勾股定理章起始课教学研究

2024年2月15日发(作者：阿里巴巴logo)

勾股定理章起始课教学研究

摘要：以人教版八年级数学“勾股定理”一章为研究内容，从“是什么”、“为什么学”、“学什么”和“怎样学”这四个维度进行阐述如何利用好本章的章引言部分以上好本章的起始课，让学生清楚本章学习的内容、方法和数学思想等，帮助学生形成良好的认知结构。

关键词：勾股定理；章引言；章起始课；认知结构

勾股定理，是初中阶段学习的一个基本的几何定理，也是非常重要的高频考点。说的是在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。最早由我国西周初的数学家商高提出，因此又叫做商高定理，该发现早于古希腊数学家毕达哥拉斯五百多年。之所以称之为“勾股定理”，是因为在中国古代将直角三角形称作“勾股形”，即称较短的直角边为“勾”，称较长的直角边为“股”，称斜边为“弦”，这也就有了我们最常听到的“勾三股四弦五”。

章起始课，顾名思义，就是新章节的第一堂课，这堂课不是简单的知识讲授，而是系统地综述该章节的基本知识，运用恰当的方法，帮助学生建立起一个新章节的知识结构，然后通过后面的学习不断地丰富这个知识结构，并且通过这个结构理解各个知识间的关系，新旧知识建立联结，使得知识“活起来”。在这个过程中，章起始课起到一个总览全章、承前启后的作用。那么如何上好章起始课、帮助学生建立好新章节的知识结构呢？笔者通过细心研读中学教材，发现上好章起始课其实并不难，因为在中学阶段的教材中，在每一章的最开始，都有一个“章引言”部分，不止是数学，物理、化学等学科都有章引言部分，章引言充当的是一个“先行组织者”的角色，因此笔者认为，教师引导学生利用好每一章的章引言，便是上好章起始课的基础。但是在实际教学当中，有很多老师对于章引言这一先行组织者没有引起足够的重视，不能够很好地帮助学生在新章节第一堂课建立起良好的知识框架和认知结构，同时不利于学生对新章节内容进行初步的思维建构。

对于人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理，要怎样利用好章引言，上好本章的章起始课呢？笔者认为，对于任意一个数学知识，都可以从“是什么”、“为什么学”、“学什么”和“怎样学”这四个维度进行分析，下面笔者将从这四个维度，对如何上好勾股定理的章起始课进行详细阐述。

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是什么——了解核心内容，初步理解概念

章引言中提及“在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股斜边叫做弦，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道，如果勾是三、股是四，那么弦是五。后来人们进一步发现并证明了关于直角三角形三边之间的关系——两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理”。这段话，从勾股定理的源头出发，简要介绍了勾股定理的由来，并且阐述了勾股定理的内容。一方面，体现源远流长的数学文化，另一方面，使学生对勾股定理的内容进行了初步了解，发现勾股定理好像其实并不难，它只是直角三角形中三边之间的一种关系，从而降低了学生对新知识的畏惧感，进而能够更好地调动学生的学习积极性。

1.

为什么学——领悟学习意义，激发学习动机

章引言中第一段提及“章前图中左侧的图案是2002年在北京召开的国际数学大会的会徽，它与数学中著名的勾股定理有着密切的关系”。文中所说的“国际数学大会会徽”指的是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的一个图案，即人们所称的“赵爽弦图”。之所以在开篇着重介绍“赵爽弦图”作为国际数学大会的会徽，是要从侧面强调勾股定理的重要地位与作用。此时应该将“赵爽弦图”单独拿出来，引导学生探索该图形的深奥之处（但是要注意这个地方要点到为止，课本23和24页会对该图进行详细介绍，用于证明勾股定理），此外，再通过多媒体技术展示生活中用到的勾股定理，比如电线杆的牵拉线的长度、斜坡长度如何求得之类的现实问题。这些问题旨在强调勾股定理的应用价值，

此外还应强调学习勾股定理的文化价值（如：数学文化中提及的数学史）。让学生对即将学习的勾股定理充满好奇，调动学生对勾股定理的好奇心。

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学什么——把握知识重点，学习有的放矢

在本章章引言中最后一段强调：“本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决相关问题，由此可以加深对直角三角形的认识”。短短两行多文字，言简意赅，直接点出了本章的学习内容，将重点知识单摆浮搁，并且强调知识的形成过程是“探索并证明”，也就是说，这两个定理不是由老师直接给出，而是让学生来推理证明，一方面能够加强学生的逻辑推理能力，另一方面能够使学生更好地掌握本章重点内容，有利于他们形成良好的认知结构。在获得了这两个定理之后，还要会应用这两个定理去解决相关问题。通过简单的几句话直接指明要点，接下来就是引导学生完成“探索并证明”的过程。

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怎么学——掌握学习方法，获得系统知识

至于勾股定理及其逆定理的探索证明，在章引言中并没有提及，但是在本章第一节以很长的篇幅介绍了勾股定理的证明。从毕达哥拉斯的“瓷砖问题”入手，紧接着展现出一个最简单的“毕达哥拉斯树”，也就是人们常说的“勾股树”。此时，一定要让学生亲自去探索这一部分内容，一方面可以让学生更多的了解数学史，另一方面学生亲自探索的知识会更加牢固。至于如何进行引导，笔者认为，几何画板将是一个不错的选择。运用几何画板，将毕达哥拉斯发现的瓷砖问题用不同颜色区分开来，多划分几个区域，引导学生发现问题，进而，用几何画板画出“毕达哥拉斯树”，尽量多的画出勾股树的“树枝”，通过拖动“根部”正方形的一个顶点，改变正方形的大小，观察其它正方形的变化情况，逐步引导学生发现其中的奥秘。也就是要求学生用已有的几何知识和方法，通过观察、比较，初步探索出毕达哥拉斯树所蕴含的数学知识，通过学生之间相互讨论，最后老师总结给出结论：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积，即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关

系，斜边的平方等于两直角边的平方和。下一步，将采用从特殊到一般的探究方法，即继续利用几何画板，通过拖动毕达哥拉斯树“树枝”的正方形的一个顶点，改变该正方形的大小，观察其它正方形的变化情况，旨在引导学生观察并猜测，对于非等腰的直角三角形，是否满足两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的大正方形的面积，即斜边的平方是否等于两直角边的平方和。针对这一猜想进行进一步探究证明，此时就要结合赵爽弦图利用几何画板引导学生一步步证明。

在学习本章知识的过程中，采用从特殊到一般的研究方法：先研究等腰直角三角形三边之间的关系，在将其推广到一般情况，研究非等腰直角三角形三边之间的关系，进而得到勾股定理及其逆定理。

通过上述针对初中数学第十七章《勾股定理》的章起始课和引言的研究分析，对于如何上好本章的章起始课提出了一些教学建议，笔者从四个维度系统全面地阐述了章起始课应该给学生传递的信息，以及如何利用好几何画板引导学生通过自行探索获取新知。具体的教学设计可以结合本文的研究内容以及教学建议，根据学生的认知发展水平和教育环境等进行合理的调整或改进。在实际教学当中，不仅要利用好章引言上好章起始课，还要利用好每一章后面知识结构图。两者相结合会更有利于学生形成良好的认知结构，从而为后面的学习打下良好的基础。

参考文献：

1.

周远方，方延伟，叶俊杰.“章引言”是起始课教学指路的明灯[J].数学通报，2015（05）.

2.

任芬芳.初中数学“图形与几何”内容认知水平比较研究[D].辽宁师范大学,2012.