最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式

2024年3月2日发(作者：母亲作文500字)

２００９年６月　Ｊｕｎｅ，２００９　运筹学学报　０Ｒ　ＴＲＡＮＳＡＣＴＩＯＮＳ　第１３卷第２期　Ｖ－０Ｉ．６　Ｎｏ．２　最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式　姚海祥　，ｚ李仲飞　摘要利用传统的均值－方差模型研究了具有最低投资比例约束时的证券投资组合问　题，首先得到了模型的前沿边界及有效边界存在的充要条件及其本质特征，然后根据这些　结论给出了确定其前沿边界及有效边界解析表达式的具体方法和步骤．该方法是一种解析　分析法，计算量比较小且几乎无误差，可以准确且快速的确定最低投资比例约束下证券组　合有效边界的解析式．最后作为结论的直接应用和说明，利用中国股票市场数据给出了一　个实例分析．　关键词运筹学，有效边界解析式，最低投资比例约束，有效指标集，二次凸规划　学科分类号（ＧＢ／Ｔ　１３７４５－９２）１１０．７４　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　Ｍｏｄｅｌ　ａｎｄ　Ｉｔｓ　Ｅｘｐｌｉｃｉｔ　Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　Ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ｗｉｔｈ　Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　Ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　Ｙａｏ　Ｈａｉｘｉａｎｇ　・。Ｌｉ　Ｚｈｏｎｇｆｅｉ　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｐｌｏｒｅｓ　ｔｈｅ　ｍｅａｎ．ｖａｒｉａｎｃｅ　ｍｏｄｅｌ　ｔｏ　ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃ．　ｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．Ｆｉｒｓｔ　ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｆｅａｔｕｒｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｍｅａｎ—ｖａｒｉａｎｃｅ　ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ａ　ｓｐｅｃｉｉｆｃ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ　ｔｏ　ｏｂｔ￣ｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｅｍｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ａｎｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅ１．Ｆｉｎａｌｌｙ．ａｓ　ａｎ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ａ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａ－　ｔｉｏｎ　ｏｆ　ｏｕｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ．ｗｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ａ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｄａｔａ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　ｓｔｏｃｋ　ｍａｒｋｅｔ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ　ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ｅｍｃｉｅｎｔ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ，ｍｉｎｉｍｕｍ　ｉｎ．　ｖｅｓｔｍｅｎｔ　ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｉｎｄｅｘｅｄ　ｓｅｔ，ｃｏｎｖｅｘ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ　．Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ（ＧＢ／Ｔ　１３７４５．９２）１１０．７４　１　引言　１９５２年Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ提出的均值一方差模型【１１２】开创了利用定量分析的方法研究现　代资产组合投资理论，被誉为金融领域的一场革命．　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ资产组合理论是帮助　投资者如何有效的将资金按一定的比例投资在不同的证券中，使得总体上尽可能的风　收稿日期：２００７年１０月１２日．　国家杰出青年科学基金（７０８２５００２），　国家自然科学基金（７０５１８００１），广东省自然科学基金　（８１５１０４２００１０００００５），广东高等院校学科建设专项资金和广东外语外贸大学校级科研团队（ＧＷ２００６．ＴＢ一００２）　资助项目．　１．中山大学岭南学院，广州５１０２７５；Ｌｉｎｇｎａｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｎ　Ｙａｔ—ｓｅｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０２７５，Ｃｈｉｎａ　２．广东外语外贸大学信息科学与技术学院，广州５１０００６；Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｆｏｒｅｉｇｎ　Ｓｔｕｄｉｅｓ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，Ｃｈｉｎａ　

１２０　姚海祥，李仲飞　１３卷　险小收益大．国内外很多学者在这基础上，提出了各种各样的带约束条件的投资组合　问题，例如文［２－５］等研究了不允许卖空时的投资组合问题，文［６—７］研究了安全第一　准则约束下的投资组合问题，文［８］研究了带机会约束下的投资组合问题．但现实证　券市场中，证券的交易数量通常是有限制的，例如：我国深沪证券市场股票正常交易　的最小数量是１００股，低于１００股的交易是不受理的（即有最低投资比例约束的）．而有　些国家证券虽然是允许卖空，但需要保证金作抵押，从而并不能无限量的卖空，即卖　空是有上界的（此时最低投资比例下界为负数）．以上的这些都可以归结为具有最低投　资比例约束时的证券投资组合问题，事实上不允许卖空的投资组合问题也可看成是具　有最低投资比例约束时（此时最低投资比例下界为０）的一种特殊情形．所以研究具有　最低投资比例约束时的证券投资组合问题具有更一般性，且有着重要的现实意义、理　论和应用价值．目前这方面的研究很少，文［９】研究了限制投资下界时的证券组合问　题，在一定的条件下得到了求解有效投资比例系数的算法，但并没有研究组合边界和　有效边界的性质特征及解析表达式的确定方法，而且需要特定的条件．　本文则取消所有条件的限制，利用传统的均值一方差模型研究了具有最低投资比　例约束时的证券组合问题，首先得到了模型的前沿边界及有效边界存在的充要条件及　其本质特征，证明了此时ｎ种风险资产组合的前沿边界及有效边界是由有限段抛物线　相互平稳联结而成的，并利用有效指标集的方法研究了这些抛物线段之间是如何过渡　和联系的，然后根据这些结论，给出了确定模型前沿边界及有效边界解析表达式的有　效指标集法．该方法是一种精确的解析分析法，计算量比较小且几乎没有误差，每次　能够确定其中一段抛物线的解析表达式及对应投资组合的解析式，从而可以精确且快　速的确定模型的前沿边界和有效边界的解析式．有利于我们对前沿边界及有效边界的　整体认识，对基金公司经理和个体投资者也有着重要的应用价值和指导意义．最后作　为结论的直接应用和说明，利用中国股票市场数据给出了一个实例分析．　２　模型的建立与预备结论　设市场上有ｎ种风险资产，其指标集为Ｓ＝｛１，２，…，ｎ），收益率为∈　，∈２，…，　，　期望向量和协方差矩阵分别为　＝（，“ｌ，Ｕ　，…，ｕ　）１’和∑（和大多文献一样，本文假定可　逆），投资组合（比例向量）为Ｗ＝（Ｗ　，Ｗｚ，…，Ｗ　）１’，　为各分量为１的礼维向量．设　组合收益率为　，　的期望和标准差分别为Ｕ，　．　则具有最低投资比例约束的种风险资产的均值一方差模型可由给定组合期望收益　率为７２的最优化问题（Ｍ１）得到：　ｌ　ｍｉｎ盯２＝ＷＴ∑Ｗ　‘Ｍ１）１　ｓ　Ｔ　：　；　Ｔ　：１；　≥ｄｔ，　∈ｓ　其中ｄｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）为任意常数，为保证最优化问题（Ｍ１）的约束集为非空，本文　扎　假定∑ｄｉ＜１．令　ｉ＝１　

２期　最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式　１２１　ｍｉｎ　＝（ａｒｉｎｕｉ）（１一∑ｄ。）＋∑ｄｓｕ　，ｍａｘｕ＝（ｍａｘｕｉ）（１一∑ｄｓ）ｌ＋∑ｄｓｕ　，　ｓ＝１　ｓ￣－Ｉ　‘　ｓ＝１　ｓ＝１　，●●，　●●　显然最优化问题（Ｍ１）最优解存在的充要条件是：ｍｉｎ¨≤Ｕ≤ｍａｘｕ，从而［ｍｉｎＵ，ｍａｘｕ］　即为前沿边界的定义域，有效边界则为前沿边界在“∈　ｎｉ　，ｍａｘｕ】的部分，其中乱ｎｍｉ　为具有最低投资比例约束时最小风险（方差）对应的期望．为研究最优化问题（Ｍ１），我　们先来研究一些辅助问题．　设　Ｊ　，　，…，∈Ｊｒ为∈　，…，矗任意子集部分组，对应的指标集为Ｓｊ＝｛　，…，　），　下面我们引入辅助问题即最优化问题（Ｍ２）：　Ｉ　ｍｉｎ盯２＝ＷＴ∑Ｗ　Ｍ２　１　ｓ　Ｔ　：　；　Ｔ　：１；叫。：ｄｓ　ｊＶｓ　我们总可以经过适当调整∈１，∈２，…，　的顺序变为∈Ｊ。，∈Ｊ　，…，∈厶，使得指标集　对　应的　‘，。，　，…，　刚好排在前ｒ位，设∑，Ｗ和Ｕ也作相应的调整分别变为∑Ｊ、　ＷＪ和ＵＪ，设　Ｊ２，…，　对应的期望向量和协方差矩阵分别为　和∑　．由于　Ｖｓ　，Ｗ　＝ｄ　，故有　甜　其中　一　＝（ｄｊ…，…，ｄ＾）Ｔ．对∑Ｊ，Ｉ，ＵＪ也作相应的分块，有　Ｔ　篡　），　则最优化问题（Ｍ２）转化为最优化问题（Ｍ３）：　可以利用Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ方法求解，设０表示零向量，其维数随具体情况定，则其一阶条　件为．　｛Ｉ，　菩＝　（　）Ｔ　　－　ｍ　Ｊ　￣ｘｕＪ　．（～ｗＪ）Ｔ　＝一叫１　（　一　）Ｔ　一．　　一（１）　解之得　＾一＝　———　一一’，ｙ一　———　一，’　最优解为：　＝　（∑　＋盟　（∑　Ｈ∑　∑Ｊ　Ｊ．　…＝　ｕ　＋　Ｊ　∑　Ｊ　；　＋　一　　一踢　

１２２　姚海祥，李仲飞　１３卷　其中：　。　Ｊ＝（　）Ｔ（∑　）一　‘　＝（　）Ｔ（∑ｊ）一　，ｃＪ　＝（　）Ｔ（∑　）一ｔ　，ｄ　：６　ｃＪ　一（。；）。，　＝（　）Ｔ（∑　）一　∑　Ｊ２ｐ…Ｊ一（　）ＴＵ—Ｊ　，　＝１一（　一　）Ｔ厶一，＋（　）Ｔ（∑ｊ）一　∑　Ｊ　…Ｊ　再令　＝盟　，　Ｎ　＝　二　！　二　：　ｄＪ　±　二竺　３　一（∑　）～　∑Ｊｌ２ｐ　Ｊ～　则　可简化为：　＝　扎＋　，代入目标函数得方差最小值，即前沿边界为　。：（　）Ｔ∑　＋２（Ｗ／）Ｔ∑１Ｊ２ｐ　Ｊ一　＋（　一　）Ｔ∑２Ｊ２　Ｊ一　＝ａＪ　。＋２６Ｊ札＋ｃｔ，　为Ｅ一　。坐标上的一条开口向上的抛物线，有效边界则前沿边界的右半支（最小方差　期望的右边部分）．其中：　０‘，＝（　）Ｔ∑ｊ　，ｂＪ＝（　）Ｔ∑ｊ　＋．（　）Ｔ∑　Ｊ２　Ｊ　，　ｃＪ＝２（　）Ｔ∑１Ｊ２　Ｊ　＋（　）Ｔ∑　Ｊ　＋（　一　）Ｔ∑２Ｊ２　…Ｊ　．　３　主要结果及其证明　现在我们来研究最优化问题（Ｍ２）和（Ｍ３）（它们等价）的最优解　Ｊ：ｆ＼　　／　１在　一ｒ什么条件下也是最优化问题（　１）的最优解．和最优化问题（Ｍ２）一样，按照ｆ‘，　，∈Ｊ。，…，∈Ｊ　的顺序及Ｓｊ，对∑，　Ｕ作相应的调整和分块，则最优问题（Ｍ１）可变为最优化问题　（Ｍ４）：　ｆ　４　＝（　）Ｔ∑＃　＋２（　）ＴＥ…Ｊ　ＶＶ￣Ｊ…＋（ｗＬ　）Ｔ∑２Ｊ２　Ｊ一　【ｓ．ｔ．（　）Ｔ　＋（　）ＴｕＬ　＝　；（　）Ｔ　＋（　）Ｔ　一　＝１；训　≥ｄ＾，　∈Ｓ　最优化问题（Ｍ１）和（　４）（它们等价）是带线性等式和线性不等式约束的二次凸规划，　可用Ｋｕｈｎ‘Ｔｕｃｋｅｒ条件（也为充要条件）来求解．即为最优化问题（Ｍ１）的最优解等价于　存在　，７和Ⅱ　：（丌　，丌　，…，７ｒ　）Ｔ，Ⅱ　＝一　（丌　一，丌　）Ｔ，满足Ｋｕｈｎ．Ｔｕｃｋｅ　条件：　ｆ∑　＋∑　＿　一　一　：ｎ　Ｊ∑２Ｊ２　Ｊ一　＋（∑　）Ｔ　一　味　一７厶一　＝Ⅱ　～　…　Ｉ（Ｉ　　）Ｔ　＋（畦　）Ｔ味　＝“；　（　）Ｔ　＋（Ｗ—Ｊ　）Ｔ厶一　：１　７ｒ　≥０，训　≥ｄ　，７ｒ　（叫　一ｄ　。）：０，　ｓ∈Ｓ．　

２期　最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式　‘，Ｌ，Ｌ　１２３　令　∑　ｊ　－　ｊ＋∑１Ｊ２　Ｊ一　一　～　＝Ⅱ　，（∑Ｊ２）Ｔ　＋∑２Ｊ２　Ｊ一　一　一　厶一　＝Ⅱ　一　，　注意到　＝　一　，则由（１）式，容易验证ＶＶｊ＝（（　）Ｔ，（　一　）Ｔ）Ｔ满足如下条件：　，●●％　，一　一　　比　＝０，Ｖｓ∈Ｓ　（３）　小比较（２）式和（３）式（取相同的　，Ａ，７），容易发现　Ｊ是最优化问题（　１）的最优解　一　　。＼充要条件是：　（３）式中的７ｒ　，面　满足：　７ｒｓ＝　Ｊ≥０，ｓ＝ｒ＋１，…，ｎ叫－ｊ≥ｄ　，ｓ＝１，２，…，７＇　ｓ由前面知　＝　一　，四　＝Ｍ　ｕ　ｊｒ　Ｎ　，　代入（３）式中Ⅱ　一　的表达式得Ⅱ　一　＝　ｕ＋Ｑ　一　，其中　味　－（∑　＋　监　Ｑ　一　＝（∑　）Ｔ　－Ｆ∑２Ｊ２　Ｊ一　＋　（０ｒＪ　２Ｊ—ｃＪｒ　１Ｊ　ｕｎＪ一，ｒ　＋（ｎ　ｆ一６　Ｊ　２Ｊ）厶一　７ｒ　≥０，ｓ＝ｒ＋１，…，ｎ；叫－。Ｊ≥ｄｊ８＝１，２，…，ｒ成立，即要下面方程组（所以要　４）式　。，成立：　一．扎一ｒ　２，…，ｒ　令　＝｛ｓＩｐ　＞０），　＝｛￣ｌｐｆ＜０），　＝｛ｓＩｐ　＝０），　砖＝｛ｓｌｍ；＞０），　＝｛ｓＩｍ　＜０），　＝｛ｓＩｍ　＝０）　若　，　，　，　非空，令　叼　ｍａｘ｛　ｓ∈　），＇／ｍｔ　＝ｍｉｎ｛　ｄ　一ｎ　＝ｍａｘ　∈　）　ｊｓ∈　），　ｓ∈砖），　＝ｍｉｎ｛　ｄ　一ｎ　

１２４　姚海祥，李仲飞　１３卷　若　为空集，叩　Ｊ　＝一。。，若　为空集，叩　ｉ　＝＋∞，若珐为空集，　＝一∞，若　为空集，　ｉ　＝＋ｏ。令　《　＝ｍａｘ｛￣Ｊ　，　），　ｉ　＝ｍｉｎ｛￣ｇｉ　，　ｉ　），　易得不等式组（４）有解的充要条件是《ｉ　≥　，ｇ　≥０（Ｖｓ∈ｉｏ）和ｎ　Ｊ≥ｄｄ　（Ｙｓ　Ｅ　ｉｏ），　且解集为［　，　】　．定理１最优化问题（Ｍ２）的最优解是最优化问题（Ｍ１）的最优解的充要条件是：　ｉ　≥《　，ｇ　≥０（Ｙｓ∈１ｏ）和ｎ　Ｊ≥ｄｊ．（Ｙｓ∈ｘｏ），且ｕ∈［　，　ｉ　］．　反过来我们也有类似的结论，即如下定理２．　定理２设　为最优化问题（Ｍ１）对应期望ｕ的最优解，若满足当８∈Ｓｊ时，　面。＞ｄ。；当８岳Ｓｊ时，　＝ｄ　．则也是最优化问题（Ｍ２）的最优解．　证明先证明　是下面最优化问题（Ｍ５）的最优解：　Ｉ　ｍｉｎ　０－２＝ＷＴ∑　‘Ｍ５　１　ｓＷ＿ｔ．　Ｔ　：ｕ；ｗＴＩ＝１；　。≥　ｖｓ　因　为最优化问题（Ｍ１）的最优解，故存在　，７和ＩＩ＝（７ｒ１，７ｒ２，…，丌　）Ｔ，满足Ｋｕｈｎ—　Ｔｕｃｋｅｒ条件（为充要条件）（５）式：　Ｉ∑　一Ａｕ一７　一ＩＩ＝０；　Ｔ　＝１；ＶｖｒＴＵ＝ｕ　ｌ　７ｒ　≥０；面　≥ｄ。，７ｒ　（面　一ｄ。）＝０，Ｙｓ∈Ｓ．　由于当８∈Ｓ．，时，面　一ｄ　＞０，故当Ｓ∈ＳＪ时必有７ｒ　＝０，所以由（５）式有：　ｆ∑　一　一　—Ｈ：ｄ；Ｉ／ｖＴＩ：１；￣／ＶＴＵ：札　Ｉ　７ｒ。≥０，面　≥ｄ　，７１＂ｓ（面　一ｄ　）＝０，Ｖｓ　Ｓｊ；７ｒ　＝０，Ｖｓ　Ｅ　ＳＪ．　易知（６）式即表明满足最优化问题（Ｍ５）的Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ条件，所以是最优化问题（Ｍ５）　的最优解．由于最优化问题（Ｍ５）比最优化问题（Ｍ２）的约束条件更弱，又易知　也　为最优化问题（Ｍ２）的可行解，所以也是最优化问题（Ｍ２）的最优解．　为了表达方便下面我们给出有效指标集、严格有效指标集的概念．若最优化问题　（Ｍ２）的最优解也是最优化问题（Ｍ１）的最优解，则称指标集ｓＪ为对应期望水平ｕ的　有效指标集．若最优化问题（　１）的最优解　满足定理２中的条件，则称　为对应．“　的严格有效指标集．由定理１知　为［　，　ｉ　］上的有效指标集，则由定义易知　则为（《ａｘ，　ｉ　）上的严格有效指标集．定理２表明若　为对应的严格有效指标集，　则　也为对应Ｕ的有效指标集．由定理１、定理２，我们易得如下结论１和结论２．　结论１存在　（Ｊ＝１，２，…，　），满足ｍｉｎｕ＝　＜面　＜…＜面　＝ｍ＆ｘｕ，使得每　个区间（面　，　Ｊ＋　）对应同一（严格）有效指标集，不同区间对应不同（严格）有效指标　集．　

２期　最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式　１２５　设（面Ｊ，　Ｊ＋　）的（严格）有效约束集为Ｓｊ，则由定理１有　Ｊ＝　由前面分析知当Ｖｕ∈［　，　ｉ　］时前沿边界为一段抛物线．所以有：　，　Ｊ＋　＝　ｉ　，　结论２具有最低投资比例约束时证券组合的前沿边界和有效边界是由有限段抛　物线相互平稳联结而成．　由结论１知组成前沿边界和有效边界的每段抛物线对应一个有效指标集　及区　间．为此，我们研究这些有效指标集及对应区间之间有何联系，它们如何过渡和变化　的？　下面定理３将回答这些问题．　定理３设　为有效指标集，　（ａ）．若一　＝　（ｂ）．若　令Ｓｊ＋Ｉ：Ｓｊ　Ｕ｛　＋￡）；　＝　ｉ　，令Ｓｊ＋１＝Ｓｊ一｛　）；　（ｃ）．若一　ｑＪ＝　，令　一１＝Ｓｊ　Ｕ｛　＋。）；　（ｄ）．若　＝　，令　一１＝Ｓｊ一｛　）．　则　＋　和　一　也为有效指标集，且有　：　，　Ｊｉ－　＝　．　证明由定理１知当Ｕ＝　ｉ　时最优化问题（Ｍ２）的最优解　Ｊ是最优化问题（　１）　的最优解，且满足（３）式．　（ａ）．若一　ｑＪ＝　．ｎ）则（３）式中的丌ｒＪ￡＝０，令　＋１＝Ｓｊ　ｕ｛Ｊｒ＋￡）不难验证　Ｊ也　＋满足如下最优化问题（Ｍ６）的一阶条件，从而　Ｊ也是（Ｍ６）的最优解：　Ｉ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　ｆＭ６）＜Ｉ　ｗ　　ｓ．ｔ．ＷＴＵ：乱；ＷＴＩ＝１；ｗｓ＝ｄｓ，Ｖｓ　ＳＪ＋１．　所以　＋ｌ也为　＝　ｉ　对应的有效指标集，由定理１有　≤　ｉ　≤　＋ｎ１．若　＜　则Ｓｊ和ＳＪ＋Ｉ都是区间（　，　）ｎ（《　，　）对应的严格有效指标集，　矛盾．所以有　＝　ｉ　．　（ｂ）．若兰ＪＪ　＝《ｉ　，则当ｕ＝　ｉ　时有面，＝ｄｊ，，此时令　＋　：Ｓｊ一｛　）容易　验证　Ｊ也是最优化问题（Ｍ６）的可行解，显然最优化问题（Ｍ６）的约束条件比最优　化问题（Ｍ２）的约束条件更强，从而　为ｕ＝　也是最优化问题（Ｍ６）最优解，所以Ｓｊ＋１也　＝　对应的有效指标集，类似前面同理可证　对于（ｃ），（ｄ）情形同理可证　一　也为有效指标集，且有　ｉ＿ｎ＝《　．。　４　模型的前沿边界与有效边界解析式的确定方法　定理３表明，从某个有效指标集ｓＪ及其对应的区间【　ａｘ，　ｉ　】开始，我们可以连　锁反应求出其余所有的有效指标集及其对应的区间，而且这些区间都是首尾相接的，　它们的并集刚好是前沿边界的定义域［ｍｉｎｕ，ｍａｘｕ］．所以关键是先寻找一个已知有效　指标集及其对应的区间［　ａｘ，　ｉ　】．我们可以用如下方法得到：在区间（ｍｉｎｕ，ｍａｘｕ）　

１２６　姚海祥，李仲飞　１３卷　任意取一点Ｕ０，求解最优化问题（Ｍ７）：　（Ｍ７）｛Ｉ　Ｗ　　Ｉ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　ｓ．ｔ．ＷＴＵ＝ｒ“０；ＷＴＩ＝１；　Ｗｔ≥ｄ　，ｉ∈Ｓ　得最优解Ｗ　＝（Ｗ　，Ｗ２　，…，　）１、，则Ｗ　中所有满Ｗｉ　＞ｄｉ的指标ｉ的集合即为一有效　指标集，然后由定理１求出其对应的区间．最优化问题（Ｍ７）与最优化问题（Ｍ１）不同　的地方在于这时期望是已知常数　ｏ，而不是任意参数ｕ，所以最优化问题（Ｍ７）的求解　容易很多，目前求解方法比较完善且很多，例如可用文［１０］中的积极集法（具体可由　数学软件Ｍａｔｌａｂ优化工具中的二次规划函数ＱＰ或ＱＵＡＤＰＲＯＧ实现，详见文［１１］）．　我们不妨称以上方法为有效指标集法，它的具体步骤为：第一步：用前面介绍的　方法求出初始有效指标集及其对应的区间；第二步：利用定理３的结论求出已知有效　指标集　相邻两边的有效指标集　一　和ＳＪ＋１；第三步：求解第二步中每个新的有效　指标集对应的最优化问题（Ｍ３），并利用定理１确定其对应的区间，并求出在该区间上　前沿边界的解析表达式，然后重复第二步，直到《　＝ｍｉｎ　Ｚｔ或　ｉ　＝ｍａｘｕ为止．　确定完前沿边界那么有效边界就容易确定了．　具有最低投资比例约束时有效边界的确定：我们只需求出“　ｊ　，则前沿边界在　［ｒ“ｍｎｉ　，ｍａｘｕ］的部分即为有效边界．　ｎｍｉ　有两个方法来确定，方法１：利用已确定　的前沿边界０－。＝０－２（ｕ）的解析表达式求最小方差期望　ｎｍｉ　．方法２：通过求解最优化　问题（Ｍ８）：　８　１　ｆ　ｍｉｎ０－２＝ＷＴ∑　１，　∈　．　则其最优解Ｗｍ＊ｉ　对应的期望即为ｕｎｍｉ　，最优化问题（Ｍ８）也不含参数ｕ，它的求　解与最优化问题（Ｍ７）的类似，可用Ｍａｔｌａｂ优化工具中的ＱＰ函数或ＱＵＡＤＰＲＯＧ函　数实现［１１］．　５　实例分析　作为结论的直接应用和说明，下面我们利用中国股票市场数据给出了一个实例分　析．　。　随机选取深沪证券交易所的１１支股票，代号分别为：０００５９９、００００６１、０００６９５、　００２０３４、００２０４３、６００１７０、６００２３３、６００６５２、６０００１９、６００１２１、６００５５７．选取时间为　２００６年１月４日至２００６年１２月２９日所有交易Ｅｔ的原始数据，得收益率的期望向量为　Ｕ＝（０．０４６０，０．２６０３，０．２２５４，０．０３３２，０．０３８８，０．０８９３，０．０７２０，０．０４９５，０．１７８６，０．０８８１，０．１４３３）　，　协方差矩阵：　

２期　最低投资比例约束下的证券组合模型及有效边界解析式　１２７　１．３９５３　０．３１９５　０．４８３５　０．６２９２　０．６５０４　０．５１７０　０．５７６６　０．５９５３　０．３５６７　０．７６０４　０．４４３３　０．３１９５　３．３７５３　０．２６３１　０．１４７４　０．３２２９　０．３５７１　０．１７１３　０．３４６６　０．１５７１　０．１９９５　０．３２０５　０．４８３５　０．２６３１　３．１７９４　０．５０５７　０．４０５３　０．３６１２　０．７５７４　０．５３８４　０．１７１７　０．７８６１　０．８０５６　０．６２９２　０．１４７４　０．５０５７　１．３７１３　０．７７６６　０．３３３７　０．７５５８　０．３５６８　０．３２６５　０．６８８９　０．７６１７　０．６５０４　０．３２２９　０．４０５３　０．７７６６　１．６５７３　０．４３４４　０．６５５７　０．５２９８　０．３１４８　０．５６１０　０．６３６７　Ｅ＝　０．５１７０　０．３５７１　０．３６１２　０．３３３７　０．４３４４　０．８７３８　０．４２６４　０．６０１７　０．２５４７　０．４８７４　０．４３４７　０．５７６６　０．１７１３　０．７５７４　０．７５５８　０．６５５７　０．４２６４　１．３８１４　０．４０８７　０．１９５６　０．７２２９　０．７９７４　０．５９５３　０．３４６６　０．５３８４　０．３５６８　０．５２９８　０．６０１７　０．４０８７　１．５７９０　０．２１９２　０．６７７５　０．５１１５　０．３５６７　０．１５７１　０．１７１７　０．３２６５　０．３１４８　０．２５４７　０．１９５６　０．２１９２　０．９２２４　０．３０９６　０．２３８４　０．７６０４　０．１９９５　０．７８６１　０．６８８９　０．５６１０　０．４８７４　０．７２２９　０．６７７５　０．３０９６　１．６６１３　０．８６６１　０．４４３３　０．３２０５　０．８０５６　０．７６１７　０．６３６７　０．４３４７　０．７９７４　０．５１ｌ５　０．２３８４　０．８６６１　２．３４３０　其中收益率期望的单位为１／５ｏ，方差、协方差的单位为１／２５ｏｏ，我们取最低投资比例为　ｄ＝（ｄ１，ｄ２，…，ｄｌ１）Ｔ＝（一０．００６７，０．１２３８，０．１１７７，一０．００８３，一０．０３８５，一０．０３９７，一０．１４７９，　－０．２２５２，－０．１８５２－０．０６９８，０．Ｏ５６２）１’，通过计算得ｍｉｎ　＝０．０４７４，ｍａｘ　＝０．３７０７，利用　Ｍａｔｌａｂ优化工具中的二次规划函数ＱＰ求得具有最低投资比例约束时最小方差对应的　期望ｕ　ｉ　＝０．１５０４，并得到此时对应的有效指标集为Ｓｊ＝｛１，４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝，然后　利用本文介绍的有效指标集法可求得有效边界的解析表达式为：　５５．２００８ｕ　一１６．６０１８ｕ＋１．７５１６，ｕ∈【０．１５０４，０．１５７０］，　１＝｛１，４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝　６０．４３２２ｕ　一１８．２４４６ｕ＋１．８８０６，　∈［０．１５７０，０．１６９５］，　＝｛４，５，６，７，８，９，ｌｏ｝　４１．０２７０ｕ　一１１．６６８２￣＋１．３２３４，ｕ∈【０．１６９５，０．１７０８］，Ｓａ＝｛４，５，６，７，８，９，１０，２）　４８．８９３６ｕ　一１４．３５５２ｕ＋１．５５２９，　∈［０．１７０８，０．１７３６］，　＝｛５，６，７，８，９，１０，２）　４４．９０５８ｕ　一１２．９７０５ｕ＋１．４３２７，　∈［０．１７３６，０．１７９７］，＆＝｛５，６，７，８，９，１０，２，１１｝　５５．０１５８ｕ　一１６．６０５０ｕ＋１．７５９３，　∈【０．１７９７，０．１８０１］，ｓ６＝｛６，７，８，９，１０，２，１１）　２＝　４０．８６７０ｕ　一１１．５０８７ｕ＋１．３００４，ｕ∈［０．１８０１，０．２５Ｏ５］，ｓ７＝｛６，７，８，９，１０，２，１１，３）　４１．４８９５ｕ　一１１．８２０６ｕ＋１．３３９５，ｕ∈［０．２５０５，０．２６２７］，Ｓｓ＝ｊ｛６，７，８，９，２，１１，３）　５０．５８３２ｕ　一１６．５９８１ｕ＋１．９６６９，缸∈［０．２６２７，０．２６８１Ｉ，　＝｛６，８，９，２，１１，３）　６６．７４９４ｕ　一２５．２６８０ｕ＋３．１２９４，ｔｔ∈【０．２６８１，０．２７７１］，￥１ｏ＝｛６，９，２，１１，３）　２７５．７６０８ｕ　一１４１．１１９７ｕ＋１９．１８３１，　∈ｌ０．２７７１，Ｏ．２８７４ｌ，Ｓ１１＝｛９，２，１１，３｝　５２１．８３９９ｕ　一２８２．５８７２ｕ＋３９．５１５０，札∈１０．２８７４，０．３５２６ｌ，￥１２＝｛９，２，３｝　４９６５．１２８９ｕ　一３４１５．８５６９ｕ＋５９１．８８６２，让∈［０．３５２６，０．３７Ｏ７］，￥１３＝｛２，３）　下图中实线部分表示有效边界，点　以下的圆点虚线表示前沿边界中无效的部　分，与有效边界构成完整前沿边界．有效边界周围的虚线束是那些构成有效边界的抛　物线段所在的抛物线束．　注：本算例的数据及计算结果都取小数点后４位有效数字，利用本文的结论，以　上的计算及图形的描绘可以编写成程序在Ｍａｔｌａｂ上运行和实现，详见文献［１１］．　

１２８　姚海祥，李仲飞　１３卷　辚　方磬　参考文献：　【１】Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｆｉｎａｎｃｅ，１９５２，４：７７—９１．　［２】Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ　Ｈ．Ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ：Ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　Ｄｉｖｅｒｓｉｉｆｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔｓ［Ｍ］．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｂａｓｉｌ　Ｂｌａｃｋｗｅｌｌ，（Ｓｅｃｏｎｄ　ｅｄ）１９５９，１９９１．　ｆ３】Ｖｏｒｏｓ　Ｊ．Ｔｈｅ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ　ｆｏ　ｔｈｅ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｆｒｏｎｔｉｅｒ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｄｅｇｅｎｅｒａｃｙ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ［Ｊ］．Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９８７，３２：３０２．３１０．　ｆ４］．马永开，唐小我．不允许卖空的证券组合选择模型研［Ｊ］．预测，　１９９９，２：４９．５２．　【５】范宝珠，腠成业，朱庆华．非负约束下含无风险资证券的投资组合方法［Ｊ］．中山大学学报（自　然科学版），２００１，４０（３）：２５—２８．　【６】Ｐｙｌｅ　Ｄ．Ｈ．，Ｔｕｒｎｏｖｓｋｙ　Ｓ．Ｊ．Ｓａｆｅｌｙ－ｆｒｉｓｔ　ａｎｄ　ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｕｔｉｌｉｔｙ　ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｍｅａｎ—ｓｔａｎｄａｒｄ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．　ｅ　Ｒｅｖｉｅｗ　ｆｏ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．１９７０．５２（１）：７５．　８１．　【７］Ｏｒｔｏｂｅｌｌｉ　Ｓ．，Ｒａｃｈｅｖ　Ｓ．Ｓａｆｅｔｙ—ｉｆｒｓｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ａｎｄ　ｓｔａｂｌｅ　ｐａｒｅｔｉａｎ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｐｏｒｔｆｏｌｉｏ　ｃｈｏｉｃｅ　ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ，２００１，３４：１０３７．１０７２．　Ｉ８】王良，杨乃定，姜继娇．机会约束基于混合整数规划的均值一ＶａＲ证券投资基金投资组合选择　模型［Ｊ】．系统工程，２００７，２５（１）：１０２．１０７．　【９】张卫国，聂赞坎．限制投资下界的风险证券有效组合模型及算法研究【Ｊ］．应用数学，２００３，６（２）：　１２４．１２９．　。　【ｌＯ］袁亚湘，孙文瑜．最优化理论与方法【Ｍ】．北京：科学出版社，２００１．　［１１】萧树铁主编，姜启源，何青，等著．数学实验［Ｍ】．＝｛Ｅ京：高等教育出版社，２００３．　’