圆滚滚 滚滚圆——摆线的制作、探究与拓展

2024年2月12日发(作者：思锐三脚架)

２０１２年第３期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　ＮＯ．３　２０１２　摘要：利用摆线教材资源，以画板为实验平台，进行了一　直线切于Ａ，线段ＤＡ的长度等于弧长ＭＡ，即ＯＡ＝　次摆线探究与拓展的教学，学生通过制作、观察，比较过程，　２．作图指导　产生他的经验体系，形成他的认知结构．关注知识本身探索与发　原理清楚后，　只需将上述动圆在基线为直线上滚动，改变　现，同样注重探究过程中带来的体验和思索，并不一定要懂得　基线为圆即可．　所有的原因，至少懂得欣赏和发现．　关键词：摆线探究；圆；滚动；几何画板　构造思路：动圆在定圆内无滑滚　动时，即使得弧长　等于弧长ＦＤ　Ｅ　（如图３，动圆为０Ｐ）．与圆在直线上　探究是数学的生命线，没有探究，便没有数学的发展，因　构造类似，将动圆与定圆的交点Ｆ以　此在新课改背景下，探究成了贯穿整个高中课程始终的重要内　点Ｐ为中心按一定的角度旋转得到点　容，让学生在探究的过程中理解数学的本质．本文充分利用人教　一　Ａ版（（普通高中课程标准实验教科书・数学（选修４．４）》教材资　Ｄ，旋转角度可由公式鱼　堕得到，　图３　源，进行了一次摆线探究与拓展的教学设计．课件设计突出交互　其中Ｒ、ｒ分别为定圆和动圆的半径．但由于弧长ＥＦ的范围为　性、实验性和探究性，教学效果比较理想．　［０，２１ｒ］，只能绘制动圆绕定圆滚动一周时的轨迹，如果定圆与　一、问题　动圆的半径之比不是一个有理数，则轨迹是不封闭的曲线，当　个耐人寻味的问题总是吸引人们从不同的角度对其进行　弧长ＥＦ范围继续扩大时，还可继续绘制出相应的轨迹．其轨迹　研究并推广．　如何表现呢？下面，将制作方法加以改进，从而绘制出弧长ＥＦ　一在学习完摆线方程内容后，教材设置了一个阅读材料：在　范围为全体实数的旋轮线．　操作步骤如下．　商场中有一种绘制曲线的工具，它包含一　个在圆周上刻满锯齿的小圆板，以及一个　步骤１：新建参数ｒ、Ｒ，单位距离．初赋值１（厘米）和　３（厘米），并标记Ｒ值为距离．　在内处圆周上都刻有锯齿的大圆环板（如　图１）．使用时，将小圆板放在大圆环板内　步骤２：作点０，并将０点以固定距离为标记距离，固定　角度为　平移得到Ｅ，以０点为圆心，Ｅ为圆上一点构造（定）圆．　步骤３：构造线段ＡＢ，在线段上取点Ｃ，并度量点（ｃ）的　值，将标签改为ｔ．　图１　部并让锯齿套合，将笔插入小圆板上的一　个小洞，当小圆板沿着大圆板滚动时，铅　状呢？　笔就会描绘出一条曲线．这曲线是什么形　，　步骤４：数据计算ｔ・３６００。并标记角度．　步骤５：双击点Ｏ标记为中心，选中点Ｅ按标记角度旋转　小圆板在大圆板内部滚动，用数学语言表示，就是一个小　圆沿着一个大圆的内部无滑动地滚动．滚动时，小圆圆周上的某　得到点　个定点所描绘的曲线．　图１中，小圆形板，自然也可以与大圆环形板的外圆周套　步骤６：数据计算一ｒ，并标记为距离．　步骤７：选中点Ｆ，按标记角度和距离平移得到点Ｐ，以Ｐ　动）圆．　合而滚动，这就是将一个小圆沿着一个大圆的外部作没有滑动　为圆心，过点Ｆ构造（的滚动．滚动时，小圆圆周上的某个定点所描绘的曲线又是什么　步骤８：数据计算ｔ・　形状呢？　１．小圆滚动的构造原理及几何画板实现　，　３　６００。・生・（一１），并标记　ｒ　思路来源于圆的平摆线．我们知道：当半径为ｒ的圆沿着一　为角度，双击点Ｐ标记为　条直线滚动时，圆周上的一点　的轨迹就是平摆线（或旋轮　中心，选中点Ｆ按标记角　度旋转得到点Ｄ．　线），如图２所示，假设曰为圆　步骤９：选中点Ｃ、Ｄ　心，圆周上的定点为　，开始时　构造轨迹，如图４所示．　位于Ｏ处．圆在直线上滚动时，　圆外滚动构造．　点　绕圆心作圆周运动，转过　步骤１－５与上面相同．　图２　角厶４删＝　（弧度）后，圆与　收稿日期：２０１１－１０—２７　ｔ　＾　Ｃ　童　图４　作者简介：杨爱红（１９７８一），女，江西丰城人，中学一级教师，主要从事信息技术有效整合的探索研究　３０　

步骤６：选中ｒ值并标记为距离，选中点，，按标记角度和　（３）特殊地，当　＝２ｒ时，内摆线变成了一线段（哥白尼定　距离平移得到点Ｐ，以Ｐ点为圆心，过点Ｆ构造（动）圆．　理），相应的变幅内摆线则是一椭圆（卡丹转盘），如图８所示．　步骤７：数据计算ｔ．３　６００。．　，并标记为角度，双击点　ｒ　Ｐ标记为中心，选中点Ｆ按标记角度旋转得到点Ｄ．　步骤８：选中点Ｃ、Ｄ构造轨迹，如图５所示．　（１）　（２）　图８　２．自转问题　半径为ｒ的ｏＰ沿半径为Ｒ的（３０的外侧无滑动地滚动，当　回到出发点时，动圆Ｐ自转了多少圈？　有学生这样考虑：若将曲线轨迹换成直线时，圆沿着直线　＾　Ｃ　Ｂ　滚动一圈，圆心Ｂ移动的距离为圆的周长．　图５　有了这个结论（距离是２ａｘｒ）后，学生将动圆圆心Ｐ在滚动　二、探究　过程中的运动轨迹拉直来分析其自转情况，如图９所示．　１．摆线图形探究　（１）若取线段ＰＤ上一点Ｍ，构造　相对于ｃ点的轨迹，　则可得短幅内摆线；若　在线段ＰＤ的延长线上，则可得长幅　内摆线，如图６所示．　图９　我们看到，动圆Ｐ沿定圆０的　外侧无滑动地滚动，当回到出发点　时，圆心Ｐ的运动轨迹是一个以点０　为圆心，半径为（Ｒ＋ｒ）的圆周，根据　（１）　（２）　结论，故自转了　：　１Ｔｒ　ｒ　图６　（２）改变ｒ与Ｒ比值，可得到点Ｄ相对于点Ｃ的轨迹，如　圈，如图１０所示．　图７所示．　【说明】将不熟悉的问题转化为　图１ｏ　熟悉的研究过的问题，将研究曲线运动的问题转化为研究直线　回到出发点时，动圆自转了多少圈？　ｒ　１　◎　运动的问题，是一种有效的思维迁移．平时解题时就是要这样问　自己，能否转化为自己熟悉的问题．　引申：动圆绕着ｎ个相切的固定圆外侧无滑动地滚动，当　三、拓展　ｒ　１　１．花朵飘飘　ｌｉ　Ｒ　４　若点Ｄ不是由，关于点Ｐ旋转，而是ｑ）Ｐ上任一点，又能　（１）　（２）　得到什么样的曲线呢？（如图１１所示，其中动点Ｆ以ｃ的速率顺　（３）　图（４）　ｒ　１　Ｏ　１　ｒ　１　Ｏ　１　７　（１）　（２）　３１　

②在此基础上，可探求长为ＰＣ＝ａ、宽为ＰＡ＝ｂ的长方形　在相同问题情形下的最小正周期　、面积．ｓ．更一般性，若改为　平行四边形呢？　毫　③另外圆的滚动问题还可以继续延伸，比如圆沿正多边形　四周滚动、正多边形在直线上滚动等等．　这一部分只要求学生了解，让学生借助已编好的几何画板　课件进行探索实验，验证自己提出的问题．借助几何画板，探索　得到不同的曲线，将学生们探索问题的热情和对问题的思考延　伸到课外．　在以上摆线的实现基础上，我们完全可以创设一个利于学　生发现摆线美的实验平台，通过计算机展现的摆线生成过程的　（３）　图１１　（４）　说明：①借助几何画板，改变点Ｆ、Ｄ的运动速度而得图　形的改变，让学生来体会数学的美妙　②玫瑰线？　蚁花线　同　异　玫瑰线　观察体验中，使学生感受这些曲线的美从而产生探究知识的内　驱力，在尝试参数方程的推导中进一步感受数学的价值．我们关　注知识本身的探索和发现，那是好奇心得到满足的一种快乐；　我们同样注重探究过程中带给我们的体验，超越数学（知识）　的体验和思索！我们以一种生活化的观点（视角）看待数学上　的问题，没有证明的数学同样精彩！我并不一定要懂得所有的　原因，至少我懂得欣赏和发现！　四、后记　都长的一副花瓣样　画得出所有的瓣数　画不出双倍奇数的瓣数　画不出六瓣　③瓣数ｎ＝ｃｄ＋ｏ（６一ｄ）．　２．万能魔板（万花筒）　制作方法参考刘同军编著“几何画板在数学教学中的应　置得到不同的形状，来体会数学的美观和美好．　几何画板作为一种动态几何软件，可以把抽象的数量和图　不但可以把数学概念的形成过程充分地“暴露”出来，随时看　到各种情形下的数量关系的变化，而且还可以把“形”和“数”　的潜在关系及其变化动态地显现在屏幕上，甚至可以根据需要　对这个过程进行控制，学生通过观察的过程、制作的过程、比　较的过程，产生他的经验体系，形成他的认知结构．　用”，如图１２所示．借助几何画板，学生可改变点　的相对位　形关系形象地描述出来，再现真实环境中数形的动态变化过程．　但如何利用几何画板构建易于学生理解和接受的问题情境，　这离不开教师的精心设计和巧妙构造，更需要教师关注“怎么　‘探”’的问题．　怎么“探”的问题涉及以下四个方面．　图１２　（１）教师首先需要选择合适的探究活动素材，在学生的“最　近发展区”设计适合学生的数学思维水平（甚至稍高水平）的　数学活动，预设与课题具有实质联系的数学实验活动和数学问　３．平行四边形在直线上的滚动　如图１３所示．　平行四边形在直线上滚动　题作为探究的对象．　（２）教师要以合理的方式呈现探究素材，安排设置数学探究　宽ＰＡ＝团厘米长ＰＣ＝函固厘米　拖动点　观察滚动　说明：拖动点Ｃ改变平行四边形形状活动，使课堂教学有张有弛，学生循序渐进地由数学活动的一　个水平向另一个更高的水平发展．　（３）教师对学生的探究活动加以适时地启发和引导，使学生　不是漫无目的的“乱探”．　ｒ　Ｈ　Ｍ　图１３　（４）借助几何画板辅助学生的“探”，有利于直观地揭示轨　参考文献：　　说明：①借助几何画板，学生可改变平行四边形的边长、　迹问题的数学本质，并且让学生体会到数学的好玩．形状．特别地，边长为１的正方形滚动时（图１４），即是２０１０　年高考数学北京卷文理科第ｌ４题模型．　说明：拖动点Ｃ改变平行四边形形状拖动点　观察滚动　［１］张志勇．阿波罗尼圆的画板实现及应用［Ｊ］．中国数学　教育（高中版），２０１１（１／２）：９５—９６．　［２］王怀昌．摆线的课件制作［Ｊ］．数学通报，２００６（１）：　４０－４２．　［３］刘同军．几何画板在数学教学中的应用［Ｍ７．中国石油　｜Ｐ　Ａ　ｃ　图１４　大学出版社。２００５．　３２