天津市杨村一中、宝坻一中等2020-2021学年高一下学期期末四校联考 数学

2024年1月4日发(作者：地理人教版)

天津市2020～2021学年度第二学期期末四校联考

高一数学

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1．设复数z满足z2i2i，则z在复平面内对应的点位于（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是（

）

A．12 B．15 C．18 D．21

,为两个不同的平面，3．已知m,n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）

A．m,n,m//,n////

C．//,m,nm//n

B．n//m,nm

D．m,mnn//

4．已知向量a(1,3),b(2,4)，则下列结论错误的是（

）

A．(ab)a B．|2ab|25

D．b在a方向上的投影是10

C．向量a,b的夹角为3π

4

5．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知csinC(2ab)sinB(ab)sinA，则C（

）

A．

6 B．2

或33 C．2

3 D．5

或666．一组数据从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x5，已知该组数据的中位数是众数的A．2

3倍，则该组数据的标准差为（

）

2 B．3 C．4 D．9

7．四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD，异面直线AC与PD所成的角的余弦值为A．48 B．36

10，则四棱锥外接球的表面积为（

）

5 C．12 D．9

8．在直角梯形ABCD中，ADAB，CD//AB，AB2AD2DC2，E为BC边上一点，BC3EC，F为直线AE上一点，则CFFB的最大值为（

）

A．6

13 B．6

13 C．9

20 D．9

20二、填空题（本题共5小题，共25分）

9．若复数z满足：z(1i)|13i| (i为虚数单位)，则复数z的虚部是__________.

10．如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中恰有1个女孩的概率是_______．

11．已知一个圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积等于_________.

12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是___________.

①三棱锥D1EFG的体积为③BD1//EG

1

3

；

②BD1//平面EFG

④AB1EG

13．在△ABC中，AB4，AC3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9，若PAmPB(m)PC（m为常数，且m0），且PAtPD，则实数32t的值为_______；则CD的长度是________.

三、解答题（本大题共5小题，共63分）

14．（本题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2cosC(acosBbcosA)c

（Ⅰ）求角C；

（Ⅰ）若c

15．（本题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形，PAPD,PAAB,N是棱7，△ABC的面积为33，求△ABC的周长.

2AD的中点.

(Ⅰ)求证：平面PAB平面PAD；

(Ⅰ)设ABADAP2，求点N到平面PAC的距离.

16．（本题满分13分）

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（Ⅰ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分和中位数；

（Ⅰ）用分层抽样的方法在分数在[60，80)内学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率.

17．（本题满分13分）

某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲､乙､丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是个家庭都回答错误的概率是答是否正确互不影响.

（Ⅰ）求乙､丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；

（Ⅰ）求甲､乙､丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

3，甲､丙两411，乙､丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回124

18．（本题满分13分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，1AD,BADABC90o,E是PD的中点．

2（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅰ）求直线PC与平面ABCD所成角;

ABBC（Ⅰ）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值．

o

天津市2020～2021学年度第二学期期末四校联考

高一数学参考答案

1—8：D A B D C B D C

9．1；

14．解：

10．3；

8 11．3；

12．ⅠⅠⅠ； 13．；3218

5（Ⅰ）∵2cosC(acosBbcosA)c

由正弦定理得2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC

………………2分

Ⅰ2cosCsin(AB)sinC

Ⅰsin(AB)sinC0

ⅠcosC

………………3分

1

2 ………………5分

又C(0,)ⅠC3 ………………6分

（Ⅰ）由题意：133

absinC22

22

………………7分

………………8分 Ⅰab6

2

由余弦定理cab2abcosC

得：7abab

Ⅰ(ab)3ab7

Ⅰab5

………………11分

………………12分

222 ………………10分

Ⅰ周长为57

15．【解析】

（Ⅰ）在矩形ABCD中，ABAD.

又ⅠABPA,PAADA

…………………………1分

………………………………3分

ⅠAB面PAD

………………………………4分

………………………………5分 又AB面PAB，面PAB面PAD

（Ⅰ）在PAD中，PAPD，N是棱AD的中点，ⅠPNAD

由（1）知AB平面PAD，ⅠABPN.

又ⅠABADA，ⅠPN平面ABCD……………………………7分

ⅠABADAP2，PAPD

ⅠPN323,ⅠCD//AB,ⅠCD面PAD…………………8分

2ⅠPD面PAD， ⅠCDPD

所以，在PAC中，PA2,ACPC22，

1SPAC2222217.

……………9分

设点N到平面PAC的距离为d，则VNPACVPNAC.………………10分

Ⅰ111SPACdSNACPN，即7d123，解得d21.

3327Ⅰ点N到平面PAC的距离为21.

7

……………12分

16．解：

（Ⅰ）1－(0.05＋0.1＋0.15＋0.15＋0.25) = 0.30

（补全直方图略）

……3分

（Ⅰ）平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05 = 71

………5分

设中位数为x，则0.4（x70)0.030.5，x2203

………7分

（Ⅰ）由题意知[60,

70)中抽2人，设为A1A2，[70, 80)中抽取4人，设为B1B2B3B4则A2）,（A1, B1）,（A1,

B2）,（A1, B3）B4）,任取两人共有15种取法（A1, ，（A1,

（A2,

B1）,（A2,

B2）,（A2, B3）,（A2,

B4）,（B1,

B2）,（B1, B3）,（B1, B4）,（B2,B3）,（B2, B4）,（B3, B4）.

……………10分

至多有一人在[70, 80）总有9种情况p(A)93155

……13分

17．解：

（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，

1P(A)P(C)1231，

则PA，且有P(B)P(C)44

………3分

1[1P(A)][1P(C)]12即，

1P(B)P(C)432解得PB，

PC．

83

……………5分

……………6分

（Ⅰ）有0个家庭回答正确的概率为P0PABCPAPBPC

1515

48396 …………8分

有1个家庭回答正确的概率为

P1PABCABCABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC

3511311527

48348348324

…………11分

所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P1P0P11

18．解：

（Ⅰ）取PA的中点为F，连接EF，BF

ⅠE为PD的中点，ⅠEF//AD, 且EF=5721

962432 …………13分

1AD

211AD又AB=BC=，ⅠBC//AD，

22ⅠEF//BC,EFBC Ⅰ四边形BCEF为平行四边形， ……2分

ⅠCE//BF

又BF平面PAB，CE平面PAB，Ⅰ直线CEⅠ平面PAB，

…4分

（Ⅰ）取AD的中点O连接PO，CO，

Ⅰ面PAD为等边三角形，ⅠPOⅠAD，

又Ⅰ面PADⅠ面ABCD，ⅠPOⅠ面ABCD，

ⅠPCO为直线PC与平面ABCD所成角， ………………6分

设AD=2，则PO3，易得四边形ABCO为矩形，ⅠCO=AB=1，

ⅠtanPCO3，ⅠPCO，

3直线PC与平面ABCD所成角为3.

（Ⅰ）M在底面ABCD的射影落在N在OC上，

…………8分

设AD2，由（Ⅰ）知PCO3，

又直线BM与底面ABCD所成的角为45°，ⅠMBN45，ⅠBN=MN

又PCO3，CN3MN，又BC=1，且BC2CN2BN2

366122BNMNⅠ1BNBN，，，

223作NQAB于Q，连接MQ，ⅠABMN，ⅠAB面MNQ，ⅠABMQ，

所以MQN为二面角MABD的平面角，

2

……11分

610，

MQ122210QN10ⅠcosMQN，则二面角MABD的余弦值为.

5MN5………13分