SAS和蒙物卡罗模拟技术

2024年2月13日发(作者：天真)

SAS和蒙特卡罗模拟_随机数

(2020-11-10 16:24:47)

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一、什么缘应选择SAS做蒙特卡罗模拟

什么缘故要用SAS做蒙卡第一，对我来讲，我只会用SAS，而且打算用SAS完成我所有的工作。固然，其他一些通用的理由有(Fan, etc.,2002)：

1. 蒙卡是个计算密集的活，而SAS Ba、SAS Macro、SAS/IML壮大而灵活的编程能力能知足这一要求；

2. 做蒙卡时要用到大量的统计/数学技术，而SAS就内置了大量的统计/数学函数(在

SAS/Stat和SAS/ETS)；用Fortran或C++固然也是超级好的主意，只是他们缺少内置的统计函数，代码就要冗长复杂很多。

二、什么是蒙卡一个启发性例子

好，开始，什么是蒙卡了解它背景知识的最好方法固然是。蒙特卡罗是位于摩洛哥的一家赌场，二战时，美国Los Alamos国家实验室把它作为核裂变运算机模拟的代码名称。作为模拟方式，蒙卡以前就叫统计抽样(statistical sampling)，咱们感爱好的结果因为输入变量的不确信而不可知，但如果是能依概率产生输入变量的样本，咱们就能够够估量到结果变

量的散布。跟蒙卡对应的，还有一种模拟技术叫系统模拟，包括排队、库存等模型，这些模型都跟从时刻推移而显现的事件序列有关。下面举个蒙卡的例子，来自Evans, etc.( 2001)的超级简化版。

假设一家企业，利润是其需求量的函数，需求是随机变量。为了简化讨论，假定利润确实是需求的两倍。那个地址输入变量确实是不可控的需求，结果变量确实是咱们感爱好的利润。假设需求以相同的概率取10、20、30、40、50、60这六种情形。在如此的简化下，咱们就能够够投一枚均匀的骰子来产生需求的样本，若是点数为1，对应得需求确实是10，点数为2，需求确实是20，以下类推。如此，咱们的模拟进程确实是：

1. 投骰子；

2. 依照骰子的点数确信需求量；

3. 依照需求量，求利润。

掷10次骰子，假设咱们的模拟结果如下：

重复次数

1

2

3

4

5

6

7

骰子点数

5

3

3

6

1

3

4

需求量

50

30

30

60

10

30

40

利润

100

60

60

120

20

60

40

8

9

10

5

2

5

50

20

50

100

20

50

如此通过模拟需求的样本，咱们对结果利润的散布也就有所知晓，比如平均利润能够算出确实是63。蒙卡一个重要的步骤确实是生成随机数，那个地址咱们是用投骰子来完成。

三、又一个例子：利用蒙特卡罗模拟方式求圆周率∏(pi)

再举个很出名的例子，确实是估量圆周率∏的值，来自Ross(2006)。那个实验的思路正好能够帮咱们温习一下几何概型的概念。咱们明白概率的古典概型，确实是把求概率的问题转化为计数：样本空间由n个样本点组成，事件A由k个样本点组成，那么事件A的概率确实是k/n。考虑到概率和面积在测度上具有某种共性，几何概型的大体方式是把事件跟几何区域相对应，用面积来计算概率，其要点是：

1. 以为样本空间Ω是平面上的某个区域，其面积记为υ(Ω)；

2. 向区域Ω随机抛掷一点，该点落入Ω内任何部份区域内的可能性只与这部份区域的面积成比例，而与这部份区域的位置和形状无关；

3. 设事件A是Ω的某个区域，面积为υ(A)，那么向区域Ω上随机抛掷一点，该点落在区域A的可能性称为事件A的概率，P(A)=υ(A)/υ(Ω)。

扯远了，回到用蒙卡估量圆周率∏的实验思路。假设样本空间是一个边长为2面积为4的正方形，咱们感爱好的

事件是正方形内的一个半径为1面积为∏的圆，因此向正方形内随机抛掷一点，落在圆里面的概率为∏/4。实验的思路如下：

1. 1）生成随机数——生成n个均匀落在正方形内的点；

2. 2）对落在正方形内的n个点，数一数正好落在圆里面的点的个数，假设为k（另外n-k个点就落在圆外面的正方形区域内）。

3. 3）k/n就能够够大致以为是圆的面积与正方形的面积之比，另其等于∏/4，就能够够求出圆周率∏的估量值。

又，提供了利用电子表格Excel求解以上问题的详细进程，有爱好能够看看。另外，也有一个详细的说明，用Mathematica实现。

四、随机数很重要（和下期预报）

在第一个例子中，我强调了骰子若是均匀的。那里骰子确实是咱们的随机数生成器，骰子的均匀程度确实是咱们随机数的“随机”成份。在上面的10次实验中，投出了3次点数“3”和3次点数“5”，然后点数“1”、“2”、“4”、“6”各显现一次——因为只是重复了10次，如此咱们对骰子的均匀程度不行评估，但如果是重复无数次——假设是十万次，若是还显现类似比例的结果，那么就有理由疑心这粒骰子的均匀程度了。若是骰子灌了铅，比如投出点数“6”的可能性从六分之一上升到6分之三，那么依照这粒骰子来做模拟，咱们就有高估需求和利润的危险。

下次就讲讲随机数的生成原理，固然结合SAS来讲，或也会提一下Excel。

五、其他软件包

在商业领域，基于Excel的插件比较兴盛，比如应用就较为普遍，有试用版能够下载。其他竞争产品有、等。此刻听说也开始兴盛起来，大有后发先至之势。他的开发者Johnathan

Mun还在Wiley Finance系列有一本书，。

S语言（R或S-Plus）由于其面对对象的特性，加上丰硕的内置函数和诸多用户提供的库，使得R或S-Plus也是蒙卡研究的得力工具——或比SAS更有前景。那个我不熟，略之。

Random Numbers

最简单、最大体、最重要的随机变量是在[0,1]上均匀散布的随机变量。一样地，咱们把[0,1]上均匀散布随机变量的抽样值称为随机数，其他散布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。以下谈的都是所谓“伪随机数”(Pudo Random Numbers)。产生随机数，能够通过物理方式取得（好久好久以前，兰德公司就曾以随机脉冲源做信息源，利用电子旋转轮来产生随机数表），但现今最为普遍的乃是在运算机上利用数学方式产生随机数。这种随机数依照特定的迭代公式计算出来，初值确信后，序列就能够够预测出来，因此不能算是真正的随机数（就成为“伪随机数”）。只是，在应用中，只要产生的伪随机数列能通过一系列统计查验，就能够够把它们当做“真”随机数来用。

此刻大多软件包内置的随机数产生程序，都是利用同余法(Congruential Random

Numbers Generators)。“同余”是数论中的概念。

0.预备知识：同余

捡回小学一年级的东西："4/2=2"读作“4除以2等于2”，或，“2除4等于2”。还有求模的符号mod(number,divisor)，其中，number是被除数（在上式中，为4），divisor

是除数（上式中的2）。如此的约定对SAS和Excel都通用，如mod(4,13)=4，mod(13,4)=1。

此刻咱们能够开讲“同余”了。设m是正整数，用m去除整数a、b，取得的余数相同，那么称“a与b关于模m同余”。上面的概念能够读写成，对整数a、b和正整数m，假设mod(a,m)=mod(b,m)，那么称“a与b关于模m有相同的余数（同余）”，记做a≡b(mod m)（这确实是同余式）。举个例子，mod(13,4)=1，mod(1,4)=1，那么读成13和1关于模4同余，记做13≡1(mod 4)。固然，同余具有对称性，上式还能够写成1=13(mod 4)。

a≡b(mod m)的一个充要条件是a=b+mt，t是整数，比如13=1+3*4。a=b+mt能够写成(a-b)/m=t，即m能整除(a-b)。

这些就够了。更多基础性的介绍，能够参考《》。

1.乘同余法

同余法是一大类方式的统称，包括加同余法、乘同余法等。因为这些方式中的迭代公式都能够写成上面咱们见过的同余式形式，故统称同余法。经常使用的确实是下面的乘同余法(Multiplicative Congruential Generator.)。符号不行敲，做些约定，如R(i)确实是R加一个下标i。

乘同余法随机数生成器的同余形式如下：R(i+1)=a*R(i) (mod m)。那个迭代式能够写成更直观的形式，R(i+1)=mod[a*R(i),m]，其中初值R(0)称为随机数种子。因为mod(x,m)老是等于0到m-1的一个整数，因此最后把R(i+1)那个随机序列都除以m，就能够够取

得在[0,1]上均匀散布的随机数。下面用电子表格演示一遍，假设随机数种子R(0)=1，a=4，m=13：

1

2

3

4

A

i

0

1

2

B

R(i)

1

=D2

=D3

C

a*R(i)

D E

mod[a*R(i),m] mod[a*R(i),m]/m

=B2*4 =mod(C2,13) =D2/13

=B3*4 =mod(C3,13) =D3/13

=B4*4 =mod(C4,13) =D4/13

上面显示的是公式（Excel中，公式与计算结果的转换，用快捷键ctrl+~实现），结果看起来是如此的，E列确实是咱们想要的在[0,1]上均匀散布的随机数：

1

2

3

4

A

i

0

1

2

B

R(i)

1

4

3

C D E

a*R(i) mod[a*R(i),m] mod[a*R(i),m]/m

4

16

12

4

3

12

上表中，a*R(1)=16，R(2)=3，m=13，一个同余式确实是R(2)=a*R(1) (mod m)，3=16(mod 13)，或说，16-3能够被13整除——同余法确实是这意思了。说“乘同余法”，要点在于a*R(i)是乘法形式。在SAS系统中，a=397,204,094，m = 2^31-1=47（一个素数），随机种子R(0)能够取1到m-1之间的任何整数。

2.伪随机数的查验

此刻内置于各大软件包的随机数生成器都通过了完全的查验，咱们固然能够安心地利用那个黑箱。或那么咱们也能够多了解些。一个好的“伪”随机数列，应该看起来就跟从[0,1]上均匀散布的随机数列中随机抽掏出来的一样。两个比较直观的查验有：

1. 均匀性查验——所有的数是不是均匀地散布在[0,1]区间；

2. 独立性（或不相关）查验——序列中的数不存在序列相关，每一个数都跟其前后显现的数独立无关。一个例子是如、、、、，那个地址每一个接踵的数都正比如它前面的一个数大，如此那个数列就似乎有了某种“格局”。

具体的查验方式就略之了，更多请参见徐钟济（1985）。

3.生成其他概率散布的随机数

前面提到过，咱们把[0,1]上均匀散布随机变量的抽样值称为随机数，其他散布随机变量的抽样都是借助于随机数来实现的。对其他持续型散布，（积存）散布函数为F(x)，r是在[0,1]上均匀散布的随机变量，另r=F(x)，解出的x确实是该持续型散布的随机抽样。由于x能够写成r的反函数，该变换就称作“逆变换”(Inver Transformation method)。对离散型散布，思路类似，只是繁琐些，具体能够见徐钟济（1985）、Ross（2006）和Evans等（2001）。大多数相关软件包都会提供各类散布的随机数生成函数，明白有这回事就能够够。最重要的，是咱们陈述一类问题时，明白需要用哪一种概率散布来描述Evans等（2001）：

经常使用的持续散布

1. 均匀散布(Uniform Distribution)描述在某最小值和最大值之间所有结果等可能的随机变量的特性。

2. 正态散布(Normal Distribution)是对称的，具有中位数等于均值的性质，确实是咱们熟悉的钟形形状。各类类型的误差常常是正态散布的。最后，作为中心极限定理的推论，大量具有任意散布的随机变量的平均数也呈正态散布。

3. 三角形散布(Triangular Distribution)由三个参数来概念，最大值、最小值和最可能值。临近最可能值的结果比那些位于端点的结果有更大的显现机遇。

4. 指数散布(Exponential Distribution)经常使用来构建在时刻上随机重现的事件的模型，如顾客抵达效劳系统的时刻距离、机械元件失效前的工作时刻等。它的要紧性质是“无经历性”(Memoryless) ，即当前时刻对以后结果没有阻碍。例如，不论机械原先已经运转了多长时刻，它继续运转直至显现故障的时刻距离总有一样的散布。

5. 对数正态散布(Lognormal Distribution)：假设随机变量x的自然对数是正态的，那么x就服从对数正态散布。对数正态散布的常见例子是股票价钱。

经常使用的离散散布

1. 贝努利散布(Bernoulli Distribution)描述的是只有两个以常数概率显现的可能结果的随机变量的特性；

2. 二项散布(Binomial Distribution)给出每次实验成功概率为p的n次独立重复贝努利实验的模型；

3. 泊松散布(Poisson Distribution)用于成立某种气宇单位内发生次数的模型的一种离散散布，如某时段内某事件发生的次数。

其他有效的散布如伽玛散布(Gamma Distribution)、威布尔散布(Weibull Distribution)、贝塔散布(Beta Distribution)略之。

4.下期预报

上次落了些东西。说到蒙卡与C++，在数量金融领域，不能不提的一本书确实是Mark Joshi的C++ Design Patterns and Derivatives Pricing (Cambridge Uni. Press, 2004)，面试中必然要说自己读过的，如这人家以为你至少会用C++做一个蒙特卡罗模拟。那个系列只讲SAS，下次先讲如何用SAS生成随机数，然后确实是具体的项目。

SAS随机数函数及CALL子程序

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《》——简介，通过例子成立起蒙卡的直观概念；参考软件包及书目

《》——随机数入门；参考书目

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一、SAS随机数函数和CALL子程序

SAS系统产生随机数，两种方式，利用SAS函数(Functions)或CALL子程序(CALL

Routines)，它们的语法格式是（具体的区别容后讨论）：

方式

函数

代码 说明

var=name(ed,) var为存储随机数列的变量，name为特定的分布函数形式，ed为随机数种子，为特定分布要求的参数（可选）

CALL子程序 call 同上,记得ed=0, ±1,±2, , ±

name(ed,,var) (2**31-2)

SAS可用的随机数函数列表如下（能够参见SAS Help and Documentation-SAS

Products-Ba SAS-SAS Language Dictionary-Functions and CALL

Routines-Functions and CALL Routines by Category）：

分布 SAS函数 说明

n为独立实验的次数，p为成功概率

二项分布(Binomial) ranBin(ed,n,p)

指数分布(Exponential)

ranExp(ed)

正态分布(Normal) ranNor(ed),or

normal(ed)

ranNor和normal是同质的，但normal没有相对应的CALL子程序

泊松分布(Poisson) ranPoi(ed,m) m为均值

均匀分布(Uniform) ranUni(ed),or

uniform(ed)

ranUni和uniform是同质的，但uniform没有相对应的CALL子程序

柯西分布(Cauchy) ranCau(ed)

伽玛分布(Gamma) ranGam(ed,a)

a>0为形状参数

由分布律表格决定的ranTbl(ed,p1,p2,...pn) ∑p=1

离散分布(tabled

probability

distribution)

三角分布(Triangular)

ranTri(ed,h) h为斜边（最可能值）

上面的随机函数，除normal和uniform，都能够由直接相应的CALL子程序挪用。

二、SAS随机数函数和CALL子程序：比较

用SAS随机数函数同时创建的多个随机数变量其实都属于同一个随机数列。这话费解，一个例子先，创建两个随机数变量，各包括3个记录，其中x1的种子为123，x2的种子为456：

data ranuni(drop=i);

retain ed1 123 ed2 456;

do i=1 to 3;

x1=ranuni(ed1);

x2=ranuni(ed2);

output;

end;

run;

proc print data=ranuni;run;

结果为：

Obs ed1 ed2 x1 x2

1 123 456

2 123 456

3 123 456

仿佛没什么异样。咱们把上面的x1增加为6个记录：

data ranuni2(drop=i);

retain ed1 123;

do i=1 to 6;

x1=ranuni(ed1);

output;

end;

run;

proc print data=ranuni2;run;

结果如下，把上下用红色标出的数字对照看一看：

Obs ed1 x1

1 123

2 123

3 123

4 123

5 123

6 123

什么意思在第一段代码中，x2的种子全然不起作用，把x2的记录安插到x1里，看起来确实是用种子123产生的随机数列加长了罢了。x2的第一个值并非是由种子456产生的，而是产生第一个x1后的下一个值，x1、x2其实属于同一个随机数列，尽管x2的种子被指定为456，而x1的被指定为123。此刻就能够够重复上面的一句话：用SAS随机数函数同时创建的多个随机数变量其实都属于同一个随机数列。

用CALL子程序就能够够同时产生独立的随机数列。

data ranuni3(drop=i);

retain ed3 123 ed4 456;

do i=1 to 3;

call ranuni(ed3,x3);

call ranuni(ed4,x4);

output;

end;

run;

proc print data=ranuni3;run;

结果如下：

Obs ed3 ed4 x3 x4

1 28 6

2 6 4

3 4 0

以上x3确实是x1。x1和x3的初始种子都是123，但x3那个结果显示的种子是当前种子值。要在SAS随机数函数语句中显示随机种子的当前值，能够由以下代码给出：

data ranuni4(drop=i);

retain ed1 123;

do i=1 to 3;

x1=ranuni(ed1);

ed=x1*(2**31-1);

output;

end;

run;

proc print data=ranuni4;

var ed1 ed x1;

run;

结果如下，能够跟上面由CALL子程序得出的结果对照：

Obs ed1 ed x1

1 123 28

2 123 6

3 123 4

---------参考资料---------

1. Xitao Fan, etc..Monte Carlo Studies: A Guide for Quantitative

Rearchers. SAS Institute Inc.,2002

2. 朱世武《SAS编程技术与金融数据处置》，北京：清华大学出版社，2003