矩法估计的分析及应用

2024年3月6日发(作者：尿毒症治疗)

矩法估计的分析及应用

金融数学10本 黄小听 17

摘要：矩法估计就是根据子样所提供的信息，对母体的分布或分布的数字特征等作出合理的统计推断的一种方法。它不仅在数学领域应用广泛，对于解决实际问题(比如预测股市行情，教育统计学等），也有很大的用途。

关键字：矩法估计；应用；评选标准；优缺点

一 什么是矩法估计

对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，母体的各阶矩一般与的分布中所含的未知参数有关，有的甚至就等于未知参数。由辛钦大数定律知，简单随机子样的子样原点矩依概率收敛于相应的母体原点矩Er,r = 1,2，…。这就启发我们想到用子样矩替换母体矩（替换原则），进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的。

二 矩法估计的理论依据

由辛钦大数定律知：

即对任意

或

，有

…

三 如何求解矩法估计

设母体具有已知类型的概率函数f(x;1,2,,n)，

(1，2，…，k)∈

1，是k个未知参数。…，n是取自母体的一个子样，假设的k阶矩k=Ek存在，显然j，j

j1nj=i。

ni1

j(1，2，…，n)=，j=1,2, …，k （＊）

j得到含k个未知数1，2，…，k的k个方程式，解这k个联立方程组就可以得到1，2，…，k的一组解：

ˆi=ˆi（1，2，…，n），i=1,2, …，k

用（＊）中的解ˆi估计参数i就是矩法估计。

由于ˆi是1，2，…，n子样的函数，所以ˆi是统计量。

(在数理统计中，我们一般用表示的估计量。)

四 矩法估计在解决数学问题与实际问题上的应用

例1： 母体均值E与方差D为矩法估计。

解 ：设1，2，…，n是母体的子样。母体具有均值E和方差

D=E2-（E)2

按照（＊）式得方程式组

1= E=

2= E2=（E)2+ D=

2 解这一方程组得E和D的矩法估计

1nˆEi

ni1

Dˆ2()2

1n =(i)

ni1 =Sn

例2: 已知大学生英语四级考试成绩~N(μ,σ2)，均值μ,方差σ2均未知，

221,…,n为取自母体的一个子样，(x1,…,xn)是子样的一组观测值,求μ与σ2的

矩法估计。

解：注意到有两个未知参数，由矩法估计知需两个方程，按照(＊)式得方程组

22ˆ=，ˆ2=() 解这一方程组得μ与σ的矩法估计量分析：注意到我们这里求出μ与σ2的矩法估计未用到母体的分布。这样对μ,σ2作出了估计，也就对整个母体分布作出了推断，进而对大学生英语四级考试成绩相关的其它数字特征（如标准分、标准差、偏态系数等）作出了估计。

矩法估计还有很多其他实际应用，如根据几天前的交易数据估计当天的股市行情、根据随机抽样的结果估计生产线上螺丝钉的合格率、教育统计学等。

五 估计量的评选标准

1.一致估计

ˆ=ˆ（1，2，定义：设母体具有概率函数f(x;)，∈为未知参数。…，nnn）为的一个估计量，n为子样容量。若对任意>0，式

limPnˆ0

ˆ为参数的一致估计。 成立，则称n是母体均值E的一个一致估计，r是的Er一个一致估计，子样方差Sn是母体方差D的一致估计。

2.无偏估计

2

估计的一致性是大子样所呈现的性质，当子样容量不大时，估计的这种性质就不存在。现在给出另一种对任何子样容量都适用的评价估计量的准则，没有系统偏差的性质在统计学上称作无偏性，显然它可以作为衡量一个估计量好坏的另一准则。

ˆ=ˆ（2，…，）为母体的概率函数定义： 设nf(x;):的未知参数的一个估计量。若对一切∈，关系式

ˆ(，

E[1,n)]=0

ˆ(，成立。则称1,n)为的无偏估计，否则称为有偏的。

显然，子样均值是母体E的无偏估计，子样原点矩是母体原点矩Ek的无偏估计，子样方差Sn不是母体方差D的无偏估计。一般地，二阶或二阶以上的子样中心矩就不是母体中心矩的无偏估计。

若我们取

S2n=n12n()SE=

in1i1n1k22n作为母体方差D的估计，则有

2 ESn=nn12nSEn= D= D

n1nn12S由此推出n是母体方差D的无偏估计。

2ˆ是参数，…，的无偏估ˆ，…，S从n不是D的无偏估计也可看出，若1kk1ˆ,,ˆ)并不一定是(1,,k)的无偏估计。 计，函数(1kˆ是参数由有偏估计Sn修改成无偏估计Sn是一种常用的方法，一般说来，如果22ˆ=a+b，这里a、b是常数（b0）的有偏估计，并且E，于是我们能构造的一个ˆ=无偏估计ab。

ˆ不一定无偏，但当n时，Eˆ,则称ˆ为的渐近无偏若的一个估计估计。

显然，子样方差S3.有效估计

2n1n2=(i)是母体方差的一个渐近无偏估计。

ni1ˆˆˆˆ定义：设11(X1,,Xn)和22(X1,,Xn)都是参数,的无偏估计量，

若对任意，

上式中的不等号成立，则称

ˆ1 较

ˆ2 有效。

ˆˆ D(

1 ) ≤D(

2 )

且至少对于某个六 矩法估计的优缺点

矩法估计原理简单、使用方便，使用时可以不知母体的分布，而且具有一定的优良性质（如矩估计为E的一致最小方差无偏估计），因此在实际问题，特别是在教育统计问题中被广泛使用。

但在寻找参数的矩法估计量时，对母体原点矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母体的一些数字特征，并未用到母体的分布，因此矩法估计量实际上只集中了母体的部分信息，这样它在体现母体分布特征上往往性质较差，只有在样本容量较大时，才能保障它的优良性,因而理论上讲，矩法估计是以大样本为应用对象的。

参考文献：

[1] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社.1983.

[2] 杨宗义.教育统计学[M].重庆：科技文献出版社重庆分社.1990.

[3] 克拉美H著.统计学教学方法.魏宗舒等译.上海：上海科学技术出版社．1966．