摆线公式等

2024年2月12日发(作者：征稿)

摆线公式等

摆线方程

它是这样定义的：一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线

x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）

设该点初始坐标为（0，0）,圆心坐标为（0,a)

当圆转动φ时，圆心坐标为（aφ, a)

该点相对于圆心坐标为（-asinφ，-acosφ）

所以该点坐标为（a（φ－sinφ），a（1－cosφ））

即x＝a（φ－sinφ），y＝a（1－cosφ）

摆线[编辑]

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一条由滚动的圆所生成的摆线

在数学中，摆线 (Cycloid) 被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是roulette曲线的一个例子。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

目录

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1 历史

2 方程

3 面积

4 弧长

5 其它相关联的曲线

6 应用

7 参考

8 外部连结

历史[编辑]

摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森 (Marin Mernne) 也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它

的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。[1].

方程[编辑]

由半径为2的圆所生成的摆线

过原点半径为r的摆线参数方程为

在这里实参数t 是在弧度之下，圆滚动的角度。对每一个给出的t ，圆心的坐标为 (rt, r)。 通过替换解出 t 可以求的笛卡尔坐标方程为

摆线的第一道拱由参数 t 在 (0, 2π) 区间内的点组成。

摆线也满足下面的微分方程。

面积[编辑]

一条由半径为 r 的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

微分，

于是可以求得

弧长[编辑]

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

其它相关联的曲线[编辑]

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线 (curtate cycloid) 和长摆线 (prolate cycloid)，两者合称为次摆线

(trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。trochoid则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到 外摆线 (epicycloid)（沿着圆的外部运动， 定点在圆的边缘），内摆线 (hypocycloid)（沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线

(epitrochoid)和内旋轮线 (hypotrochoid)（定点可以在圆内的任一点包括边界。）

小圆边缘沿大圆转动：圆外螺线/外摆线 · 圆内螺线/内摆线

小圆短径外转：外旋轮线 · 小圆长径内转：内旋轮线

小圆边缘沿直线转动：摆线

外摆线[编辑]

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不同的外摆线

外摆线 是所有形式为

的曲线，其中 n 为正实数。

轨迹定义[编辑]

n = 4的外摆线轨迹

假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的一条外摆线。

倍的圆在上滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是

心脏线[编辑]

心脏线

心脏线是外摆线的一种，其 n 为 2。它亦可以极坐标的形式表示：

r = 1 + cos

θ

这样的心脏线的周界为 8，围得的面积为心脏线亦为蚶线的一种。

。

在 曼德博集合 正中间的图形便是一个心脏线。

心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在 1741年 的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。

肾脏线[编辑]

肾脏线亦是外摆线的一种，其 n 为 3。

圆内螺线[编辑]

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内摆线（圆内螺线）是所有形式为

的曲线，其中 n 为正实数。

轨迹定义[编辑]

假设有一个定圆，若有另一个半径是刚才的圆形的迹就是一条内摆线（圆内螺线）。

倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨

三尖瓣线和星形线[编辑]

三尖瓣线（Deltoid，字自“Delta”Δ）是内摆线（圆内螺线）一种，其 n 为 2（或1/2）。[1]

星形线是内摆线（圆内螺线）一种，其 n 为 3。

外旋轮线[编辑]

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R = 3, r = 1 和 d = 1/2 的外旋轮线

外旋轮线(Epitrochoid - IPA [ɛpɪˈtrɒkɔɪd, -ˈtrəʊ-])是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆外侧滚转的半径 r 的圆上的一个点而得到的转迹线，这个点距离外部滚动的圆的中心的距离是 d。

外旋轮线的参数方程是

特殊情况包括 R = r 的蜗牛线和 d = r 的外摆线。

经典的玩具万花尺追踪外旋轮线和内旋轮线。

转子活塞发动机的定子是外旋轮线。

内旋轮线[编辑]

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红色曲线是 R = 5.0, r = 3, d = 5 的内旋轮线

内旋轮线(hypotrochoid)是追踪附着在围绕半径为 R 的固定的圆内侧滚转的半径为 r 的圆上的一个点得到的转迹线，这个点到内部滚动的圆的中心的距离是 d。

内旋轮线的参数方程是:

特殊情况包括 d = r 的内摆线和 R = 2r 的椭圆。

经典的玩具万花尺追踪出内旋轮线和外旋轮线。