2020届陕西省安康中学高三三模(文科)数学试题(解析版)

2024年1月4日发(作者：国庆节观后感)

2020届陕西省安康中学高三三模（文科）数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．若集合Ayy0，AIBB，则集合B不可能是（ ）

x1A．yyx,x0 B．yy,xRC．yylogx,x0

D．

22．已知i是虚数单位，则12i等于（ ）

2i4i

5C．A．i B．43i

55D．i

3．过点A2,3且垂直于直线2xy50的直线方程为（ ）

A．x2y50 B．2xy70 C．x2y30 D．x2y40

4．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1,x2(,0)，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)”的是（ ）

A．f(x)(x1)

2B．f(x)ln(x1) C．f(x)1

xD．f(x)e

x5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a55a3，则S9（ ）

S5A．2

25B．

9C．9

9D．

256．将函数ycos2x的图象向右平移表达式可以是（ ）

A．f(x)2cosx

π个单位，得到函数yf(x)sinx的图象，则f(x)的4B．f(x)2cosx

C．f(x)2sin2x

2D．f(x)2(sin2xcos2x)

27．设x,y是0,1,2,3,4,5中任意两个不同的数，那么复数xyi恰好是纯虚数的概率为（ ）

A．1

6B．1

3C．1

5D．1

308．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，

则该几何体的表面积是（ ）

A．2(π3) B．2π3 C．π3 D．π23

9．阅读如图的程序框图，若输入n6，则输出k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

uuuruuuruuuruuur10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2PAPCABPB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（ ）

A．3

4B．1

2C．1

3D．2

33AB，11．已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC若四面体PABC的体积为3，则该球的体积为（ ）

2C．22π D．43π A．3π B．2π

12．已知定义在R上奇函数f(x)满足①对任意x，都有f(x3)f(x)成立；②当x[0,]32时，f(x)A．4

331|2x|，则f(x)在4,4上根的个数是（ ）

|x|22B．5 C．6 D．7

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x

y

2

2．2

3

3．8

4

5．5

5

6．5

6

7．0

ˆ=bx+a，其中已知b1.23，请若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为y估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．

3xy6014．设x，y满足约束条件xy20，若目标函数zaxby(a0,b0)的最大值是x0,y0a2b2的最小值为________． 12，则94n*15．已知数列an的前项和为Sn，且a11，an1an2nN，则S2020 ．

x2y216．已知双曲线221(a0,b0)的左右焦点是F1,F2，设P是双曲线右支上一点，abuuuuruuuruuurπ且它们的夹角为，则双曲线的离心率e是 ．

F1F2在F1P上的投影的大小恰好为F1P，6三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）设函数f(x)sin(x)2cosπ622x1(0)．直线y3与函数yfx图象相邻两交点的距离为π．（1）求的值（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是B(a、b、c．若点,0)是函数yfx图象的一个对称中心，且b3，求△ABC外接圆的2面积．

18．（12分）为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，

本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表：

成绩

频数

40,50

2

50,60

3

60,70

14

70,80

15

80,90

14

90,100

4

（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；

（2）若从成绩在40,50中选一名学生，从成绩在90,100中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求40,50组中学生A1和90,100组中学生B1同时被选中的概率？

DE平面ABCD，AF//DE，DE4AF． 19．（12分）如图，ABCD是边长为4的正方形，（1）求证：AC平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论．

x2y220．（12分）设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，离abuuuuruuur1心率e，在x轴负半轴上有一点B，且BF22BF．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与12直线l:x3y30相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点p（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f(x)2ln(2x)x．（1）若函数g(x)f(x)ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）设h(x)2f(x)3xkx(kR)，若h(x)存在两个零点m，n且2x0mn，证明：函数h(x)在(x0,h(x0))处的切线不可能平行于x轴．

22

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：极坐标与参数方程】

在极坐标系中，已知点A(2,0)到直线l:sin()m(m0)的距离为3．

（1）求实数m的值；（2）设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足|OP||OQ|1，求点Q的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知f(x)xxa2．（1）当a1时，解不等式f(x)x2；（2）当x(0,1]时，π4f(x)

12x1恒成立，求实数a的取值范围．

2

参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

【解析】∵AIBB，∴BA，选项C中，y|yR，故不满足BA．

2．【答案】D

【解析】12i(12i)2i5i=i．

2i(2i)2i53．【答案】D

【解析】设垂直于直线2xy50的直线方程为x2ym0，

又直线过点A2,3，∴223m0，解得m4，

故所求直线的方程为x2y40．

4．【答案】C

【解析】由题意知函数f(x)在(,0)上是减函数，故选C．

5．【答案】C

9(a1a9)S9(a1a9)92a52【解析】∵a55a3，又99．

5(aa)S55(a1a5)52a31526．【答案】B

【解析】∵将函数ycos2x的图象向右平移ππ个单位得ycos2(x)

44πcos(2x)sin2x2sinxcosx，

2∴f(x)2cosx．

7．【答案】A

【解析】有题意知本题是一个古典概型，

实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有6530种结果，

满足条件的事件是复数xyi恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果，

∴复数xyi恰好是纯虚数的概率为8．【答案】A

51．

306【解析】三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，

然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形，

圆锥的底面半径为1，母线长为2，

该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和，

圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，高为3，

11S2S截面S圆锥侧=2232π122229．【答案】B

【解析】n6时，k0；

3π．

n26113时，13100，k1；

n213127时，27100，k2；

n227155时，55100，k3；

n2551111时，111100；

∴k3．

10．【答案】A

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur【解析】∵2PAPCABPBABBPAP，

uuuruuuruuuruuuruuur∴2PAPCAP3PAPC0，

∴点P在边AC上，且3|PA||PC|，∴|PC|3，

|AC|41|PC|h|PC|32．

1|AC|4|AC|h2AP设△ABC的AC边上的高为h，∴S△PBCS△ABCBC

11．【答案】D

【解析】由题意，O为AB的中点，△ABC为直角三角形，

设AB2R，由于2AC3AB，∴AC3R，BCR．

又PO⊥平面ABC，O为球心，∴OPOAOBR，

11333VPABC3RRRR，∴R33，

32624V球=πR343π．

3PACOB

12．【答案】B

【解析】由①知函数f(x)的最小正周期是3，

32x(0x)4由②得f(x)，

3332x(x)42画出函数f(x)及f(x)1的图像即得．

|x|y-4.5-3-1.5O1.534.5x

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】24．68

【解析】∵aybx2.23.85.56.57234+5+61.23=0.08，

55∴当x20时，y1.23200.0824.68，

故答案为24．68．

14．【答案】1

2【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，

当直线axbyz(a0,b0)过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，

目标函数axbyz(a0,b0)取得最大12，

即4a6b12，即2a3b6，

a2b2132b2111(3b)(b1)2， 则94924222故答案为1．

2101015．【答案】323

n【解析】∵数列an满足a11，an1an2(nN)，

∴a2a12，解得a22，

an1ana2nn1n22， 当n2时，an2an12an∴数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2．

1010210101221a1a3La2019a2a4La2020

2121则S2020



3210103，

故答案为3210103．

16．【答案】31

uuuuruuuruuur【解析】∵F1F2在FP上的摄影的大小恰好为F1P，∴PF1⊥PF2，

又因为它们的夹角为ππ，∴PF1F2，

66PF2c， ∴在Rt△PF1F2中，F1F22c，∴PF13c，根据双曲线的定义PF1PF23cc2a，∴所以e31，故答案为31．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）2；（2）3π．

【解析】（1）f(x)sinxcosc31，

aππ1cosxcosxsin21

6623313sinxcosx3(sinxcosx)

2222π3sin(x)，

3因为f(x)的最大值为3，依题意，函数f(x)的最小正周期为π，

由2ππ，得2．

π3π3（2）因为f(x)3sin(2x)，依题意3sin(B)0，

πsin(B)0，

3

∵0Bπ，ππ2ππBπ，∴B0，B，

33333由正弦定理3b2R，∴R3，

2R，sinB32△ABC外接圆的面积为πR23π．

18．【答案】（1）见解析；（2）1．

4【解析】（1）各组频率分别为0．04，0．06，0．28，0．30，0．24，0．08，

所以，图中各组的纵坐标分别为0．004，0．006，0．028，0．03，0．024，0．008．

（2）记40,50中的学生为A1，A2；90,100中的学生为B1，B2，B3，B4，

由题意可得，基本事件为AlBlB2，A1B1B3，AlBlB4，A1B2B3，A1B2B4，AlB3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共l2个，

满足A1B1同时被选中的事件为A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4共3个，

∴学生A1和B1同时被选中的概率为P31．

12419．【答案】（1）证明见解析；（2）M是BD的一个四等分点，证明见解析．

【解析】（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DEAC．

因为ABCD是正方形，所以ACBD，

因为DEIBDD，从而AC平面BDE．

（2）当M是BD的一个四等分点，即4BMBD时，AM∥平面BEF，

取BE上的四等分点N，使4BNBE，连结MN，NF，

则DE∥MN，且DE4MN，

因为AF∥DE，且DE4AF，所以AF∥MN，且AFMN，

故四边形AMNF是平行四边形，所以AM∥FN，

因为AM平面BEF，FN平面BEF，所以AM∥平面BEF．

1x2y21；20．【答案】（1）（2）存在，(0,)．

434c11，得ca，所以F1F2a，

a22uuuuruuurFBF2的中点， 又AF1AF2a，由于BF22BF1，所以1为线段【解析】（1）由题意所以AF1AF2F1F2a，

所以△ABF2的外接圆圆心为F1(a,0)，半径rAF1a，

2又过A、B、F2三点的圆与直线l:x3y30相切，

1a32a，解得a2， 所以2c1，b2a2c23，

x2y21． 所求椭圆方程为43（2）有（1）知F21,0设l的方程为yk(x1)，

yk(x1)将直线方程与椭圆方程联立x2y2，

143（34k）x8kx4k120， 整理得设交点为M(x1,y1)，N(x2,y2)，

22228k2因为34k0，则x1x2，y1y2k(x1x22)，

234k2若存在点P(m,0)，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，

uuuuruuuruuuur由于菱形对角线垂直，所以(PMPN)MN0，

uuuuruuur又PMPN(x1m,y1)(x2m,y2)(x1y22m,y1y2)，

uuuurQMN的方向向量是1,k，

故k(y1y2)x1x22m0，

k2(x1x22)x1x22m0，

8k28k2k(2)2m0，

2234k34k2由已知条件知k0且kR，

1k210mm，，

334k244k2故存在满足题意的点P且m的取值范围是(0,)．

1421．【答案】（1）[22,)；（2）证明见解析．

【解析】（1）Qgxln2xxax，g(x)2212xa2xa(x0)，

2xx由已知，得g(x)0对一切x(0,)恒成立，

2x11a0，即a2x对一切x(0,)恒成立，

xx12x22，a22，

xa的取值范围为[22,)．

222ln2xx3xkx2ln2xxkx， （2）hx2由已知得h(m)2ln(2m)mkm0，h(n)2ln(2n)nkn0．

222lnnn(n2kn)(m2km)，即2ln(nm)(nm)k(nm)．

mm

假设结论不成立，即h(x0)0，则又2x0mn，

222x0k0，k2x0．

x0x02lnn2(nm)(nm)(2x0)(nm)

mx0(nm)(nm)(44mn)(nm)(nm)，

mnnmlnn2(nm)．

mnm令2t1nt(1,)，则有lnt．

1tm令(t)lnt2(t1),t1．

1t12t12(t1)(1)14(1t24t)(t1)2(t)0．

t(1t)2t(1t)2t(1t)2t(1t)2(t)在(1,)上是增函数，

∴当t1时，(t)(1)0，即lnt2(t1)0．

1t∴当t1时，lnt∴假设不成立，

2(t1)不可能成立，

1th(x)在(x0,h(x0))处的切线不平行于x轴．

22．【答案】（1）m2；（2）(x2222113π)(y)，点Q的轨迹是以,为圆心，

8816441为半径的圆．

4【解析】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，

则点A的直角坐标为(2,0)，直线l的直角坐标方程为xy2m0，

由点A到直线l的距离为d|22m|1m3，∴m2．

2π4（2）由（1）得直线l的方程为sin()2，

1010，① 设P(0,0)，Q(,)，则00因为点P(0,0)在直线l上，所以0sin(0)2，②

π4将①代入②，得πsin()2．

41则点Q的轨迹方程为1πsin()，

2422221)(y)，

8816化为直角坐标方程为(x则点Q的轨迹是以113π,为圆心，为半径的圆．

4441223．【答案】（1）{xx2}；（2）(,6)．

【解析】（1）当a1时，不等式f(x)x2化为xx12x2，

则可得x21x2x1或或，

x(x1)2x2x(x1)22xx(1x)22x可得x或1x2或x1，

则不等式解集为{xx2}．

（2）当x(0,1]时，f(x)12x1恒成立，

2则xxa212x1恒成立，

2

化为1131xax在x(0,1]上恒成立，

2x2x111x在x(0,1]上为增函数，则g(x)max，

2x2而g(x)h(x)6313x26，等号成立时x，

32x2所以a的取值范围为a(,6)．

12