中考专题--利用函数与不等式解方案设计与决策型问题

2024年1月10日发(作者：了解的近义词)

利用函数与不等式解方案设计与决策型问题

一、从一道例题的解答看方案设计与决策型问题

引例：恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台，从北京某厂购得挖机10台。现在决定运往重庆分公司8台，其余都运往汉口分公司；从上海运往汉口、重庆的运费分别是300元/台、500元/台，从北京运往汉口、重庆的运费分别是400元/台、800元/台 。

（1）若总运费为8400元，上海运往汉口应多少台？

解:(1）设上海运往汉口应x台，则

400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400

解得:x=4因此，若总运费为8400元， 上海运往汉口应4台。

（2）若总运费少于8400元，有哪几种调运方案？

解:（2）由题意知：

200x+7600＜8400

解得:x ＜ 4

∵x为非负整数∴x=0、1、2或3

∴若要求总运费不超过 8400元，共有4种调运方案。如下表：

上海到汉口上海到重庆北京到汉口北京到重庆（台） （台） （台） （台）

方案一 0 4 6 4

方案二 1 3 5 5

方案三 2 2 4 6

方案四 3 1 3 7

（3）求出总运费最低的调运方案，总运费是多少？

设总运费为y元，由题意知：

y= 200x+7600

∵200＞0 ∴x=0时y最小，为7600元。调运方案如下: 北京到汉口6台，北京到重庆4台，

上海到重庆4台.

二、方案设计与决策型问题的基本解题方法

方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法，来按题目所呈现的要求进行计算，论证，选择，判断，设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题，涉及方案设计与应用的试题大量涌现，它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜，新颖别致。其类型有利用不等式（组）进行方案设计，利用概率与统计进行方案设计，利用函数知识进行方案设计，利用几何知识进行方案设计。其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。

利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是：（1）根据题意建立一次函数关系式；（2）根据实际意义建立关于自变量的不等式组，求函数自变量的取值范围；（3）根据函数自变量的取值范围，确定符合条件的设计方案；（4）利用一次函数的性质求最大值或最小值，确定最优化方案。

三、全国中考中的利用函数与不等式解决的方案设计问题

类型一、利用不等式解决的方案设计问题：

【绵阳市中考题】李大爷一年前买入了相同数量的A、B两种种兔，目前，他所养的这两种种兔数量仍然相同，且A种种兔的数量比买入时增加了20只，B种种兔比买入时的2倍少10只．

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（1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？

（2）李大爷目前准备卖出30只种兔，已知卖A种种兔可获利15元／只，卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔，且总共获利不低于280元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获利．

解：（1）设李大爷一年前买A、B两种种兔各x只，则由题意可列方程为

x + 20 = 2x－10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔．

（2）设李大爷卖A种兔x只，则卖B种兔30－x只，则由题意得

x＜30－x， ①

15x +（30－x）×6≥280， ②

解 ①，得 x＜15； 解 ②，得x≥∵ x是整数，100100， 即

≤x＜15．

99100≈11.11， ∴ x = 12，13，14．

9即李大爷有三种卖兔方案：

方案一 卖A种种兔12只，B种种兔18只；可获利 12×15 + 18×6 = 288（元）；

方案二 卖A种种兔13只，B种种兔17只；可获利 13×15 + 17×6 = 297（元）；

方案三 卖A种种兔14只，B种种兔16只；可获利 14×15 + 16×6 = 306（元）．

显然，方案三获利最大，最大利润为306元．

类型二、利用函数知识解决的方案设计问题：

【清远市中考题】某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元．

（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y与x之间的函数关系式．

（2）若用19千克A种果汁原料和17.2千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；

每千克饮料

果汁含量

果汁

甲

0.5千克

0.3千克

乙

0.2千克

0.4千克

A

B

请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？

【答案】解：（1）依题意得：y4x3(50x)x150

（2）依题意得：0.5x0.2(50x)≤19…………(1)

0.3x0.4(50x)≤17.2………(2)解不等式（1）得：x≤30

解不等式（2）得：x≥28

∴不等式组的解集为28≤x≤30

yx150，y是随x的增大而增大，且28≤x≤30

∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，

成本总额y最小，y最小28150178（元）

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类型三、利用不等式比较方案的优劣：

【潍坊市中考题】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；

方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．

（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；

（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．

【答案】解：（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用：y14x

蔬菜加工厂自己加工纸箱费用：y22.4x16000．

（2）当y1＜y2时，2.4x+16000＜4x，解得：x10000，

当y1＝y2时，2.4x+16000＝4x，解得：x10000，

当y1＞y2时，2.4x+16000＝4x，解得：x10000，

所以，当x10000时，选择方案一，从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低；当x10000时，两种方案都可以，两种方案所需的费用相同；当x10000时，选择方案二，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．

四、基本训练

1．（威海）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．

(1)至少购进乙种电冰箱多少台？

(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？

2．（益阳市）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.

(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；

(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.

3．(内江市)我市部分地区近年出来持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：

费用（万元/储水池 可供使用的户数（户/个） 占地面积（㎡/个）

个）

新建

维护

4

3

5

18

4

6

已知可支配使用土地面积为106㎡，若新建储水池X个，新建和维护的总费用为y万元。

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（1）求y与x 之间的函数关系；

（2）满足要求的方案各有几种；

（3）若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？

4．（仙桃）宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒)，由于零花钱有限，每6人合买一个书包，每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买)，书包和文具盒的单价分别是54元和12元．

(1)若有x名同学参加购买书包，试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)若捐赠学习用品总金额超过了2300元，且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品，请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数？此时选择其中哪种方案，使购买学习用品的总件数最多？

5．（襄樊市）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．

（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？

（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？

6． (眉山市) “六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示，

⑴用含x、y的代数式表示购进C种玩具的套数；

⑵求y与x之间的函数关系式；

型 号 Ａ Ｂ C

进价(元／套) 40 55 50

售价(元／套) 50 80 65

⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。

①求出利润P(元)与x(套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套。

7．（十堰市）为执行“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：

占地面积 使用农户数 造价

型号

2(单位:m/个 ) (单位:户/个) (单位: 万元/个)

A 15 18 2

B 20 30 3

已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．

(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．

(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．

8．（哈尔滨）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

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（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．

9．（齐齐哈尔市）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

10．(鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，

土特产种类 甲 乙 丙

8 6 5

每辆汽车运载量（吨）

12 16 10

每吨土特产获利（百

元）

解答以下问题

(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式．

(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。

(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。

【答案】

1．（威海市）威海解：（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，

丙种电冰箱(803x)台，根据题意，列不等式：

12002x1600x(803x)2000≤132000．

解这个不等式，得x≥14．

至少购进乙种电冰箱14台．

（2）根据题意，得2x≤803x．

解这个不等式，得x≤16．

由（1）知x≥14．

14≤x≤16．

又x为正整数，

x141516，，．

所以，有三种购买方案：

方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；

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方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；

方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．

2．（益阳市）解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元

依题意得：x3y18x3 ，解得：

2x5y31y5答：每支钢笔3元，每本笔记本5元

(2)设买a支钢笔，则买笔记本(48－a)本

依题意得：3a5(48a)200 ，解得：20a24

48aa所以，一共有５种方案．即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26；

23，25； 24，24．

3．(内江市)解：（1）由题意得y=4x+3(20-x)，即y=x+60

（2）由题意得5x+18(20-x)≥243,4x+6(20-x)≤106，即x≤9，x≥7，∴7≤x≤9

故满足要求的方案有三种：

新建7个维修13个；新建8个维修12个，新建9个维护11个

（3）由y=x+60知y随x的增大而增大

∴当x=7时，y最小=67（万），当x=9时，y最大=69（万）

而居民捐款共243×0.2=48.6（万）

∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万

4．（仙桃）解：（1）设有x名同学参加购买书包，则有300x名同学购买文具盒，所以可购买书包x300x个，购买文具盒个.

62x300x1，即yx150.

623所以购买学习用品的总件数y与x的关系式为：y（2）设有x名同学参加购买书包，根据题意得

300xx54122300,62

1x150903解这个不等式组，得1662x180.

3又因为6人合买一个书包，故购书包的人数应为6的倍数，

所以购买书包的人数应为：168，或174，或180

相应购买文具盒的人数为：132，或126，或120.

∵总件数y与x的关系式为：y1x150，y随x的增大而减小

3∴当x168时，总件数最多.

5．（襄樊市）解：（1）设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万6 / 9

元和b万元．依题意得：a2b230a60解之得

2ab205b85，答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．

（2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所．则60m85n1575

m17315

n121217315n≤5∴n≥15

1215，∵A类学校不超过5所 ，∴即：B类学校至少有15所．

（3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为6x所，依题意得：

50x706x≤400解之得1≤x≤4，∵x取整数，∴x1，2，3，4

10x156x≥70，即：共有4种方案．

6．（眉山）解：（1）购进C种玩具套数为：50－x－y（或47－（2）由题意得40x55y50(xy)2350

整理得y2x30

－p(5040)x(8055)y(6550)(50xy)200

又∵y2x30 ∴整理得p15x250

（3）①利润＝销售收入进价－其它费用411x－y）

510②购进C种电动玩具的套数为：50xy50x(2x30)803x

x107070据题意列不等式组2x3010，解得20x ∴x的范围为20x，且33803x10x为整数

x的最大值是23

∵在p15x250中，k15＞0 ∴P随x的增大而增大

∴当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元．此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套．

7．（十堰市）解: (1) 设建造A型沼气池 x 个，则建造B 型沼气池(20－x )个

15x2020x365依题意得:



18x3020x492解得：7≤ x ≤ 9

∵ x为整数 ∴ x = 7，8 ，9 ，∴满足条件的方案有三种．

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(2)设建造A型沼气池 x 个时，总费用为y万元，则：

y = 2x + 3( 20－x) = －x+ 60

∵－1< 0，∴y 随x 增大而减小，

当x=9 时，y的值最小，此时y= 51( 万元 )

∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．

8．（哈尔滨）解：（1）可列分式方程求解，但要注意检验，否则扣分；（2）依据题意列出不等式组，注意不等号中是否有等于，根据未知数都为整数，再结合不等式组的解集，确定未知数的具体数值，有几个值，即有几种方案.

解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为(x2)元．由题意得

80100，

x2x解得x10．

检验：当x10时，x(x2)0，x10是原分式方程的解．

1028（元）

答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．

（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件(3y5)个

3y5y≤95，由题意得

(128)(3y5)(1510)y371解得23y≤25．

y为整数，y24或25．共有2种方案．

分别是：

方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；

方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．

9．（齐齐哈尔市）解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价x元

1，解得：x4000

x1000x经检验：x4000是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．

（2）设购进甲种电脑x台，48000≤3500x3000(15x)≤50000

解得6≤x≤10，因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案

（3）设总获利为W元，

W(40003500)x(38003000a)(15x)

(a300)x1200015a当a300时，（2）中所有方案获利相同．

此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．

10.(鄂州)解：（1）8x+6y+5(20―x―y)=120

∴y=20―3x ∴y与x之间的函数关系式为y=20―3x

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（2）由x≥3，y=20－3x≥3， 20―x―(20―3x)≥3可得3x52

3又∵x为正整数 ∴ x=3，4，5

故车辆的安排有三种方案，即：

方案一：甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆

方案二：甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆

方案三：甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆

（3）设此次销售利润为W元，

W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920

∵W随x的增大而减小 又x=3，4，5

∴ 当x=3时，W最大=1644（百元）=16.44万元

答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。

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