渐开线和摆线及其应用

2024年2月12日发(作者：奋斗的故事)

圆的渐开线：

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔就会画出一条曲线，笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线。

该圆叫做渐开线的基圆，渐开线的形状仅取决于基圆的大小，基圆越小，渐开线越弯曲；基圆越大，渐开线越平直。（曲线弯曲的程度用曲率衡量𝜌=1）

𝑅

直角坐标系方程;

x=r*(cos(t)+t*sin(t));

y=r*(sin(t)-t*cos(t));

在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。

圆的渐开线(红，阿基米德螺线(绿和对数螺线（蓝：

星形线与公共汽车的门

利用导数讨论星形线的性质和画法，讨论了公汽门的活动空间问题。

关键词：星形线 切线及其一种画法 公共汽车的门

圆内摆线中，当R/r=4/1时，R/4的半径的小圆在大圆内无滑动滚动，一点的轨迹将画出星形线。其参数方程为：t为转动的角度。

x=(R-r)*cos(t)+r*cos(t*(R/r-1));

y=(R-r)*sin(t)-r*sin(t*(R/r-1))；

其直角坐标方程为：𝑥+𝑦=𝑅，形式简洁统一。

232323

星形线的性质：其上的任意一点的切线夹在两坐标轴间的线段长度是常数R。

由隐函数的求导法：𝑥32−13+𝑦𝑦′=0,得y’=−

3x2−133y那么过曲线星形线上一点（x0，y0）的切线是:y-y0=− (x-x0)

x03y0令y=0，得曲线在坐标轴上的截距为

x1= y0*

+x0=x0(x0+y0)

y03x0132323令x=0，得曲线在坐标轴上的截距为

y1= y0+x0∗

= yo(x0+y0)

x03y0132323点在星形线上，其坐标满足星形线的直角坐标方程：(x0+y0)= R。

则两点（0，y1）,(x1,0)间的距离是

x12+y12=R

新的画法对星形线：在y轴上取长度为R的线段，让线段的两端点在两坐标轴上移动，这些线段的包络线就是星形线在一个象限内的部分。

公共汽车门的两种形式：一扇折叠门；两扇对开门；

232323

如上图，BDC是一扇折叠门，B是门轴，开关门时，靠近门轴的半扇绕着门轴旋转，另外半扇的外端沿着连接两个门轴的滑槽滑动，开门时一扇车门折叠成半扇，关门时又重新伸展成一扇。

AB，CD是两扇对开门，每一扇门的门轴与门之间可以转动，开、关门时门轴转动而门的两边沿滑槽滑动。

现在要看卡折叠式公汽门的运动全过程投影在地面上的区域面积变化情况：

绿色的线条是与门轴相连的一扇门，一端固定在门轴上，其另一端点运动轨迹是红色的1/4圆弧（假设R=4）。相连的另一扇门一端运动轨迹也在红色圆弧上，另一端在线段[0,8]上运动，这扇门运动过程中门所代表的线段的包络线是星形线的一段。完整开关门的过程扫过的面积如下图：

折叠式公汽门 对开式公汽门

公汽门在开关完整过程中，垂直投影在平面内的面积区域如图所示。可以用积分简单计算出区域面积。

星形线参数方方程： x=2*R*cos(t).^3;

y=2*R*sin(t).^3；

33S1=πR2，S2=R2,S3=

ydx=2Rsin⁡(θ)d(2Rcos⁡(θ))

pi2

842112R0R4折叠公汽门的活动范围只有普通单扇门的。

165对开式公汽门的活动范围只有普通门的。

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