06年考研数二真题及答案解析(word)

2024年2月9日发(作者：成和)

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）

一、填空题

（1）曲线yx4sinx的水平渐近线方程为 .

5x2cosx1（2）设函数f(x)x3（3）广义积分x0sint2dt,x0,x0在x0处连续，则a .

a,0xdx .

(1x2)2y(1x)的通解是 .

xdydxA0（4）微分方程yy（5）设函数yy(x)由方程y1xe确定，则= .

（6）设矩阵A .

二、选择题

21，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则B=

12（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若x0，则

（A）0dyy.

（C）ydy0.

（B）0ydy.

（D）dyy0. 【 】

（8）设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则（A）连续的奇函数.

（C）在x0间断的奇函数

（9）设函数g(x)可微，h(x)e

（A）ln31.

（C）ln21.

x1g(x)x0f(t)dt是

（B）连续的偶函数

（D）在x0间断的偶函数. 【 】

,h(1)1,g(1)2，则g(1)等于

（B）ln31.

（D）ln21. 【 】

2x

（10）函数yC1eC2e

xex满足一个微分方程是

x（A）yy2y3xe.

（C）yy2y3xe.

x

（B）yy2y3e.

（D）yy2y3e.

1

xx

（11）设f(x,y)为连续函数，则40df(rcos,rsin)rdr等于

01 （A）220dxdy1x2xf(x,y)dy. （B）220dxdy1x20f(x,y)dy.

（C）2201y2yf(x,y)dx. （D）2201y20

f(x,y)dx. 【 】（12）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且1y(x,y)0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是

（A）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

（B）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

（C）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.

（D）若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0. 【 】

（13）设a1,a2,,a,均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是

（A）若a1,a2,,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性相关.

（B）若a1,a2,,a,线性相关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性无关.

（C）若a1,a2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性相关.

（D）若a1,a2,,a,线性无关，则Aa1,Aa2,,Aa,线性无关. 【 】

（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2110列得C，记P010，则

001（A）CPAP.

（C）CPAP.

T1

（B）CPAP.

（D）CPAP.

T1三 解答题

15．试确定A，B，C的常数值，使得e(1BxCx)1Axo(x)，其中o(x)是当

x233x0时比x3的高阶无穷小。

2

arcsinexdx 16．求ex17．

设区域D(x,y)x2y21,x0

1xy计算二重积分Idxdy221xyD18．

设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n0,1,2,)证明: (1) limxn1存在,并求极限x

x2(2)计算lim(n1)xnxxn19．

1证明: 当0

bsinb2cosbbasinaacosaa20 设函数fu在0,内具有二阶导数且,zfx2y2满足等式2z2z0

x2y2(Ⅰ)验证fufu0.

u(Ⅱ)若f10,f11,求函数fu的表达式.

xl21,21 已知曲线L的方程为2y4lt（Ⅰ）讨论L的凹凸性；

(t0),

（Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；

（Ⅲ）求此切线与L（对应于xx0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积。

22 已知非齐次线性方程组

x1x2x3x414x13x25x3x41有3个线性无关的解

axx3xbx13412Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩rA2

3

Ⅱ求a,b的值及方程组的通解

23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量11,2,1,20,1,1是线性方程组Ax=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQA.

4

TT

题解 高数

一、填空题

（1）曲线yx4sinx的水平渐近线方程为5x2cosxy15

4sinxx1

limylimxx2cosx55x11x23sintdt,（2）设函数f(x)x0a,x0x0 在x=0处连续，则a=13

sm(x2)1limf(x)lim

2x0x03x3（3）广义积分0xdx22(1x)12

0xdx1(1x2)220d(1x2)11(1x2)22(1x2)0011

22 （4）微分方程yy(1x)的通解是xyycxexdydxx0（5）设函数yy(x)由方程y1xe确定，则

当x=0时，y=1，

又把方程每一项对x求导，yexey

y(1xe)eyye

yy

yx0ey1xeyx0y1e

二、选择题

（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0,x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x0处对应增量与微分,若x0，则[A]

（A）0dyy （B）0ydy

5

（C）ydy0 （D）dyy0

由f(x)0可知f(x)严格单调增加

f(x)0可知f(x)是凹的

即知

（8）设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则

x

f(t)dt是[B]

0（A）连续的奇函数

（C）在x=0间断的奇函数

（B）连续的偶函数

（D）在x=0间断的偶函数

（9）设函数g(x)可微,h(x)e1g(x),h(1)1,g(1)2,则g(1)等于[C]

（A）ln31

（C）ln21

1g(1)（B）ln31

（D）ln21

∵

h(x)g(x)e1g(x)，12e（10）函数yc1exc22xxex满足的一个微分方程是[D]

（A）yy2y3xex

（C）yy2y3xe

x

（B）yy2y3ex

（D）yy2y3e

x∵ 特征根为1和-2，故特征方程为(1)(2)0

41（11）设f(x,y)为连续函数，则d022f(rcos,rsin)rd等于[C]

01x2 （A）dx0xf(x,y)dy （B）dx00221x2f(x,y)dy

221y2221y2 （C）dy0yf(x,y)dx （D）dy00f(x,y)dx

(x,y)（12）设f(x,y)与均为可微函数，且y(x,y)0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是[D]

（A）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0

6

（B）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0

（C）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0

（D）若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0

令 Ff(x,y)(x,y)

(x,y)0Fxfx(x,y)xFyfy(x,y)y(x,y)0F(x,y)0(1)(2)

今

y(x0,y0)0,fy(x0,y0)y(x0,y0)代入(1) 得

fx(x0,y0)(x0,y0)fy(x0,y0)x

y(x0,y0)(x0,y0)0则fy(x0,y0)0 故选[D] 今

fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)x

7

三、解答题

（15）试确定A，B，C的常数值，使ex(1BxCx2)1Axo(x3)其中o(x3)是当x0时比x3的高阶无穷小.

x2x3o(x3)代入已知等式得 解：泰勒公式e1x26x

x2x3[1xo(x3)][1BxCx2]1Axo(x3)

26整理得

11B1(B1)x(CB)x2Co(x3)1Axo(x3)

262比较两边同次幂函数得

B+1=A ①

1=0 ②

2B1C0 ③

26B120则B 式②-③得

2331A 代入①得

31C 代入②得

6C+B+

arcsinexdx （16）求xe

arcsinexxarcsintx解：原式=de令ett2dt

(ex)2

1arcsintdtarcsintd()

2ttt1t

arcsinttdtarcsint1(2udu)令1t2u

222tt2u(1u)t1tarcsintdu2

tu18

arcsint1u1lnC

t2u1

arcsinexarcsinex11e2x1dxlnC

2xexex21e1（17）设区域D{(x,y)|x2y2|,x0}

计算二重积分I1xydxdy

221xyD

解：用极坐标系21xydxdy0

221xyD1

r2Iddrln(1r)ln2

21r22002

（18）设数列{xn}满足0x1，xn1sinxn(n1,2,3,)

证明：（1）limxn1存在，并求极限

n1

xn1xn2 （2）计算lim

nxn证：（1）x2sinx1,0x21,因此n2

xn1sinxnxn,{xn}单调减少有下界xn0

根据准则1，limxnA存在

n在xn1sinxn两边取极限得AsinAA0

因此limxn10

n1

sinxnxn2（2）原式lim为"1"型

nxn

 离散散不能直接用洛必达法则

limtt2sint0t2e先考虑

limt0t11sitnlnt

9

lim1t02t 用洛必达法则e1(tcostsint)sintt2t

elimt0tcostsint2t3et0limt2t3t10(t2)t0(t3)262t3

e1133t0(t)26lim2t3t0e

1

a16（19）证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosa证：令f(x)xsinx2cosxx

只需证明0ax时,f(x)单调增加（严格）

f(x)sinxxcosx2sinx

xcosxsinx

f(x)cosxxsinxcosxxsinx0

f(x) 单调减少（严格）

又f()cos0

故0ax时f(x)0则f(x)单调增加（严格）

由ba则f(b)f(a)

得证

（20）设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且Zfx2y2满足等式

2z2z0

x2y2（I）验证

f(u)f(u)0

u（II）若f(1)0,f(1)1 求函数f(u)的表达式

证：（I）zfxx2y2xxy22;zfyx2y2yxy22

10

2zf2x2zfy2xy22x2f22xyy2f22xy得fxy22xy2y2232

xy22xy22xy22x2232

2z2z代入方程220xyf(u)f(u)0成立uxy22f(x2y2)xy20

（II）令f(u)p,则dppdpduc;c,p

duupuu

f(1)1,c1,f(u)ln|u|c2,由f(1)0,c20f(u)ln|u|

xt21（21）已知曲线L的方程2y4tt（I）讨论L的凹凸性

(t0)

（II）过点(1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程

（III）求此切线与L（对应xx0部分）及x轴所围的平面图形的面积

解：（I）dxdydy42t22t,42t,1

dtdtdx2tt

dyd1d2y121dx0(t0处)

23dxdx2dtt2ttdt曲线L(在t0处)是凸

222，

1(x1)，设x0t01，y04t0t0t

（II）切线方程为y0

2则4t0t0222321(t02),4t0t0(2t0)(t02)

t0

得t0t020,(t01)(t02)0t00t01

点为（2，3），切线方程为yx1

2

11

（III）设L的方程xg(y)

则Sg(y)(y1)dy

30t24ty0解出t24y得x24y21

由于（2，3）在L上，由y3得x2可知x24y21g(y)

S9y44y(y1)dy

0333(102y)dy44ydy

002(10yy2)44yd(4y)214(4y)030333320

8642213

333

12

线代

(6) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .

-1 2

解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得

|B||A-E|=|2E|=4,

计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

(13)设1,2,…,s 都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.

(A) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.

(B) 若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.

(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.

(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得

c11+c22+…+css=0,

用A左乘等式两边,得

c1A1+c2A2+…+csAs=0,

于是A1,A2,…,As线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1.1,2,…,s线性无关 r(1,2,…,s)=s.2. r(AB) r(B).

矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此

r(A1,A2,…,As) r(1,2,…,s).

由此马上可判断答案应该为(A).

(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0

P= 0 1 0 ,则

0 0 1

-1-1(A) C=PAP. (B) C=PAP.

TT(C) C=PAP. (D) C=PAP.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B=PA ,

1 -1 0

C=B

0 1 0 =BP-1= PAP-1.

0 0 1

(22)已知非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4=-1,

4x1+3x2+5x3-x4=-1，

 ax1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

13

① 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.

② 求a,b的值和方程组的通解.

解:① 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.

又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.

两个不等式说明r(A)=2.

② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A|)= 4 3 5 -1 -1  0 –1 1 –5 3 ,

a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

1 0 2 -4 2

 0 1 -1 5 -3 .

0 0 0 0 0

得同解方程组

x1=2-2x3+4x4，

x2=-3+x3-5x4，

TT T求出一个特解(2,-3,0,0)和AX=0的基础解系(-2,1,1,0),(4,-5,0,1).得到方程组的通解:

TTT(2,-3,0,0)+c1(-2,1,1,0)+c2(4,-5,0,1), c1,c2任意.

TT(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1),2=(0,-1,1)都是齐次线性方程组AX=0的解.

① 求A的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得

T

QAQ=.

TTT解:① 条件说明A(1,1,1)=(3,3,3),即

0=(1,1,1)是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:c0, c0.

属于0的特征向量:c11+c22, c1,c2不都为0.

② 将0单位化,得0=(333T,,).

33322T666T,),2=(-,,).

22366对1,2作施密特正交化,的1=(0,-作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且

3 0 0

T-1

QAQ=QAQ= 0 0 0 .

0 0 0

14