数和单模传输条件

一个导波模式场的横向分布特点用m、U、W确定，纵向传播特性则由确定。参数m确定场量沿角方向场的分布规律，U确定纤芯内场沿半径方向的分布规律，W则决定场量在包层中沿半径方向衰减的快慢程度。m、U、W之间的关系由（4.2－18）式给出，只要由特征方程解出其中的一个，其他两个便可由（4.2－28）式求出，导波模的特性也就完全确定了。

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一个导波模沿z方向无衰减传播（忽略材料自身的吸收损耗）的条件是m、W都是正实数。如前所述，W为正实数时，包层中的电磁场沿半径方向几乎是按指数规律快速衰减，W越大，衰减越快，电磁能量就越集中在纤芯中。反之W越小，就有越多的电磁能量向包层中弥散。如果2W0，则包层中的场将用汉克尔函数描述，成为沿径向辐射的模式，这就是介质天线的情形。如果W20，则恰好成为一个模式是导波模还是辐射模的临界点。我们将W0条件下求得的纤芯内的归一化径向相位常数U记为Uc，此时的归一化频率则记为Vc。Uc、Vc即为导波的截止参数。显然在截止点有

或

VcUc （4.2－35）

下面从各类模式的特征方程出发，分别讨论它们的截止特性。

模和TE模

TM模和TE模的特征方程为

VcUcWcUc2222J1UUJU0K1WWKW0 （4.2－36）

在W0时各阶第二类变态贝塞尔函数都是发散的，因而难以从（2－36）式直接得到TM模和TE模的截止参数。从K1W和K0W在W0时的渐近式出发，可以得到有意义的结果。

由（4.2－14）式，在W0时有

K0Wln

K1WJ1UcUcJ0Uc1W2W



1W2于是在截止状态下，特征方程（4.2－36）成为

K1WWKW0ln2W

欲使上式成立，则应有

UcJ0Uc0

这有两种可能，即Uc0和J0Uc0。但Uc0时，J1UcJ1Uc/UcJ0Uc12Uc2，J0Uc1，，不满足上面的关系，因而TM模和TE模在截止时的特征方程应为

J0Uc0 （4.2－37）

上式说明，截止状态时的归一化截止频率Uc及Vc是零阶贝塞尔函数的零点，即

UcVcu0n

n1，2，3，„ （4.2－38）

式中的u0n是零阶贝塞尔函数的第n个零点。各阶贝塞尔函数都有无限多个零点或根。零阶贝塞尔函数的头几个根为

u0n＝2.405，5.520，8.654。„

以上每一个u0n值都对应这一个TM模和一个TE模，分别记为TE0n模和TM模和TM0n模的归一化截止频率为u0n。

0n模。这就是说，TE0n 电磁波在光纤中传播时，如果工作波长，光纤的结构参数a、n1、n2都是确定的，则其归一化频率Vk0n1a2是一个完全确定的数。如果V大于某个模式的归一化截止频率Vc，则必有2W0，该模式可以在光纤中传播。反之，如果V小于某个模式的归一化截止频率Vc，则W20，该模式截止，成为辐射模。也就是说，光纤中任意一个模式的传播条件是

VVc序号相同的TE0n模和TM

0n2ann211222 （4.2－39）

0n模，有相同的截止参数，我们称TE0n模和TM模为一对简并模。在所第25页/共26页

有TE0n模和TM最长的，为

0n模中，TE01模和TM01模的归一化截止频率是最低的，为2.405，其截止波长c是22

cTE01,TM012a2.405n21n12222.613an1n2 （4.2－40）

例如，某光纤a4.0m，0.003，纤芯折射率n11.48，则TE01模和TM这就是说，如果此光纤中传播的光波长1.31m，则TE01模和TMc1.20m。如果工作波长为0.85m，则TE01模和TM2．EH模

EH模的特征方程为

010101模的截止波长模都不能传播。模可以传播。

UJmUJm1UKm1WWKm1

Wm将W0时KmW的渐近式（2－14d）式代入，可以得到上面的特征方程的右端为

2m!W2mW22Wm1!Wm

由此可以得到EH模在截止状态时，其特征方程应为

Jm1UcUcJmUc

也就是

UcJmUc0

其中Uc0应舍弃，推导同上面章节，所以在截止状态，EH模的特征方程只能为

JmUc0 （4.2－41）

截止参数Uc或归一化截止频率Vc是m阶贝塞尔函数的根，即

m1，2，3，„

n1，2，3，„ （4.2－42）

式中m是贝塞尔函数的阶数，n是m阶贝塞尔函数根的序数。由m阶贝塞尔函数的第n个根所确定的EH模称为EHmn模。

几个低阶贝塞尔函数JmU的头几个根列在表4.1中。

UcVcumn表4.1

JmU的第n个根umm

0 1 2

2.40483

5.52008

8.65373

11.79153

14.93092

3.83171

7.01559

10.17347

13.32369

16.47063

5.13562

8.41724

11.61984

14.79595

17.95982

6.38016

9.76102

13.01520

16.22347

19.40942

在EHmn模序列中，EH11

模的归一化频率是最小的，其值为

UcVc3.832

EH11模的截止波长在EHmn模序列中是最长的，其值为

c

2a3.832n1n21.640an1n22222 （4.2－43）

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3．HE模

HE模的特征方程为

UJmUJm1UKm1WWK

WmW0时特征方程的右端的渐近特性应分为m1和m2两种情形讨论。

当m1时，将K0W和KmW的渐近式（4.2－14c）式和（4.2－14d）式代入特征方程右端，得到

W0UJ1UJ0Uln2/W12W2Wln2WW0

这就是说m1时，HE模在截止状态下的特征方程为

UcJ1Uc0 （4.2－44）

方程（4.2－44）式的解为Uc0和一阶贝塞尔函数的根U1n。由于U0时，J0U1，所以Uc0也是特征方程在W0时的一个解。以0和U1n为归一化截止频率的HE模，记为HE1n。为了将Vc0的模作为第一个HE1n模即HE11模，HE1n模的截止参数则为

UcVc0，u1,n10，3.832，7.016 （4.2－45）

比较（4.2－42）式和（4.2－45）式，可以发现HE1，n+1模和HE1n模具有相同的归一化截止频率，所以HE1，n+1模和HE1n模是简并模。

需要特别指出的是HE11模，其归一化截止频率

UcVc0

截止波长

cHE11 （4.2－46）

这是一个重要的结论，也就是说HE11模不截止，它可以以任意低的频率在光纤中传播，是介质波导和光纤的主模。HE11模的截止波长cHE11，这个结论仅是一个理想的极限。如果工作波长过长，则HE11模的能量将向包层中转移，传输损耗将加大，因而太低频率的波以HE11模传输是十分困难的。

如果m2，将KmW的渐近式（4.2－14d）式代入特征方程右边，可得到

Km1WWKW01

W2m1m 而特征方程左边则可用贝塞尔函数的递推公式的降价形式

2(m1)Jm1UUJm2UUJmU

将其简化为

UJmUJm1U2(m1)JmUJm2U12(m1)12(m1)

由此得到HE模（m2）在截止状态时的特征方程为

Jm2Uc0 （4.2－47）

也就是说，对m2的HE模，其归一化截止频率为

UcVcum2,n （4.2－48）

式中m2、3、4„，n＝1、2、3。与（4.2－3）式比较，可以看到HE2n模与TE0n模、TM0n模具有相同的截止参数，它们是简并模。

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表4.2. 较低阶的模式组及其归一化截止频率

模式组

HE11

TE01，TM01，HE21

EH11，HE31，HE12

EH21，HE41

TE02，TM02，HE22

EH31，HE51

EH12，HE32，HE13

EH41，HE61

2.405

3.832

5.136

5.520

6.380

7.016

7.588

模式组

2×1=2

1＋1＋1×2=4

2×1＋2×1＋2×1=6

2×1＋2×1=4

1×1＋1×1＋2×1=4

2×1＋2×1=4

2×1＋2×1＋2×1=6

2×1＋2×1=4

大题从表4.2中可以看到，光纤中的主模HE11模，其归一化截止频率为零。次最低阶模为TE01模、TM01模和HE21模，其归一化截止频率为2.405。如果适当设计光纤，度选择工作波长，使得归一化工作频率

0V2.045

（4.2－49）

则TE01、TM01、HE21模及所有的高阶模都被截止，只有HE11模可以传播。这就是光纤中所谓单模传播条件。由于归一化频率Vk0ann212212k0n1a2Δ，所以可以将单模传播条件表示为

2.613n1a2ΔcTE01,TM01 （4.2－50）

4.3 阶跃光纤中的线偏振模

如前所述，通信中使用的光纤都是所谓弱导光纤。纤芯和包层的相对折射率差总满足如下条件：

n1n22n1222n1n2n1n1n2n21 （4.3－1）

在弱导条件下，光纤传播的导波尽管仍可以区分为TE0n、TM0n、EHmn、HEmn等各类模式，但可以证明所有这些模式的纵向场分量比其横向场分量要小得多。也就是说，弱导光纤中传播的电磁波其横向电磁场占主导地位，而且一经激励起来在传播过程中其偏振状态保持不变。这种状态可以用本地平面波的反射机理得到解释。由于1，只有几乎与光纤轴平行的光线才能满足边界面上的全反射条件。这种情形下的平面波，不管是垂直偏振的，还是水平偏振的，其电场和磁场几乎与z轴垂直，无论是子午射线，还是偏振射线，经反射尽管有可能产生电磁场的z向分量，但z向分量总是很小的。由于沿传播方向的电场及磁场分量与横向分量相比极小，但又不等于零，所以可以认为这种形态的波接近于TEM波，可以称为准TEM波。这种波的横向电场和横向磁场之比近似为介质的波阻抗，即

EtHtZc0Z0n （4.3－2）

式中脚标“t”表示横向分量，Z00/0是自由空间的波阻抗，是个物理常数，约等于377。由于波在传播过程中保持其偏振状态不变，所以总可以选取一个直角坐标系，使场矢量与坐标轴方向一致，这样一来，可以使问题大为简化。由于电磁波在传播过程始终保持场矢量取向不变，则这种电磁波称为线偏振波，或者称为线偏振模，又称LP模。

TE0n、TM0n和ME2n模则与LP1n模一样。一般情形下HEm+1，n模、EHm-1，n模与LPmn模（m2）的特征参数一样。考查矢量模的场分量，可以发现HEmn模和EHmn模都是圆偏振波，而且旋向相反、我们知道两个幅度相等旋向相反，以相同的相速度同向传播的同频率圆偏振波合成一个线偏振波。因而可以在矢量模与线偏振模之间建立如下的对应关系：

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