物理初高中衔接:三角函数知识

2024年2月15日发(作者：聊赖的意思)

东风高中20201年高一物理 出题人：何为

高中物理涉及到的数学三角函数知识

(一)锐角三角函数的定义

1.直角三角形的三条边

如图所示,在直角三角形△ABC中,∠C为直角。则AC、BC叫做直角边，AB边叫做斜边，∠A，∠B都是锐角。对于∠A来说，AC边叫做∠A的邻边，BC边叫做∠A的邻边

2.锐角三角函数

三角函数定义如下：

设∠A=α，并令AC=x，BC=y，AB=r，则α的三个三角函数值定义为：

∠A的正弦sinα=∠A的余弦cosα=∠A的正切tanα=（二）锐角三角形的主要性质

∠A的对边斜边∠A的邻边斜边∠A的对边∠A的邻边=BCy=

ABrACx==

ABr=BCy

=ACx1.三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与三角形的边长无关

2. α为锐角时，sinα，cosα，tanα均为正值

3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数，随着角度的增大而增大，余弦函数为减函数，随着角度的增大而增大

4.对于同一个角α，存在着如下关系

（1）平方和关系

该结论对任意α都成立，不仅只是对锐角

（2）比值的关系

1

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5.若α、β互为余角，则有

sinα=cosβ，cosα=sinβ

（三）0－90°之间的特殊角的各三角函数值：

高中物理计算中经常用到0、30°、37°、45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值。现把这些值列在下面的表格中，这些值都是要求记忆的。其它角度的三角函数的值可以查数学用表或用计算器来算

角度

sin

cos

tan

0

030

037

045

053

060

090

0

表格中的37°和53°也许你会感到非常陌生，但是在高中物理中我们会经常用到它们，这两个角度其实大家都非常熟悉，大家在学勾股定律的时候都知道中国古代有“勾三股四弦五”的说法，在勾三股四弦五的直角三角形中，边长为5的边对应的是直角，边长为3的边对应的锐角是37°，边长为4的边对应的锐角是53°，当然这个37°和53°都是近似值，并不是完全准确的，在物理上可以直接使用，但是在数学上是不能用的

（四）角的弧度制表示

1．弧度制——另一种度量角的单位制

在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度等于圆的半径长度时，这段圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。如图：

∠AOB=1rad ∠AOC=2rad

2

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2、角度制与弧度制的换算

一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住。

你能自己推出30°、45°、60°、90°、120°、150°分别等于多少rad了吧！

自主练习

1、锐角∠A的三角函数（按右图Rt△ABC填空）

∠A的正弦：sinA = ,

∠A的余弦：cosA

= ,

∠A的正切：tanA

= ,

2、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b,

1）、三边关系（勾股定理）：

2）、锐角间的关系：∠

+∠

= 90°

3）、边角间的关系：sinA

= ； sinB

= ；

cosA

= ； cosB= ；

tanA

= ； tanB

= ；

3.三角函数的定义及性质

（1）在△ABC中，∠C＝90゜，AC=5，AB=13，则cosB= ，

sinA= ，tanA=

（2）在△ABC中，∠C＝90゜，BC=10，AC=4，则cosB= ，

sinA= ，tanA

（3）在△ABC中，∠C＝90゜，AC=4，BC=2，则cosB= ，

sinA= ，tanB

（4）在△ABC中，∠C＝90゜，BC=2，AC=1，则cosB= ，

sinA= ，tanA

（5）在△ABC中，∠C＝90゜，cosA=13，BC=24，则cosB= ，

3

5

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tanA= ，AC=

（6）在△ABC中，∠C＝90゜，tanB=3，BC=3，则sinB= ，

tanA= ，AC=

4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．

5

5、一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东600，距离为72海里的A处，上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）

A

18海里/小时 B

183海里/小时

C

36海里/小时 D

363海里/小时

6、如图河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

4