2020初中几何专项精讲《第8讲.勾三股四弦五II》

2024年2月15日发(作者：保护地球英语)

第八讲.勾三股四弦五II

【教学目标】

1.复习直角三角形及勾股定理；

2.掌握勾股定理的直接应用；

3.掌握构造勾股定理法。

4.掌握勾股定理的综合应用

【知识、方法梳理】

1. 勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：abc，那么这个三222角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足abc的三个正整数叫做勾股数（注意：若a,b,c为勾股数，那么222ka,kb,kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a,b,c满足abc，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若cab，则ABC是以C为直角的三角形；

若abc，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若abc，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

ooo2222222222221

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段

【典例精讲】

类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

例1. 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【思路点拨】：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。

【解析】：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：

3x4x20

222 化简得x16；

∴直角三角形的面积＝213x4x6x296

2 总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。

类型二：勾股定理的应用

例2. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，oAP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

【思路点拨】：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。

【解析】：作ABMN，垂足为B。

在

RtABP中，∵ABP90,APB30,AP160,

oo1AP80.（在直角三角形中，30o所对的直角边等于斜边的一半）

2 ∵点

A到直线MN的距离小于100m,

∴

AB ∴这所中学会受到噪声的影响。

如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100m，

2

由勾股定理得：

BC100803600,∴

BC60。

222

同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100m，BD＝60m,

∴CD＝120m。

拖拉机行驶的速度为 :18km/h5m/s

t120m5m/s24s。

答：拖拉机在公路

MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。

总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

类型三：数学思想方法

（一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

例3. 如图所示，ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE12，CF5．求线段EF的长。

【思路点拨】：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．

【解析】：连接AD．

因为BAC90，ABAC． 又因为AD为ABC的中线，

所以ADDCDB．ADBC．

且BADC45．

因为EDAADF90． 又因为CDFADF90．

所以EDACDF． 所以AEDCFDASA．

所以AEFC5．

同理：AFBE12．

在Rt△AEF中，根据勾股定理得：

EFAEAF51213，所以EF13。

总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

222222oooo3

（二）方程的思想方法

【思路点拨】：由ab33，再找出a、b的关系即可求出a和b的值。

oo 例4.已知ABC中，C90，A60，ab33，求a、b、c的值。

【解析】：在RtABC中，A60o，B90oA30o，

则c2b，由勾股定理，得ac222b2b23b。

因为ab33，所以3bb33，

b331313 ，a3b333，c2b23。

总结升华：在直角三角形中，30o的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

【双基训练】

1.等边三角形的边长为2，求它的面积。

2.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

3.若直角三角形的三边长分别是n1，n2，n3，求n。

4.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

4

5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

6.如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。

（1）直接写出单位正三角形的高与面积。

（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？

（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。

【纵向应用】

7.如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB8cm，BC10cm，求EF的长。

练习题答案

5

【双基训练】

1.【答案】如图，等边ABC，作ADBC于D

1BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

2 ∵ABACBC2（等边三角形各边都相等）

∴BD＝1

在直角三角形ABC中，AB2AD2BD2，

222 即：ADABBD13

∴AD3

1

SABCBCAD3

23a。 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为42.【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y，根据题意得：

xy512(1)

2

22(2)xy5 由（1）得：xy7，

则BD

xy49，x2xyy49 (3)

222 (3)－(2)，得：xy12

∴直角三角形的面积是11xy126cm2

22

3.【思路点拨】：首先要确定斜边（最长的边）长n3，然后利用勾股定理列方程求解。

【解析】：此直角三角形的斜边长为n3，由勾股定理可得：

n1n2n3

化简得：n4

∴n2，但当n2时，n110，∴n2

总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。

4.【解析】：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，

对数据较大的可以用cab的变形：b2c2a2caca来判断。

2222222 例如：对于选择D，

∵840394039，

2 ∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。

同理可以判断其它选项。 【答案】：A

5. 【解析】：他们原来走的路为3+4＝7(m)

设走“捷径”的路长为xm，则x32425

故少走的路长为7－5＝2(m)

又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4

6

3133，面积是1。

2224 （2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积32463。

4 （3）过A作AKBC于点K（如图所示），则在RtACK中，6.【答案】（1）单位正三角形的高为333AK32,

22215KC11，故ACAK2KC222335213

222

7. 【解析】：因为ADE与AFE关于AE对称，所以ADAF，DEEF。

因为四边形ABCD是矩形，所以BC90，

在RtABF中，AFADBC10cm，AB8cm，

所以BFoAF2AB2102826cm。

所以FCBCBF1064cm。

设ECxcm，则EFDE8xcm。

在RtECF中，ECFCEF，即x48x，解得x3。

222222

EFDE8xcm5cm 即EF的长为5cm。

7