磁场力的冲量公式及其应用

2024年2月28日发(作者：屈原诗句)

磁场力的冲量公式及其应用

于正荣

( 盐城市伍佑中学 , 江苏 盐城 224041)

在高中电磁学习题中，有一些问题需要用到动量定理来求解。这些问题又往往会涉及磁场力冲量的计算。磁场力通常指洛伦兹力和安培力，许多时候，它们是变化的，为了计算它们的冲量，本文介绍一个实用的公式。

1．磁场力冲量的公式

× × × × × ×

1、洛伦兹力的冲量。如图1所示，设带电子的电荷量为q，在磁感强度为B的匀强磁场做曲线运动，运动方向与磁场方向垂直。现研该粒子从M位置沿任意路径运动到N位置过程I× × × ×B

× ×

× × ×

冲

×

f

× ×

× × × × × ×

△s

× × × × × ×

N

粒中究中M

图1

洛伦兹力的冲量。将粒子运动的路径无限分割，则在各个分割所得的元过程中，洛伦兹力可以看成恒力，它对粒子产生的微元冲量为I冲ftqvBtqBs，其中的s为元过程的位移。由于洛伦兹力f的方向与元位移s的方向垂直，所以元冲量I冲的方向也与s的方向垂直。因此整个过程洛伦兹力的总冲量就等于各个元冲量的矢量和。即有I冲qB（s1s2sn)qBL，其中的L为粒子运动的始、末端点MN的位移。也就是说粒子沿曲线从M到N过程洛伦兹力的冲量I冲，与粒子沿直线从M到N过程洛伦兹力的冲量相等。显然，该冲量I冲的方向也一定与位移L的方向垂直。

2、安培力的冲量。如图2所示，长为L 的导体直置于磁感强度为B匀强磁场中，金属棒中通以电棒垂流（电

流不一定恒定），现研究t时间内导体棒所受安培力的冲量。把通电时间t无限分割，则在每一段很短的微元时间t内，可以认为电流恒定，所以这很短时间t内安培力的冲量I冲BLit，而it就等于这段时间内通过导体棒的电量q。因此整段时间t内，导体棒所受安培力的冲量就等于各微元时间内安培力冲量的矢量和，即有：I冲BL（q1q2qn)BqL，其中q为整个过程通过导体棒的总电量。另外，不难证明即使导体棒弯曲，此公式仍然成立，不过要把L看成棒两端点的位移，并且安培力冲量的方向与L方向垂直。

综上所述，不论是伦兹力还是安培力，也不论它们是恒力还是变力，其冲量都可以写成I冲BqL的形式，其中位移矢量L的大小应为等效的直线电流的长度，冲量的方向与等效的安培力方向一致，即与L方向垂直。

2．磁场力冲量公式的应用

例1 在磁感强度为B的匀强磁场中，有一个电量为q的粒子（重力不计）以速度v，在垂直于磁场方向上做半径为R的匀速圆周运动。则粒子在转过1800的时间内，洛伦兹力的冲量大小为：（ ）

A．qBR； B．2qBR； C．2qBR； D．qBR。

析与解：典型的错解：I冲FtqvBTqBRmqBqBR，答案选(A)。

2mqB常规解答：因洛伦兹力是变力，所以不能由冲量的定义式I冲Ft直接计算，而应考虑运用动量定理。由于粒子只受洛伦兹力作用，所以合力的冲量就是洛伦兹力的冲量，根据动量定理有I冲pmvmv，由于vv，所以p2mv2qBR，即I冲2qBR，正确答案选B。

巧解：本题中虽然洛伦兹力的方向时刻在变化，但我们仍可以直接运用公

式I冲BqL进行解答，不过要注意其中L的大小应为粒子初末位置的位移大小，即L=2R，因此我们可以直接得出结果为I冲BLqBq2R，答案B正确。

例2 一个带电微粒质量为m、电荷量为+q。空间水平方向的匀强磁场B。现将带电微粒由静止释放，在重力场和磁场作用下开始运动，试求粒子在竖直方动的最大距离h。

析与解：带电微粒在重力和洛伦兹力作用下做复杂的曲线运动，当运动到最低点时，速度v沿水平方向，如图3所示，微粒在运动过程中受两个力的冲量：重力的冲量IG（方向竖直向下）、洛伦兹力的冲量IB（方向与微粒运动的始、末点的连线L垂直），由动量定理可知，它们冲量的矢量和等于微粒动量的变化，即为I合=mv；IG、IB、I合的方向关系如图3所示，所以有：I合=mvIBcos；再直接利用前面的结论可以得到IBqBL12qBh；最cos存在微粒向运后解再根据动能定理有：mv2mgh。综合以上几式可2m2g得：h22。

qB例3 如图4所示，距地面高为h、水平放置的光滑导轨的右端放一导体棒，导轨与电源相连，垂直置于匀强磁场中，已知导轨宽为L，磁感应强度为B，导体棒的质量为 m，若开关K闭合所后，导体棒迅速飞出，其水平射程为s，则通过导体棒的电荷量多大？

析与解：由前面的结论知导体棒所受安培力的冲量为I冲BqL，另外根据平抛运动的规律有sv0t、hg12，再由动gt，可得导体棒平抛的初速v0s2h2

量定理I冲BqLmv0msgms0，可解得通过开关的电荷量为：q2hBLg。

2h例4 如图所示，在光滑的水平面上，有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为a的区域内，现有一个边长为L（a>L）的正闭合线圈，以初速度v1垂直磁场边界滑过磁场度变为v2，则下列说法正确的是：（ ）

A．完全进入磁场中时，线圈的速度大于(v1+v2)/2

B．完全进入磁场中时，线圈的速度等于(v1+v2)/2

C．完全进入磁场中时，线圈的速度小于(v1+v2)/2

D．以上A、C均有可能，而B是不可能的

析与解：线圈运动较复杂，不能用牛顿定律直接求解。设线圈进入、离开磁场过程，安培力冲量的大小分别为I1、I2，由动量定理得：I1m(v1v)，1BL2I2m(vv2)。I1Bq1L，I2Bq2L，再根据前面的结论可知：又因q1，RR方形后，速所以有q1q2，即可得I1I2，故可解得vv1v2，答案B正确。

2通过前面几例可以看出，磁场力冲量的公式，在研究物体（微粒、线圈、导体棒等）在磁场中做复杂的运动时是非常方便的，它使我们能够顺利地运用动量定理，快捷、方便地解决牛顿运动定律无法解决的问题。