初一竞赛班第九讲综合除法与因式定理

2024年3月2日发(作者：观后感500字作文)

北京数学学校 初一年级讲义

综合除法、因式定理与待定系数法

1、如果多项式f(x) 除以多项式g(x)所得的商式为q(x)，余式为r(x)，则有

f(x)g(x)q(x)r(x)

其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)为常数。当r(x)0时，我们称f(x)能被g(x)整除。

2、余数定理：多项式f(x)除以xa所得的余数等于f(a)

3、因式定理：（1）如果是xa多项式f(x)的一个因式，那么f(a)0，反之亦然。

（2）如果整系数多项式f（x）=

an1nxan1xna1xa0有因式pxq（p、q是互质整数），那么p是首项系数an的约数，q是常数项a0的约数。

4、综合除法 多项式f(x)除以xa可以采用综合除法简化运算。

5、待定系数法的常见步骤：（1）先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，这通常需要知道问题的预定结构，否则恒等式列不出来，其中待定系数是整式中的系数；（2）根据恒等式的性质算出方程（组），通常是比较恒等式对应项的系数或对字母取特殊值；（3）解方程（组）求出各待定系数，或者从方程（且）中消去待定系数，找出原来那些已知系数间所存在的关系。

例1 用综合除法计算下列各题

（1）3x37x24x5x2

（2）x56x49x314x8x4

（3）3x450x212x4

（4）x415x210x24x2

（5）18x49x3x2x13x1

（6）6x45x32x2x42x1

（7）3a52a4b7a3b27a2b3b5ab

（8）x43x3y8x2y216xy324y4x2yx3y

例2 多项式f(x)2x3x2kx2能被2x12整除，求k的值。

例3 （1）把多项式f(x)x32x23x4表示成x1的降幂形式。

（2）把多项式f(x)x43x33x2表示成x1的降幂形式

（3）把多项式f(x)2(x2)3(x2)23x2表示成x2的降幂形式。

例4 分解因式

（1）x34x2x6 （2）x35x23x9；

（3）x32x25x6 （4）x36x211x6

（5）x319x30 （6）x4x37x2x6

（7）x42x39x22x8 （8）2x33x28x12

北京数学学校 初一年级讲义

（9）2x4x36x2x2 （10）9x43x37x23x2

（11）3x53x413x311x210x6 （12）(x1)(x2)(x3)678

例5 当y2my2除以y－1得商f(y)，余式为r21，当ymy2除以y+1得商g(y)，余式为r2，且r1r2，求m的值。

例6 如果x3ax2bx8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。

例7 分解因式：

（1）3x25xy2y2x9y4 （2）x4x34x23x5

（3）x4x3x22 （4）x42x327x244x7

（5）2x25xy3y23x5y2 （6）2x23xy2y25x5y3

（7）6x47x336x27x6 （8）4x44x313x26x9

例8 已知多项式x2axyby25xy6的一个因式是x+y－2，求a+b的值。

例9 判断x22xyy2xy4能不能分解成两个一次因式的乘积。并证明你的结论

例10 分解因式：

（1）(bc)(bc)2(ca)(ca)2(ab)(ab)2；

（2）xy(x2y2)yz(y2z2)zx(z2x2)

（3）bc(bc)ca(ca)ab(ab)3abc