直线恒过定点专题

2024年2月21日发(作者：风景的景怎么写)

直线恒过定点专题

一、直线恒过某个定点问题

1．直线方程：y=kx+b，若k为参数，则直线恒过定点（0，b），若b为参数，则直线是一系列平行线；

2．直线方程：y=k（x - x0）+y0，则直线恒过定点（x0，y0）；

3．已知直线：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。

则直线A1x+B1y+C1+m（A2x+B2y+C2）=0恒过定点的求法是：

xx0Ax+B1y+C1=0解方程组：1，解得： 那么定点是（x0，y0）。

A2x+B2y+C2=0yy0例题一：求直线y=kx+ - k恒过定点的坐标。

x10x1解：方程可化为y=k（x - 1）+3，解得： 得所以过定点是（1，3）。

y3y3，例题二：不论m为何实数，直线（m - 1)x - y+2m - 1=0恒过定点？

x20x2解：化简方程可以为m（x+2) - x - y=0 - 1)x - y+2m - 1=0得得恒过定点为（ - 2，1）

xy10y1二、动点在某条定直线上的问题

1．动点P（a，b），若a为常数，b为参数，则点P在直线x=a上，若a为参数，b为常数，则点P在直线y=b上。

xf(m)2．动点P（f（m)，g（m））可令消去m可得x、y方程。

yg(m)例题一、 动点P（1，n），则P在直线x1上，动点P（m，1），则P在直线y1上，

例题二 、函数y1=kx2+ax+a 的图象与

x轴交于点 A， B (点 A 在点 B 的左侧)， 函数y2=kx2+bx+b 的图象与 x 轴交于点 C， D (点 C 在点 D 的左侧)，其中k≠0，a≠b。

（1）求证： 函数 y1与 y2的图象交点落在一条定直线上；

（2）若 AB ＝CD，求 a、b 和k应满足的关系式；

（3）是否存在函数y1与 y2 ， 使得 B、C 为线段 AD 的三等分点? 若存在，求a、b的值；若不存在，说明理由．

ykx2axax1（1）解：联立解得，所以交点在直线x= - 1．

2ykykxbxb例题三：已知无论m为任何实数，二次函数y=(x - 2m)+m的图像的顶点总在定直线上，则此直线的解析式?

1

x2m解：依题意得，顶点坐标是（2m，m）消去m得直线x - 2y=0。

（2m,m)即ym例：若抛物线y=x2＋bx（b＞2）上存在关于直线y=x成轴对称的两个点，求b的取值范围。

练习：

1．求方程（a-1）x-y+2a+1=0（a∈R）所表示的直线恒过定点的坐标。

x3at2．求证：直线（t为参数）恒过定点。

y14t分析：将已知参数方程通过移项，消去t，从而得到曲线C的普通方程，再研究过何定点。

解：将已知参数方程移项得x-3=at ∈，y+1=4t ∈。∈×4-∈×a消去a得：

化为普通方程得4（x-3）-a（y+1）=0．

当x=3且y=-1时，此方程对于任意a都成立，

所以直线恒过定点（3，-1）．

点评：本题考查了直线的参数方程，及直线过定点问题．属于基础题．

3．已知直线L:(m+2)x-(2m-1)y-3(m-4)=0，求点A（-5，-3）到直线L的距离的最大值。

4．已知直线（m+2）x-（2m-1）y-3（m-4）=0。

（1）求证：不论m怎样变化，直线恒过定点；

（2）求原点（0，0）到直线的距离的最大值。

分析：

（1）把已知直线的方程去掉括号重新结合，得到m（x-2y-3）+2x+y+12=0，然后联立x-2y-3=0与2x+y+12=0得到一个关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点，即为已知直线恒过的定点。

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（2）写出原点的坐标，由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的顶点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值。

解答：解：（1）证明：直线方程变为m（x-2y-3）+2x+y+12=0，

21xx2y305 ∴ 解得：2xy120y185∴不论m怎样变化，直线恒过定点（-2118，-）。

552118，-）的距离d。

55（2）原点（0，0）到直线距离的最大值，即为原点（0，0）到点（- ∴d=(21180)2(0)2

55点评：此题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题。

5．已知直线方程为（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0。

（1）证明：不论λ为何实数，直线恒过定点。

（2）直线m过（1）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线m方程。

分析：

x2y0x2（1）直线方程即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由

 解得：，

3xy70y1从而求得直线恒过定点A（-2，1）。

（2）当直线过原点时，由点斜式求得直线方程为 y= -1x；当直线不过原点时，设方程为x+y=a，或 x-y=b，2把定点A的坐标代入所设的方程，求出a、b的值，即可求得满足条件的直线m方程。

解：（1）证明：∵直线方程为（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0，即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，

x2y0x2 ∴

 解得：3xy70y1故不论λ为何实数，直线恒过定点A（-2，1）．

（2）由题意可得，直线m经过定点A（-2，1），且在两坐标轴的截距的绝对值相等。

①当直线过原点时，由点斜式求得直线方程为 y=-1x。

2 ②当直线不过原点时，设方程为x+y=a，或 x-y=b，把定点A的坐标代入可得-2+1=a，或-2-1=b，

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解得 a=-1，b=-3，故直线的方程为 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

综上可得，所求的直线的方程为 x+2y=0，或 x+y+1=0，或 x-y+3=0．

点评：本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

6．已知直线方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0．

（1）证明：直线恒过定点；

（2）m为何值时，点Q（3，4）到直线的距离最大，最大值为多少？

（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A．B两点，求∈AOB面积的最小值及此时直线的方程。

7．已知函数y=x2＋(2m＋1)x＋m2－1（m∈R）。

（1）m为何值时，y的极小值是0？

（2）求证：不论m是什么数值，函数的图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线l1上.

（3）平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

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