代数式单项式、多项式、整式知识点综合梳理

2024年2月18日发(作者：部署安排)

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代数式

1. 代数式的概念

用运算符号“＋－×÷……把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

单独的一个数或一个字母也是代数式。如：5，a，x均是代数式。

①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；如：2x=5这个整体因为含有等号所以不是代数式，但是等号左边的2x和右边的5却是代数式。

③代数式中的字母的限制：字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。

1．下列式子中，是代数式的有：。

①abcd②0 ③2(ab)1④sR2⑤3x2⑥3x24x10

2．比a多3的数是（）

A．a3 B．a3 C．3a D．

3．a,b两数差的平方除以a,b两数的平方差是（）

(ab)2ab2a2b2a2b2 A．22 B． C．2 D．

222ababab(ab)a

3

4．代数式2a所表示的意义是（）

A．比2多a的数 B．比a多2的数

C．比2少a的数 D．比a少2的数

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5．下列各题中，错误的是（）

A．代数式x2y2的意义是x,y的平方和。

B．代数式5(xy)的意义是5与xy的积。

C．x的5倍与y的和的一半，用代数式表示是5x D．x的y。

21111与y的的差，用代数式表示是xy。

232326. 在式子x+2,3a2b,m,S=R,x3,ab2c中代数式有（）

yA、6个 B、5个 C、4个 D、3个

7．一项工作，甲独做x天完成，乙独做y天完成，甲、乙合作a天后还剩（）

A、111aaa1B、C、1aD、

xy11xyxyxy

2．代数式的书写规

①代数式中数与字母相乘，字母与字母相乘，乘号通常使用“·”乘表示，或省略不写，如v×t 通常写成v·t或 vt；

②数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；

③数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略或写成“·”；5×8,不能省略乘号写成58也不能写成5·8；

④带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a×1应写成a；

⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作4/（a-4），3÷a写成的形式.

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12323a

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⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如（a²-b²）平方米

7a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数○为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .

分数线具有“÷”号和括号的双重作用。

例1. 下列式子中，符合书写要求的是（）

1mn（A）a5b（B）5a2b（C）abc（D）

26

例2. 下列式子中，符号代数式书写要求的是（）

11 A．a3 B．3x C．a D．x3人

22

例3. 下列式子中符合书写要求的是（）

A、

a2b41 B、2abc C、abc D、ayz3

33．代数式的系数

代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x，4y的系数分别为3，4。

 单个字母的系数是1，如a的系数是1；

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 只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab的系数是-1。ab的系数是1

4、代数式的项

代数式6x2-2x-7中6x2、-2x、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项

在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。

5、同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

判断几个代数式是否是同类项有两个条件：

 所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可；

 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；

 几个常数项也是同类项。

6、合并同类项

把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律；

②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

 如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0；

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 不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上；

 只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。

7、根据去括号法则去括号

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变符号；比如+（2x+5），括号前面是正号，所以去括号后还是不变：2x+5

括号前面是“－”号去掉，括号里各项都改变符号。比如：-（2x-8），因为括号前面是负号，所以去括号后，括号的每一项都要变为原来的相反数：-2x+8

8、根据分配律去括号：

括号前面是“+”号看成+1，括号前面是“－”号看成-1，根据乘法的分配律用+1或-1去乘括号里的每一项以达到去括号的目的。

①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；

②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“－”号；

③改变符号时，各项都变号；不改变符号时，各项都不变号。

9．代数式的值

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

例1. 当x=1时，代数式px3qx1的值为2005，求x=－1时，代数式- .可修编 .

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px3qx1的值.

“整体”思想在数学解题中经常用到，请同学们在解题时恰当使用.

例2. 如果a2(b1)20,那么代数式(a+b)2005的值为（）

A.–2005 B. 2005 C. -1 D. 1

例3．某品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为（）

A. 0.7a元B.0.3a元C.1010a元 D.a元

3710. 数的一切运算规律也适用于代数式

（1）加法交换律：abba（2）加法结合律：(ab)ca(bc)

（3）乘法交换律：abba（4）乘法结合律：(ab)ca(bc)

（5）分配律：a(bc)abac

11. 几个重要的代数式（m、n表示整数）

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（1）a与b的平方差是： _____； a与b差的平方是：________；

（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是：____ ,则三位整数是：________；

（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：_____ ；偶数是：___，奇数是：____；三个连续整数是： ______；

（4）若b＞0，则正数是:_____，负数是：______，非负数是：_____，非正数是：_____.

11.归纳法

（1）观察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------

请你将猜想到的规律用自然数n(n≥1)表示出来______________________.

（2）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3：

图１ 图2 图3

1、填写下表：

图形标号 1 2 3

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正五边形个数

三角形个数

2、按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？

3、能否分出246个三角形？简述你的理由。

12. 代数式综合应用

某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_____人.

甲以a千米/小时、乙以b千米/小时（a＞b）的速度沿同一方向前进，甲在乙的后面8千米处开始追乙，则甲追上乙需_____________小时.

某工厂有煤m吨，计划每天用煤n吨，实际每天节约用煤b吨，节约后可以多用（）

mmmmmmmm天B、天 A、天C,天 Dnbnnnbnnbnbn

一艘轮船从A港顺水航行到B港的速度为a，从B港逆水航行到A港的速度为b，则此轮船从A港出发到B港后再回到A港的平均速度为（）

A、

某校学生中男生人数为x，女生人数为y，教师人数与全校师生人数的比为- .可修编 .

ab2abababB、C、D、

abab22ab

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1:11，则教师人数为（）

A、xyxyxyxyB、C、D、

1112106

某餐饮公司为路沿街20户居民提供早餐方便，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在何处，才能使这20户居民到P点的距离总和最小？

求图1中阴影部分面积的代数式，并求出当x=3时阴影部分面积（π取3.14）

x

某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米价1.3元；超过5千米，每千米价2.4元。

1、 若某人乘坐了x(x＞5)千米的路程，则他应支付的费用是多少？

2、

若他支付了15元车费，你能算出他乘坐的路程吗？

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