第二章 方程(组)与不等式(组)数学文化拓展素材

2024年2月21日发(作者：什么目寸光成语)

《九章算术》(涉及方程)

《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,“方程”章还在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则.《九章算术》的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.

1.我国古代数学名著《九章算术》记载了利用算筹表示方程组和解方程组的问题.算筹图表示的是方程组是 ( )

A.C.

B.D.

则算筹图表示的方程组的解2.我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元,问这个物品的价格是多少元.”该物品的价格是 元.

3.《九章算术》中的方程问题:

今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?

大意为:今有甲、乙二人,不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也能为50.则甲的钱数是 ,乙的钱数是 .

《算法统宗》(涉及方程)

在中国古代数学的整个发展过程中,《算法统宗》是一部十分重要的著作.其作者程大位(1533—1606),字汝思,号宾渠,安徽休宁人.从二十多岁起他便在长江中下游一带经商,对数学产生了浓厚的兴趣.四十岁时,倦于外游,便弃商归故里,认真钻研古籍,撷取名家之长,历经二十年,于明万历壬辰年(1592)写就巨著《算法统宗》十七卷.

在《算法统宗》这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的:

(1)浮屠增级

远看巍巍塔七层, 红光点点倍加倍.

共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯.

这首歌诀的大意:远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍,全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯.

(2)以碗知僧

巍巍古寺在山中,不知寺内几多僧.

三百六十四只碗,恰合用尽不差争.

三人共食一碗饭,四人共尝一碗羹.

请问先生能算者,都来寺内几多僧.

这首歌诀的大意:山上有一座古寺叫都来寺,在这座寺庙里,3个和尚合吃一碗饭,4个和尚合分一碗汤,一共用了364只碗.请问都来寺里有多少个和尚.

(3)和尚分馒头

一百馒头一百僧,

大僧三个更无争,

小僧三人分一个,

大小和尚各几丁?

这首歌诀的大意:有100个和尚分100个馒头,正好分完.如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各有几人.

1.我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索,索比竿子长一托,对折索子来量竿,却比竿子短一托.如果1托为5尺,那么索长为 尺,竿子长为

尺.

2.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:

吾问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.

诗中后两句的意思:如果每间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每间客房住9人,那么就空出一间房.则该店有客房 间,房客 人.

3.《算法统宗》这部书里有这样一题,大意:

甲牵一只肥羊走过来问牧羊人:“你赶的这群羊大概有100只吧?”牧羊人答:“如果这群羊加上一倍,再加上原来这群羊的一半,又加上原来这群羊的,连你牵着的这只肥羊也算进去,才刚好凑满一百只.”

则这位牧羊人赶的这群羊共有 只.

《孙子算经》(涉及方程)

《孙子算经》是我国古代重要的数学著作.传本的《孙子算经》共三卷,卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法,卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法,

卷下对后世的影响最为深远.卷下的第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”.书中是这样叙述的:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源,被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一,称为中国余数定理:今有物,不知其数.三三数之,剩二;五五数之,剩三;七七数之,剩二.问物几何?显然,这相当于求不定方程组解n,《孙子算经》所给答案是n=23.

的正整数

1.《孙子算经》中有首歌谣,大意为:如图,有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为( )

A.五丈 B.四丈五尺

C.一丈 D.五尺

2.《孙子算经》中有一道题,原文是“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.问木长几何?”意思是“用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对

折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺.”设木长为x尺,绳子长为y尺,则下列符合题意的方程组是( )

A. B.

C. D.

3.我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”数学名题,小敏将该题改编为:今有鸡兔同笼,上有33头,下有88足,问鸡兔各几何?此时的答案是 .

4.《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:

今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问:城中家几何?

大意为:

今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.

则城中有 户人家.

一元二次方程的几何解法

你知道吗,对于一元二次方程,我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢!

下面我们以方程x+2x-35=0为例加以说明.(方程可转化为x+2x=35,x(x+2)=35两种形式)

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图(1)

三国时期的数学家赵爽(约公元3世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:2如图(1),构造边长为(x+x+2)的正方形,则大正方形的面积(x+x+2),另一方面,大正方形是由四个长和宽分别为x+2,x的矩形和一个边长为2的小正方形组成的,所以大正方形的面积2等于四个矩形加上中间小正方形的面积,即大正方形的面积为4×35+2,故2(x+x+2)=144,x>0,解得x=5.

2说明:赵爽的解法是把x+2x=x(x+2)看作矩形的面积,然后用四个这样的矩形及一个边长为2的小正方形组成一个边长为(x+x+2)的正方形,再由面积公式求出x.

图(2)

公元9世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子密采用的方法是:构造图(2),阿尔·花拉子密22的方法直接从“形”上反映了配方法,一方面,正方形的面积为(x+1),即(x+2x)+1;另一方面,它又等于36,即35+1,据此同样可得x=5.其实赵爽的方法和阿尔·花拉子密的方法本质上是一致的.

利用几何法解一元二次方程,巧妙之处在于不用过多的语言和运算即可解决求方程的解的问题.赋予代数式的几何意义是解决这类问题的关键.

需要指出的是,一元二次方程的几何解法,反映了古代数学家在探索一元二次方程的求解过程中留下的足迹,如果遇到负根,就无法求解,这也说明了这种方法的局限性.后来人们发现的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=性.

参考答案

《九章算术》(涉及方程)

2,克服了这种局限1.C 由题意知,算筹图表示的方程组是解得故选C.

2.53 设有x个人共同购买这个物品,根据题意得8x-3=7x+4,解得x=7.则8x-3=8×7-3=53(元),故该物品的价格是53元.

3.37.5 25 设甲持钱为x,乙持钱为y,依题意列方程组为钱数为37.5,乙的钱数为25.

《算法统宗》(涉及方程)

解得故甲的1.20 15 设索长为x尺,竿子长为y尺,根据题意,得解得

2.8 63 设该店有客房x间,根据题意得,7x+7=9(x-1),解得x=8,7×8+7=63.故该店有客房8间,房客63人.

3.36 设这位牧羊人赶的这群羊共有x只,依题意,得x+x+x+x+1=100,解得x=36,故这位牧羊人赶的这群羊共有36只.

《孙子算经》(涉及方程)

1.B 设竹竿的长为x尺,根据题意得,竹竿的影长为一丈五尺,即15尺,标杆的长为一尺五寸,即1.5尺,标杆的影长为五寸,即0.5尺,则=,解得x=45.故选B.

2.B 根据“用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺”可列方程y=x+4.5;根据“将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺”可列方程y=x-1.故选B.

3.鸡22只,兔11只 设鸡有x只,兔有y只.依题意得方程组22只,兔有11只.

4.75 设城中有x户人家,根据题意,得x+=100,解得x=75.故城中有75户人家.

解得故鸡有