初中数学平行线教学案

2024年1月4日发(作者：云瀑)

第1章 平行线

【课标点击】

1. 了解同位角、内错角、同旁内角，明白一条直线截两条平行直线所得的同位角相等，进一步探讨平行线的性质.

2. 明白同位角相等的两条直线平行，并探讨判定两直线平行的其它方式.

3. 体会两条直线之间距离的意义，会气宇两条平行线之间的距离.

同位角、内错角、同旁内角

【要点预习】

1. “三线八角”的概念：

两条直线被第三条直线所截，组成 个角,咱们通常称之为“三线八角”.

2.同位角、内错角、同旁内角的概念：

“三线八角”中,其中位于两条直线同侧，第三条直线同旁的两个角叫 ；位于两条直线之间，第三条直线异侧的两个角叫 ，位于两条直线之间，第三条直线同侧的两个角叫 .

【课前热身】

1. 如图1，组成的八个角是直线 与 被第三条直线 所截而成的.

答案：AB CD EF

2. 如图1，∠1与∠5都在直线AB、CD同侧，且在第三条直线EF同旁，如此的一对角叫 .

图1

答案：同位角

3. 如图1，∠3与∠5在直线AB、CD之间，且在第三条直线EF异侧，如此的一对角叫__________ .

答案：内错角

4. 如图1，∠3与∠6在直线AB、CD之间，且在第三条直线EF同侧，如此的一对角叫 .

答案：同旁内角

【讲练互动】

【例1】如图2，以下说法错误的选项是……………………………………图2

（ ）

A. ∠C与∠1是内错角 B. ∠2与∠3是内错角

C. ∠A与∠B是同旁内角 D. ∠A与∠3是同位角

【分析】 A, C, D别离符合内错角、同旁内角、与同位角的概念，而∠2与∠3不符合内错角的概念，它们是一对邻补角.

【答案】B

【绿色通道】要判定一对角是不是为同位角、内错角或同旁内角，第一要看它们是哪两条直线被第三条直线所截而形成的，再依照各自的特点进行分辨.

【变式训练】

1. 如图3，∠B的同旁内角是________.

图3

【解析】依照同旁内角的概念，由直线AB、CD被直线BC所截可得∠B的同旁内角，再由直线BC、AD被直线AB所截可得∠B的另一外同旁内角.

【答案】∠BCD与∠BAD

【例2】如图4，指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.

【分析】解此类题的关键是第一判定是哪两条直线被哪一条直线所截.

B图中有直线AC、DE被直线AD所截，直线AC、DE被直线CE所截，直线AD、EC被直线AC所截.

【解】同位角是∠1与∠A，∠2与∠C，∠3与∠5，∠2与∠6；

内错角是∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠A；

同旁内角是∠1与∠2，∠3与∠4，∠A与∠C，∠4与∠A，∠3与∠C.

【变式训练】

2．如图5，以下判定正确的选项是…………………………（ ）

A. 图中有4对同位角, 4对内错角, 2对同旁内角

图5

F6154A23E图4CB. 图中有4对同位角, 4对内错角, 4对同旁内角

C. 图中有6对同位角, 4对内错角, 4对同旁内角

D. 图中有6对同位角, 4对内错角, 2对同旁内角

【答案】C

图6

【例3】如图6, 两条直线AB, CD被第三条直线EF所截, 交点别离为G、H. 已知∠AGE=∠DHF.请别离说出以下各式成立的理由.

(1)∠1=∠3；(2)∠2+∠3=180º；(3)∠3=∠4.

【解】(1)∵∠AGE+∠1=180º, ∠DHF+∠3=180º, ∠AGE=∠DHF,

∴∠1=∠2(等角的余角相等).

(2) ∵∠AGE=∠DHF, ∠AGE=∠2, ∴∠DHF=∠2.

又∵∠DHF+∠3=180º, ∴∠2+∠3=180º.

(3) 由(1)知∠1=∠3, 又∠1=∠4, ∴∠3=∠4.

【变式训练】

3. 如图7，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，DE⊥AC，交AB于点D.

(1) 说出当BC、DE被AB所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角.

(2) 试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.

【解】(1)∠3的同位角是∠1, ∠3的内错角是∠2, ∠3的同旁内角是∠BDE.

(2) ∵∠C=Rt∠, ∴∠3+∠A=90º.

又DE⊥AC, ∠1+∠A=90º.

∴∠1=∠3. (同角的余角相等)

又∠1=∠2, ∴∠1=∠2=∠3.

【同步测控】

基础自测

图7

1．如图8，两条直线被第三条直线所截，形成的同位角有……………………………（ ）

A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对

2．如图9，∠1的内错角是………………………………………………………………（ ）

A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5

图8

51m234naD1FACD2bA图1045321DEB5A2314E6图9BC图11B图12C3．以下图形中，∠1与∠2不是同位角的是……………………………………………（ ）

12121122 A. B. C. D.

4．两条直线被第三条直线所截，组成的8个角中，一对同位角的对顶角是…………（ ）

A．同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角

5．如图10，∠1与∠2是直线 ，直线 被直线 所截而得的 角.

6．如图11，∠1的同位角是 ；∠1与 是内错角；∠1与∠3是 角.

7. 如图11，假设一对同位角∠1＝∠4，那么∠1与 也相等.

8．如图12，∠6的同旁内角有 个.

9．如图13，请找出两对内错角，两对同旁内角，并指出它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的.

10．如图14，直线l1,l2被直线l3所截，假设一对同位角∠1=∠3，那么一对内错角∠2=∠4吗？说明理由.（填空）

解：∵∠1＋∠2＝ （平角的意义）, ∠1=∠3,

∴∠3＋ ＝180º，∴∠2与∠3互补（互补的意义）.

又∵∠4与 互补（平角的意义）,

∴∠2＝∠4（ ）.

能力提升

11．以下图中∠1和∠2是同位角的是…………………………………………………（ ）

4312图13

l3l1l2图14

A. ⑴, ⑵, ⑶ B. ⑵, ⑶, ⑷ C.⑶, ⑷, ⑸， D. ⑴, ⑵, ⑸

12. 如图15,能与∠1组成内错角的有………………………………（ ）

个 个 个 个

13.如图16，当直线BC，DC被AB所截时，∠1的同位角是 ，同旁内图15

角是 ；当直线AB，AC被BC所截时，∠1的同位角是 ；当直线AB，BC被CD所截时，∠2的内错角是 .

14.若是三条直线两两相交(不交于同一点),那么此图形中能找到 对内错角.

ADB1243

C1

图17图16

图18

15.请在图17中添加一条直线,使得有两个角(记作∠2, ∠3)别离与∠1组成同位角, 而且∠2

与∠3是同旁内角.

16.如图18,在ΔABC中,D、E别离是AB、AC边上的点.

(1)指出∠B的同位角和同旁内角;

(2)若是∠B=∠ADE, 求∠B+∠BDE的大小;

(3)若是∠B=∠ADE, 那么∠C=∠AED,请说明理由.

创新应用

17.如图19，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有…………………………………………………………（ ）

A．4对 B．8对 C．12对 D．16对

图19

参考答案

基础自测

1．如图8，两条直线被第三条直线所截，形成的同位角有……………………………（ ）

A. 2对 B. 4对 C. 6对 D. 8对

答案：B

2．如图9，∠1的内错角是………………………………………………………………（ ）

A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5

答案：A

3．以下图形中，∠1与∠2不是同位角的是……………………………………………（ ）

A. B. C. D.

1251m234naD1AF45321CD2bA图10EDB5A2314E6图8

图9BC图11B图12C121122

答案：D

4．两条直线被第三条直线所截，组成的8个角中，一对同位角的对顶角是…………（ ）

A．同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角

答案：A

5．如图10，∠1与∠2是直线 ，直线 被直线 所截而得的 角.

答案：AD BC BD 内错

6．如图11，∠1的同位角是 ；∠1与 是内错角；∠1与∠3是 角.

答案：∠4 ∠2 同旁内

7. 如图11，假设一对同位角∠1＝∠4，那么∠1与 也相等.

答案：∠2

8．如图12，∠6的同旁内角有 个.

答案：2

9．如图13，请找出两对内错角，两对同旁内角，并指出它们是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的.

解：内错角：∠DAB与∠B(直线DE, BC被AB所截而成)；∠EAC与∠C(直线DE, BC被除数AC所截而成).

同旁内角：∠DAC与∠C(直线DE, BC被AC所截而成)；∠EAB与∠B(直线DE, BC被AB所截而成).

10．如图14，直线l1,l2被直线l3所截，假设一对同位角∠1=∠3，那么一对内错角∠2=∠4吗？说明理由.（填空）

解：∵∠1＋∠2＝ （平角的意义）, ∠1=∠3,

∴∠3＋ ＝180º，∴∠2与∠3互补（互补的意义）.

又∵∠4与 互补（平角的意义）,

∴∠2＝∠4（ ）.

答案：180º ∠2 ∠3 同角的补角相等

能力提升

11．以下图中∠1和∠2是同位角的是…………………………………………………（ ）

4312图13

l3l1l2图14

A. ⑴, ⑵, ⑶ B. ⑵, ⑶, ⑷ C.⑶, ⑷, ⑸， D. ⑴, ⑵, ⑸

答案：D

12. 如图15,能与∠1组成内错角的有………………………………（ ）

个 个 个 个

答案：A

13.如图16，当直线BC，DC被AB所截时，∠1的同位角是 ，同旁内角是 ；当直线AB，AC被BC所截时，∠1的同位角是 ；当直线AB，BC被CD所截时，∠2的内错角是 .

答案：∠2 ∠BDC ∠3 ∠4

14.若是三条直线两两相交(不交于同一点),那么此图形中能找到 对内错角.

答案：6

15.请在图17中添加一条直线,使得有两个角(记作∠2, ∠3)别离与∠1组成同位角, 而且∠2与∠3是同旁内角.

解：如图.

16.如图18,在ΔABC中,D、E别离是AB、AC边上的点.

(1)指出∠B的同位角和同旁内角;

(2)若是∠B=∠ADE, 求∠B+∠BDE的大小;

(3)若是∠B=∠ADE, 那么∠C=∠AED,请说明理由.

解：(1)∠B的同位角是∠ADE, ∠B的同旁内角是∠BDE.

(2)∵∠B=∠ADE, ∠ADE+∠BDE=180º, ∴∠B+∠BDE=180º.

(3)∵∠C=180º-∠A-∠B, ∠AED=180º-∠A-∠ADE, 又∵∠B=∠ADE, ∴∠C=∠AED.

创新应用

图18

1图15

ADB1243图16C321图17图17图19

17.如图19，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有…………………………………………………………（ ）

A．4对 B．8对 C．12对 D．16对

解析：每一个“三线八角”大体图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解人手．原图形可分解出如下八个大体图形.

答案：D。

平行线的判定(1)

【要点预习】

1.平行线的判定1.

两条直线被第三条直线所截,若是 相等, 那么这两条直线平行.简单地说,

相等,两直线平行.

2.平行线的判定1的特殊情形：在同一平面内, 于同一条直线的两条直线相互平行.

【课前热身】

1.两条平行线被第三条直线所截,共有 对同位角.

答案：4

2.街道双侧路灯的柱子的位置关系是 .

答案：平行

3. 如图1，直线AB、CD被直线EF所截，若是∠1＝∠2，那么 .理由是（ ）.

答案：AB∥CD 同位角相等, 两直线平行

4.在同一平面内,假设ab,ac,那么a与c的位置关系是 .

答案：a∥c

图1

【讲练互动】

【例1】如图2, 直线AB, CD被直线EF, GH所截,以下结论：(1)假设∠1=∠2, 那么AB∥CD；(2)假设∠1=∠2, 那么EF∥GH；(3)假设∠1=∠3, 那么AB∥CD；(4)假设∠1=∠3, 那么EF∥GH. 其中正确的选项是……………………………（ ）

A. (1)(3) B. (1)(4) C. (2)(3) D. (2)(4)

【解析】∠1与∠2是直线EF, GH被AB所截取得的同位角；∠1与∠3是AB,CD被EF所截形成的同位角.

【答案】C

【变式训练】

1. 如图3所示,若是∠D=∠EFC,那么…………………………（ ）

∥BC ∥BC ∥DC ∥EF

【答案】D

【例2】如图4，直线a,b被直线c所截,且∠2+∠3＝180º，那么a∥b吗?请说明理由.

【分析】只要说明同位角∠1=∠3即可.

【解】∵∠2+∠3=180º, ∠1+∠2=180º, ∴∠1=∠3, ∴a∥b.

【绿色通道】利用转化思想是解决平行线问题要紧方式.

图4

图2

AEB图3

DFC【变式训练】

2. 如图5, 已知直线EF和AB, CD别离相交于K, H, 且EG⊥AB, ∠CHF=60º, ∠E=30º, 试说明AB∥CD.

【解】∵EG⊥AB, ∴∠EGK=90º. ∵∠E=30º, ∴∠EKG=60º.

∵∠CHF=60º, ∠CHF=∠EHD, ∴∠EHD=60º.

∴∠EKG=∠EHD, ∴AB∥CD.

【例3】如图6,在海上有两个观测所A和B,且观测所B在A的正东方向.假设在A观测所测得船M的航行方向是北偏东50º,在B观测所得船N的航行方向也是北偏东50º,问船M的航向AM与船N的航向BN是不是平行.请说明理由.

【解】AM与BN平行.

∵∠MAC=∠NBC=50º, ∴AM∥BN.

图6

EACFH图5

KGBDC

【变式训练】

3. 一辆货车在仓库装满货物预备运往超市，驶出仓库门口后开始向东行驶，途中向右拐了50º角，接着向前行驶，走了一段路程后，又向左拐了50º角，如下图. 现在汽车和原先的行驶方向相同吗？你的依照是什么？

【解】相同. 理由如下：

∵∠AOB=∠A/O/B/=50º, ∴OA∥O/A/,

即汽车和原先的行驶方向相同.

图7

【同步测控】

基础自测

1.如图8,假设∠ADE=∠ABC,那么…………………………………………………………（ ）

∥BF ∥BF ∥BC ∥BC

2.如图8,假设∠ACD=∠F,那么………………………………………………………………（ ）

A. DE∥BF B. DC∥BF C. DE∥BC D. DC∥BC

图8

D

B

图9

C

图10

E

A

F

A

B

图11

E

D

C3.如图9，能判定EB∥AC的条件是………………………………………（ ）

A. ∠C＝∠ABE B. ∠A＝∠EBD C. ∠C＝∠ABC D. ∠A＝∠ABE

4. 如图10，假设∠1=52º，问应使∠C= 度时，能使直线AB∥CD.

5. 若是l1⊥l2，l3⊥l2，那么l1 l3. 理由是 .

6.如图11，请你填写一个适当的条件： ，使AD∥BC．

7. 如图12，假设∠1＋∠2=180º，那么l1∥l2. 试说明理由（填空）.

解：∵∠2＋∠3= （平角的意义），

又∵∠1＋∠2=180º（ ），

∴∠1= （ ），

∴l1∥l2（ ）.

23l31l1l2图12

8.如图13,已知ΔABC及AC上一点D.过D作DE∥BC,交AB于点E;作DF∥AB,交BC于点F.

9. 如图14，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线.

10. 如图15, 在△ABC中, 点D, E别离在AC, BC上.已知∠C=30º, ∠CDE=115º, ∠B=35º,那么DE与AB是不是平行?请说明理由.

能力提升

11．∠1与∠2是两条直线被第三条直线所截的同位角，假设∠1＝50º，那么∠2为……（ ）

A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 不能确信

12.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原先的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度是…………………………………………………………………………………（ ）

A.第一次向右拐40º, 第二次向左拐140º B. 第一次向左拐40º, 第二次向右拐40º

C.第一次向左拐40º, 第二次向左拐140º D. 第一次向右拐40º, 第二次向右拐40°

13.如图16, A, B, C, D四点在同一直线上, E, F是直线同侧的点.已知∠A=50º,∠E=70º, ∠图15

图14

AB图13

C

FBD=30º, 假设要使CE∥DF, 那么∠F= 度.

图16

图17

14.如图17, 已知AB⊥BC, ∠1=126º, 当∠2= 度时, l1∥l2.

15.如图18,在△ABC中，AE是外角∠DAC的平分线.

(1) 已知∠B＝∠C＝40º，AE、BC是不是平行？请说明理由.

(2) 已知∠B＝∠C＝xº，试用x的代数式表示∠DAE的度数，并说明AE, BC是不是平行？

16.如图19,已知∠1=∠2, DE⊥AB, CF⊥AB.判定FG与BC是不是平行,并请说明你的理由.

创新应用

17.甲、乙两车别离从A、B两个车站动身.甲车朝北偏东60º方向直线行驶,乙车朝南偏西60º方向行驶.这两车的线路相互平行吗?请画出行驶线路示用意,并说明理由.

图19

北

1CA432BD参考答案

基础自测

1.如图8,假设∠ADE=∠ABC,那么…………………………………………………………（ ）

∥BF ∥BF ∥BC ∥BC

答案：C

图8

D

B

图9

C

图10

E

A

F

A

B

图11

E

D

C2.如图8,假设∠ACD=∠F,那么………………………………………………………………（ ）

A. DE∥BF B. DC∥BF C. DE∥BC D. DC∥BC

答案：B

3.如图9，能判定EB∥AC的条件是………………………………………（ ）

A. ∠C＝∠ABE B. ∠A＝∠EBD C. ∠C＝∠ABC D. ∠A＝∠ABE

答案：D

4. 如图10，假设∠1=52º，问应使∠C= 度时，能使直线AB∥CD.

答案：52

5. 若是l1⊥l2，l3⊥l2，那么l1 l3. 理由是 .

答案：∥ 在同一平面内, 垂直于同一条直线的两条直线相互平行.

6.如图11，请你填写一个适当的条件： ，使AD∥BC．

答案：如∠FAD=∠FBC, ∠ADB=∠DBC等

7. 如图12，假设∠1＋∠2=180º，那么l1∥l2. 试说明理由（填空）.

解：∵∠2＋∠3= （平角的意义），

又∵∠1＋∠2=180º（ ），

∴∠1= （ ），

∴l1∥l2（ ）.

答案：180º 已知 ∠3 同角的补角相等 同位角相等, 两直线平行

8.如图13,已知ΔABC及AC上一点D.过D作DE∥BC,交AB于点E;作DF∥AB,交BC于点F.

解：如图.

B图13

32l31l1l2图12

AAECDFCB9. 如图14，∠ABC＝∠DEC，BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，试找出图中的各组平行线.

解：∵∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE.

∵BP平分∠ABC，EF平分∠DEC，

∴∠CBP=11∠ABC, ∠CEF=∠DEC,

22图14

∴∠CBP=∠CEF, ∴BP∥EF.

10. 如图15, 在△ABC中, 点D, E别离在AC, BC上.已知∠C=30º, ∠CDE=115º, ∠B=35º,那么DE与AB是不是平行?请说明理由.

解：平行. 理由如下：

∵∠C=30º, ∠CDE=115º, ∴∠DEC=35º.

又∵∠B=35º, ∴∠B=∠DEC, ∴DE∥AB.

能力提升

图15

11．∠1与∠2是两条直线被第三条直线所截的同位角，假设∠1＝50º，那么∠2为……（ ）

A. 50° B. 130° C. 50°或130° D. 不能确信

答案：D

12.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原先的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度是…………………………………………………………………………………（ ）

A.第一次向右拐40º, 第二次向左拐140º B. 第一次向左拐40º, 第二次向右拐40º

C.第一次向左拐40º, 第二次向左拐140º D. 第一次向右拐40º, 第二次向右拐40°

答案：B

13.如图16, A, B, C, D四点在同一直线上, E, F是直线同侧的点.已知∠A=50º,∠E=70º, ∠FBD=30º, 假设要使CE∥DF, 那么∠F= 度.

答案：90

14.如图17, 已知AB⊥BC, ∠1=126º, 当∠2= 度时, l1∥l2.

答案：36

15.如图18,在△ABC中，AE是外角∠DAC的平分线.

(1) 已知∠B＝∠C＝40º，AE、BC是不是平行？请说明理由.

(2) 已知∠B＝∠C＝xº，试用x的代数式表示∠DAE的度数，并说明AE, BC是不是平行？

解：(1) ∵∠B=∠C=40º, ∴∠DAC=80º. ∵AE平分∠DAC, ∴∠DAE=40º.

∴∠DAE=∠B, ∴AE∥BC.

(2) ∵∠B=∠C= x º, ∴∠DAC=2 x º. ∵AE平分∠DAC, ∴∠DAE= x º.

∴∠DAE=∠B, ∴AE∥BC.

16.如图19,已知∠1=∠2, DE⊥AB, CF⊥AB.判定FG与BC是不是平行,并请说明你的理由.

解：平行. 理由如下：

∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90º, ∴∠B=90º-∠1.

∵CF⊥AB, ∴∠CFB=90º, ∴∠AFG=90º-∠2.

图16

图17 图18

图19

又∵∠1=∠2, ∴∠B=∠AFG, ∴FG∥BC.

创新应用

17.甲、乙两车别离从A、B两个车站动身.甲车朝北偏东60º方向直线行驶,乙车朝南偏西60º方向行驶.这两车的线路相互平行吗?请画出行驶线路示用意,并说明理由.

解：如图, ∠1=∠2=60º.

北∵∠2+∠3=90º, ∠3+∠4=90º,

∴∠4=∠2=60º=∠1, ∴AC∥BD.

1CA432BD 平行线的判定(2)

【要点预习】

1.平行线的判定2：

两条直线被第三条直线所截, 若是 相等, 那么这两条直线平行.简单地说, 相等, 两直线平行.

2.平行线的判定3：

两条直线被第三条直线所截, 若是 互补, 那么这两条直线平行.简单地说, 互补, 两直线平行.

【课前热身】

1. 如图1, 若∠1＝∠2, 那么AB∥CD, 理由图1

是 .

答案：同位角相等, 两直线平行

2. 如图1, 若∠3＝∠2, 那么AB∥CD, 理由是 .

答案：内错角相等, 两直线平行

3. 如图1,假设∠2+∠4=180º, 那么AB∥CD, 理由是 .

答案：同旁内角互补, 两直线平行

图2

4.如图，假设∠1＝∠4，那么 ∥ ；假设∠2＝∠3，那么 ∥ .

答案：AD BC DC AB

【讲练互动】

【例1】如图3,一条河流的两个拐角∠ABC与∠BCD均为130º,那么河流AB与河流CD的位置关系是 ,理由是： .

【答案】AB∥CD 内错角相等, 两直线平行

【变式训练】

1.在A、B两地之间要修一条公路(如图4所示)．从A地测得公路的走向是北偏东60º．若是A、B两地同时动工，那么在B地公路按∠α= 度施工，能使公路准确接通．

【答案】120

【例2】如图5,已知∠1=∠2, AC平分∠DAB,试说明DC∥AB.

【解】∵AC平分∠DAB, ∴∠1=∠CAB.

∵∠1=∠2, ∴∠2=∠CAB, ∴DC∥AB.

【变式训练】

2.如图6,已知AE与CE别离是∠BAC与∠ACD的平分线,且∠E=90º. 试说明AB∥CD的理由.

【解】∵∠E=90º, ∴∠EAC+∠ECA=90º.

∵AE平分∠BAC, ∴∠BAC=2∠EAC.

又∵CE平分∠ACD, ∴∠ACD=2∠ECA.

∴∠BAC+∠ACD=90º×2=180º, ∴AB∥CD.

【例3】如图7，已知：∠B+∠BED+∠D=360º.试说明AB∥CD.

【解】连结BD.

∵∠ABE+∠E+∠CDE=360º, ∠DBE+∠E+∠BDE=180º,

∴∠ABD+∠CDB=180º, ∴AB∥CD.

【绿色通道】此题的方式有多种, 也可用EF∥AB, 再通过同旁内角互补说明EF∥CD；还可延长BE(或DE)别离与AB(或CD)相交, 再通过同旁内角互补来讲明EF∥CD.

【变式训练】

3.如图8,点E在直线AB与CD之间,且∠E=70º,∠B=25º,∠C=45º,那么AB与CD平行吗?图7

图6

1图3

图4

D2CA图5

B

说明理由.

【解】连结BC.

∵∠E=70º, ∴∠EBC+∠ECB=110º.

又∵∠ABE=25º, ∠DCE=45º,

∴∠ABE+∠DCE+∠EBC+∠ECB=180º,

即∠ABC+∠ACB=180º, ∴AB∥CD.

图8

【同步测控】

基础自测

1. 如图9所示, 以下条件中, 能判定AB∥CD的是…………………………………（ ）

A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD

Ａ

Ｄ

AD141

2

3

DCB32CＢ

Ｃ

图10

图11

ABE图9

图12

图13

2.如图10，已知∠1=70º，要使AB∥CD，那么须具有另一个条件………（ ）

A．∠2=70º B．∠2=100º C．∠2=110º D．∠3=110º

3. 不相邻的两个直角,若是它们有一边在同一直线上,那么另一边彼此……………（ ）

A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交

4. 如图11，以下条件中不能判定直线l1∥l2的是………………………………………（ ）

A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180°

5. 如图12所示, BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠C.能够判定______∥______, 依照是_____ _.

6.如图13,要使AB∥CD请写出一个条件： .

7.如图14，由∠1=∠B，取得的一组平行线是________；由∠1=∠D，取得的一组平行线是________.

图14

图15

8. 如图15，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110º，要使AB∥CD，那么另一个拐角∠

图16

BCD应弯成_______度.

9. 当图16中各角别离知足以下条件时，哪两条直线平行?并说明理由．

(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠2+∠4=180º.

10. 如图17 ，已知∠AMB=∠ENF, ∠C＝∠D，试说明DF

能力提升

11．如图18所示, 直线a, b被直线c所截, 现给出以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7. 其中能说明a∥b的条件序号为……………………（ ）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④

图17

c

4

6578132ab

图18

B

图19

图20

12. 如图19，∠B=68º，∠E=20º，那么当∠D为 度时, AB∥CD.

13.如图20, 已知∠α=∠β,∠A=40º, 那么当∠ECB= 度时, AB∥CE.

14.阅读以下推理进程，在括号中填写理由：

已知：如图21，∠1=78º，∠2=78º，∠3=78º，∠4=102º.

∵∠1=∠2=78º，∴AB∥CD( )

∵∠2=∠3=78º，∴AB∥CD( )

∵∠2+∠4=78º+102º=180º，

A143C2B图21

D

∴AB∥CD( )

15. 如图22，EF别离交AB、CD于点F、E，FG平分∠EFC，交AB于G．假设∠１＝80º，∠FGE＝50º，说明AB∥CD的理由.

16.如图23是一只风筝的骨架的示用意.已知∠1=∠2, ∠3=∠4. 试AB∥CD的理由.

5

创新应用

17.将一张三角形纸片ABC(如图甲)折叠,如图乙,点A落在A1. 假设要使折痕DE∥BC,应如何折?

图23

CFDAG1EB图22

6

参考答案

基础自测

1. 如图9所示, 以下条件中, 能判定AB∥CD的是…………………………………（ ）

A.∠BAD=∠BCD B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.∠BAC=∠ACD

答案：D

3A12D4Ａ

1

2

Ｄ

DCBC3

Ｂ

Ｃ

图10

图11

ABE图9

图12

图13

2.如图10，已知∠1=70º，要使AB∥CD，那么须具有另一个条件………（ ）

A．∠2=70º

答案：C

3. 不相邻的两个直角,若是它们有一边在同一直线上,那么另一边彼此……………（ ）

B．∠2=100º C．∠2=110º D．∠3=110º

A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交

答案：A

4. 如图11，以下条件中不能判定直线l1∥l2的是………………………………………（ ）

A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3 C. ∠4＝∠5 D.∠2＋∠4＝180°

答案：B

5. 如图12所示, BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠C.能够判定______∥______, 依照是_____ _.

答案：DC AB 内错角相等, 两直线平行

6.如图13,要使AB∥CD请写出一个条件： .

答案：∠A+∠D=180º或∠B+∠C=180º

7.如图14，由∠1=∠B，取得的一组平行线是________；由∠1=∠D，取得的一组平行线是________.

答案：DE∥BC AB∥DF

8. 如图15，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110º，要使AB∥CD，那么另一个拐角∠BCD应弯成_______度.

答案：70

9. 当图16中各角别离知足以下条件时，哪两条直线平行?并说明理由．(1)∠1=∠2；(2)∠1=∠3；(3)∠2+∠4=180º.

解：(1) ∵∠1=∠2, ∴m∥n(内错角相等, 两直线平行).

(2) ∵∠1=∠3, ∴b∥c(同位角相等, 两直线平行).

(3) ∵∠2+∠4=180º, ∴a∥c(同旁内角互补, 两直线平行).

10. 如图17 ，已知∠AMB=∠ENF, ∠C＝∠D，试说明DF解：∵∠A=180º-∠ANC-∠C, ∠F=180º-∠DMF-∠D,

又∵∠AMB=∠ENF, ∠AMB=∠DMF, ∠ENF=∠ANC,

∴∠A=∠F, ∴DF∥AC.

图17

图18

6578图14

图15

图16

c4132ab图20

B

图19

能力提升

11．如图18所示, 直线a, b被直线c所截, 现给出以下四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7. 其中能说明a∥b的条件序号为……………………（ ）

A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④

答案：A

12. 如图19，∠B=68º，∠E=20º，那么当∠D为 度时, AB∥CD.

答案：48

13.如图20, 已知∠α=∠β,∠A=40º, 那么当∠ECB= 度时, AB∥CE.

答案：70

14.阅读以下推理进程，在括号中填写理由：

已知：如图21，∠1=78º，∠2=78º，∠3=78º，∠4=102º.

∵∠1=∠2=78º，∴AB∥CD( )

∵∠2=∠3=78º，∴AB∥CD( )

∵∠2+∠4=78º+102º=180º，

∴AB∥CD( )

答案：同位角相等, 两直线平行 内错角相等, 两直线平行

同旁内角互补, 两直线平行

15. 如图22，EF别离交AB、CD于点F、E，FG平分∠EFC，交AB于G．假设∠１＝80º，∠FGE＝50º，说明AB∥CD的理由.

解：∵∠GEF=∠1=80º, ∠FGE=50º, ∴∠EFG=50º.

∵FG平分∠EFC, ∴∠GFC=50º.

∴∠FGE=∠GFC, ∴AB∥CD.

16.如图23是一只风筝的骨架的示用意.已知∠1=∠2, ∠3=∠4.

试AB∥CD的理由.

解：∵∠5=∠6, ∴∠1+∠2=∠3+∠4.

又∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴2∠1=2∠4,

即∠1=∠4, ∴AB∥CD.

创新应用

17.将一张三角形纸片ABC(如图甲)折叠,如图乙,点A落在A1.

图23

AG1EA143C2B图21

DBCFD图22

5

6

假设要使折痕DE∥BC,应如何折?

解：∠A1DE=∠B.

∵△ADE≌△A1DE, ∴∠ADE=∠A1DE.

又∵∠A1DE=∠B, ∴∠ADE=∠B, ∴DE∥BC.

平行线的性质(1)

【要点预习】

平行线的性质1：

两条平行线被第三条直线所截, 相等.简单地说,两直线平行,

相等.

【课前热身】

1.如图1，已知直线a∥b，∠1=35º，那么∠2的度数是 ．

答案：35º

c1

2

图1

a

图2

图3

b2.如图2, 已知EF∥CD, 那么∠AEF= .

答案：∠ACD

3.如图2, 已知ED∥CB, 那么∠ADE= .

答案：∠B

4.如图3, 已知ED∥CB, 那么∠1= .

答案：∠B

【讲练互动】

【例1】如图4，在屋架上要加一根横梁DE，已知DE∥BC,∠ABC=31º，那么∠ADE等于多少度?说出你的理由.

图4

【解】∵DE∥BC,

∴∠ADE=∠B=31º(两直线平行, 同位角相等).

1【变式训练】

1. 用吸管吸易拉罐内的饮料时，如图5，∠1=110º，那么2＝ 度（易拉罐的上下底面相互平行）

【答案】70

【例2】如图6,已知∠1=∠2,那么∠3=∠4.请说明理由.

【解】∵∠1=∠2, ∴l1∥l2(同位角相等, 两直线平行),

∴∠3=∠4(两直线平行, 同位角相等).

【变式训练】

2. 如图7, 已知直线AB, CD与直线EF, GH相交,

且∠1+∠2=180º，∠3=95º. 求∠4的度数.

【解】如图. ∵∠1+∠2=180º, ∠1+∠5=180º, ∴∠2=∠5,

∴AB∥CD, ∴∠6=∠4.

∵∠6=∠3=95º, ∴∠4=95º.

【例3】如图8,在ΔABC中, ∠ACB=90º,CD是斜边AB边上的高, EF∥CD别离交AB,BC于点F,E.已知∠A=52º,求∠BEF的度数.

【解】∵∠ACB=90º, ∠A=52º, ∴∠B=38º.

∵CD是AB边上的高, ∴∠CDB=90º, ∠BCD=52º.

∵EF∥CD, ∴∠BEF=∠BCD=52º.

【变式训练】

3. 如图9, 已知∠CEP=50º, EP∥AB, FP∥AC, PD⊥AB于D. 求∠FPD的度数.

【解】∵EP∥AB, ∴∠A=∠CEP=50º.

∵FP∥AC, ∴∠PFD=∠A=50º.

∵PD⊥AB, ∴∠PDF=90º, ∴∠FPD=40º.

图8

图6

2图5

图①【同步测控】

基础自测

图9

1.如图10，直线c截两平行直线a、b，那么以下式子中必然成立的是……（ ）

A．∠1=∠5 B． ∠1=∠4 C． ∠1=∠3 D． ∠1=∠2

5

3

4

图10

c

1

2

a

31°

b

A

D

B

70°

C

图11

a

b

图12

2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线…………………………………（ ）

A.相互重合 B.相互平行 C.相互垂直 D.相交

3.如图11，直线a∥b，那么∠A的度数是…………………………………（ ）

A. 28º B. 31º C. 39º D. 42º

4.如图12,在ΔABC中,AD是角平分线,E,F别离是AB,BC边上的点.EF∥AD, ∠EFB=100º,

∠B=60º,那么∠BAC等于………………………………………………………（ ）

A. 60º B. 40º C. 20º D. 100º

5. 设a、b、c为平面内三条不同的直线，若是a∥b，c⊥a，那么b与c的关系是 .

6.如图13，直线AB∥CD，EF⊥CD于F，若是∠GEF=20º，那么∠1的度数是 .

图13 图14

7.如图14，已知AB∥CD，直线MN别离交AB、CD于E、F，∠MFD＝50º，EG平分∠MFD，那么∠MEG的大小是__ _度.

8. 如图15，已知∠C＝∠BED，∠A＝90º，DE能垂直于AB吗？什么缘故？

图15

9. 如图16，已知AB∥CD，直线EF别离截AB、CD于点M、N，MG、NH别离是∠EMB与∠END的平分线. 试说明MG∥NH.

能力提升

10．如图17，AD⊥BC于点D，DE∥AB，那么∠CDE与∠BAD的关系是……………（ ）

A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 不能确信

11.若是两个角的一边在同一直线上，另一边相互平行，那么这两个角只能………（ ）

A. 相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

A

C

E

图16

1

图18

G

B

D

图19

图17

12.学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方式，她是通过折一张半透明的纸取得的（如图(1)～(4) ）：

从图中可知，小敏画平行线的依据有①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．……………………（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

13.如图18，AB14.如图19，AB∥DE，BC∥EF，∠B=62º，求∠E的度数 .

15.如图20，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到镜面上，经两次反射后的出射光线O'B平行于α，求角θ的度数．

创新应用

16.如下图,已知直线MN的同侧有三个点A,B,C,且AB∥MN,BC∥MN,试说明A,•B,C三点在同一直线上.

解：如下图,过B点任作直线PQ交MN于Q,

∵AB∥MN, ∴∠PBA=∠MQP,•

又∵BC∥MN, ∴∠PBC=∠PQN,

又∵∠PQM+∠PQN=180º, ∴∠ABC=180º,

∴A,B,C三点在同一直线上.

AMBCNPAMQBCN

参考答案

基础自测

1.如图10，直线c截两平行直线a、b，那么以下式子中必然成立的是……（ ）

A．∠1=∠5 B． ∠1=∠4 C． ∠1=∠3 D． ∠1=∠2

解析：依照”两直线平行,同位角相等”,可知∠1=∠3.

答案：C

5

3

4

图10

c

1

2

a

31°

A

D

b

B

70°

C

图11

a

b

图12

图13

2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线…………………………………（ ）

A.相互重合 B.相互平行 C.相互垂直

答案：B.

3.如图11，直线a∥b，那么∠A的度数是…………………………………（ ）

A. 28º B. 31º C. 39º D. 42º

D.相交

解析：∵a∥b,∴ABa=ACb=70º,而ABa=AD,可求得∠A=70º-31º=39º.

答案：C

4.如图12,在ΔABC中,AD是角平分线,E,F别离是AB,BC边上的点.EF∥AD, ∠EFB=100º,

∠B=60º,那么∠BAC等于………………………………………………………（ ）

A. 60º B. 40º C. 20º D. 100º

解析：由已知条件可先求出∠BEF=20º. ∵EF∥AD, ∴∠BAD=∠BEF=20º.再依照AD是角平分线,那么∠BAC=2∠BAD=40º.

答案：B

5. 设a、b、c为平面内三条不同的直线，若是a∥b，c⊥a，那么b与c的关系是 .

解析：依照题意画出图形,依照“两直线平行,同位角相等”,可得b与c的关系.

答案：b⊥c

6.如图13，直线AB∥CD，EF⊥CD于F，若是∠GEF=20º，那么∠1的度数是 .

解析：∵AB∥CD, ∴∠1=∠EGD=90º-20º=70º.

答案：70º

7.如图14，已知AB∥CD，直线MN别离交AB、CD于E、F，∠MFD＝50º，EG平分∠MFD，那么∠MEG的大小是__ _度.

解析：∵AB∥CD, ∴∠MEB=∠MFD.再由EG平分∠MFD，可求∠MEG的大小.

答案：25º.

8. 如图15，已知∠C＝∠BED，∠A＝90º，DE能垂直于AB吗？什么缘故？

分析：∵∠A＝90º,故要说明DE垂直于AB,只需说明DE∥AC即可,这可由∠C＝∠BED取得.

解：DE垂直于AB

∵∠C＝∠BED，∴DE∥AC(同位角相等,两直线平行)

∴∠EDB=∠A＝90º (两直线平行,同位角相等)，∴DE⊥AB(垂直的意义).

9. 如图16，已知AB∥CD，直线EF别离截AB、CD于点M、N，MG、NH别离是∠EMB与∠END的平分线. 试说明MG∥NH.

解：∵AB∥CD, ∴∠EMB=∠END.

∵MG、NH别离是∠EMB与∠END的平分线,

∴∠EMG=图15

图14

11∠EMB, ∠ENH=∠END,

22图16

∴∠EMG=∠ENH, ∴MG∥NH.

能力提升

10．如图17，AD⊥BC于点D，DE∥AB，那么∠CDE与∠BAD的关系是……………（ ）

A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 不能确信

解析：∵AB∥DE, ∴∠CDE=∠B. ∵AD⊥BC于点D, ∴∠B与∠BAD互余,那么∠CDE与∠BAD互余.

答案：B

11.若是两个角的一边在同一直线上，另一边相互平行，那么这两个角只能………（ ）

A. 相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补

答案：D.

A

C

E

G

1

B

D

图19

图17

图18

12.学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方式，她是通过折一张半透明的纸取得的（如图(1)～(4) ）：

从图中可知，小敏画平行线的依据有①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．……………………………（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案：C

13.如图18，AB答案：40

14.如图19，AB∥DE，BC∥EF，∠B=62º，求∠E的度数 .

解：∵AB∥DE, ∴∠1=∠B=62º. ∵BC∥EF, ∴∠E=∠1=62º.

15.如图20，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到镜面上，经两次反射后的出射光线O'B平行于α，求角θ的度数．

解：∵AO∥β, ∴∠1=θ. ∵∠1=∠2, ∴∠2=θ.

∵O/B∥α, ∴∠3=θ. ∵∠3=∠4, ∴∠4=θ.

∵∠3+∠4+θ=180º, ∴θ=60º.

创新应用

16.如下图,已知直线MN的同侧有三个点A,B,C,且AB∥MN,BC∥MN,试说明A,•B,C三点在同一直线上.

解：如下图,过B点任作直线PQ交MN于Q,

∵AB∥MN, ∴∠PBA=∠MQP,•

又∵BC∥MN, ∴∠PBC=∠PQN,

又∵∠PQM+∠PQN=180º, ∴∠ABC=180º,

∴A,B,C三点在同一直线上.

AMBCNPAMQBCN 平行线的性质(2)

【要点预习】

1.平行线的性质2：

两条平行线被第三条直线所截, 相等.简单地说,两直线平行,

相等.

2. 平行线的性质3：

两条平行线被第三条直线所截, 互补.简单地说,两直线平行,

互补.

【课前热身】

1. 如图1,∵AD∥BC, ∴∠1＝∠B.（ ）

答案：两直线平行, 同位角相等

2.如图1,∵AB∥CD, ∴∠3＝∠5.（ ）

答案：两直线平行, 内错角相等

3.如图1,∵BE∥CD, ∴∠1＝∠D.（ ）

答案：两直线平行, 内错角相等

4.如图1,∵AB∥CD, ∴∠B＋∠BCD＝180º.（ ）

答案：两直线平行, 同旁内角互补

图1

【讲练互动】

【例1】如图2，Rt△ABC中，ACB90°，DE过点C且平行于AB，假设BCE35°，那么A的度数为………（ ）

ADC图2

BE

A．35° B．45° C．55° D．65°

【解析】∵∠ACB=90º, ∠BCE=35º, ∴∠ACD=55º. 又∵AB∥DE, ∴∠A=∠ACD=55º.

【答案】C

【变式训练】

1.如图3，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，那么∠1=______．

【答案】85º

【例2】如图4，D、E、F别离是BC、CA、AB上的点，DE∥BA，DF∥CA. 说明∠FDE=∠A成立的理由.

【解】∵DE∥BA, ∴∠FDE=∠BFD.

又∵DF∥CA, ∴∠BFD=∠A. ∴∠FDE=∠A.

【变式训练】

2.如图5,AB∥CD,AD平分∠BAC.那么∠CAD=∠CDA.请说明理由.

【解】∵AB∥CD, ∴∠BAD=∠CDA.

图5

图4

图3

∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD. ∴∠CAD=∠CDA.

【例3】如图6，已知AB∥CD，∠ABE=135º，∠EDC=30º，求∠BED的度数.

【解】延长BE, 交CD于F.

∵AB∥CD, ∴∠ABE+∠BFD=180º.

∵∠ABE=135º, ∴∠BFD=45º.

∴∠BED=∠BFD+∠EDC=45º+30º=75º.

【变式训练】

3. 如图7所示,AB∥CD,那么∠A+∠E+∠F+∠C等于………………（ ）

° ° ° °

【答案】C

图6

AEFC图7

BD【同步测控】

基础自测

1.一条公路两次转弯后又回到原先的方向(即AB∥CD，如图8)，若是第一次转弯时的∠B＝

140º，那么∠C应是……………………………………（ ）

A. 140° B. 40° C. 100° D. 180°

C

A

140°

D

ABA

E

B

图8

F

图9

2.如图9，AB∥CD，直线EF别离交AB、CD于E、F两点，假设∠FEB＝110°，那么∠EFD等于………………………………………………………………………………（ ）

A．50° B．60° C．70° D．110°

3.如图10，已知AB∥CD，∠C=35º，BC平分∠ABE，那么∠ABE的度数是………（ ）

A. 17.5° B. 35° C. 70° D. 105°

4.将一副直角三角尺如图11放置，已知AE∥BC，那么∠AFD的度数是…（ ）

A. 45º B. 50º C. 60º D. 57º

C图10

E图2B

D图11

D

C

5.如图12，AB∥CD，∠B58，∠E20，那么∠D的度数为 ．

E

A

C

E

B

C

图13

DC

A

F

图12

D

B

D

AB图14

6.如图13所示，AB∥CD，∠ABE110，那么∠ECD ．

7.如图14，一个合格的弯形管道，经两次拐弯后维持平行（即AB∥DC）. 若是∠C=60º，那么∠B的度数是 .

8.如图15，已知,∠1=82º，∠2= 98º，∠3=80º. 求∠4的度数.

9. 如图16，已知AB∥CD，直线EF别离交AB，CD于点E，F, EG5

图15

图16

平分∠AEF，∠1=40º，求∠2的度数．

10. 如图17，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70º. 将求∠AGD的进程填写完整.

解：∵EF∥AD（ ）

∴∠2 = （ ）

又∵ ∠1 = ∠2（ ）, ∴ ∠1 = ∠3.

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC + = 180º.

又∵∠BAC = 70º, ∴∠AGD = .

能力提升

11如图18，是赛车跑道的一段示用意，其中AB∥DE，测得∠B＝140º，∠D＝120º，那么∠C的度数为…………………………………………………………………（ ）

A. 120° B. 100° C. 140° D. 90°

B

C

E

图18

D

图19 图20

图17

A

E

D

A

B

G 1

F

C

D

C

图21

12.如图19，DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么图中与∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的个数是……………………………………………………………………………………………（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

13.如图20，AB∥CD，∠E＝27º，∠C＝52º，那么∠EAB的度数为………（ ）

A．25° B．63° C．79° D．101°

14.如图21，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，假设158，那么AEG ．

15.一幅三角板按图22所示叠放在一路，假设固定△AOB，将△ACD绕着公共极点A，按顺时针方向旋转α度（0<α<180），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是

图22

___________.

16. 已知：如图23， AB∥CD，直线EF别离交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P．试说明∠P=

90的理由.

17. 咱们在七下中学习了三角形的内角和等于180º，那时，咱们是通过拼图的方式取得的. 此刻你可否利用平行线的性质来得出“三角形的内角和等于180º”. (提示：过点A作EF∥BC)

图24

图23

创新应用

18. 如以下图所示, 已知AB∥CD, 别离探讨以下四个图形中∠P与∠A, ∠C的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.

P

ABAPBACPBDACPBDCDCD (1) (2) (3) (4)

参考答案

基础自测

1.一条公路两次转弯后又回到原先的方向(即AB∥CD，如图8)，若是第一次转弯时的∠B＝140º，那么∠C应是……………………………………（ ）

A. 140° B. 40° C. 100° D. 180°

解析：依照”两直线平行,内错角相等”,可知∠C=∠B＝140°.

答案：A

C

A

140°

ABA

E

D

F

图11

B

图8

图9

C图10

E图2B

DD

C

2.如图9，AB∥CD，直线EF别离交AB、CD于E、F两点，假设∠FEB＝110°，那么∠EFD等于………………………………………………………………………………（ ）

A．50° B．60° C．70° D．110°

解析：依照“两直线平行, 同旁内角互补”可知∠FEB+∠EFD=180º, 那么∠EFD=70º.

答案：C

3.如图10，已知AB∥CD，∠C=35º，BC平分∠ABE，那么∠ABE的度数是………………………………………………………………………………………………（ ）

A. 17.5° B. 35° C. 70° D. 105°

解析：由AB∥CD，可得∠ABC=∠C=35º，而BC平分∠ABE，故∠ABE=2∠ABC=70º.

答案：C

4.将一副直角三角尺如图11放置，已知AE∥BC，那么∠AFD的度数是…（ ）

A. 45º B. 50º C. 60º D. 57º

解析：∵∠AFD=∠C+∠CDE,由AE∥BC可知∠CDE=∠AED=45º,∴+45º=57º.

∠AFD=30º答案：D

5.如图12，AB∥CD，∠B58，∠E20，那么∠D的度数为 ．

解析：∵∠CFD=∠D+∠E,而由AB∥CD可知∠CFD=∠B58,∴∠D=58º-20º=38º.

答案：38ºE

A

B

C

图13

DC

E

C

A

F

图12

D

D

B

AB图14

6.如图13所示，AB∥CD，∠ABE110，那么∠ECD ．

解析：由AB∥CD可知∠ECD∠ABC=180∠ABE,可求得正确答案.

答案：70º

7.如图14，一个合格的弯形管道，经两次拐弯后维持平行（即AB∥DC）.

若是∠C=60º，那么∠B的度数是 .

答案：120°

图15

5

8.如图15，已知,∠1=82º，∠2= 98º，∠3=80º. 求∠4的度数.

解：∵∠1=82 º, ∴∠5=98 º. 又∵∠2=98 º, ∴∠2=∠5.

∴a∥b, ∴∠4=∠3=80º.

9. 如图16，已知AB∥CD，直线EF别离交AB，CD于点E，F, EG平分∠AEF，∠1=40º，求∠2的度数．

图16

解：∵AB∥CD, ∴∠AEG=∠1=40 º.

∵EG平分∠AEF, ∴∠FEG=40 º, ∴∠EFD=∠1+∠FEG=80 º.

∵AB∥CD, ∴∠2+∠EFD=180 º, ∴∠2=180 º-∠EFD =100 º.

10. 如图17，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70º. 将求∠AGD的进程填写完整.

解：∵EF∥AD（ ）

∴∠2 = （ ）

又∵ ∠1 = ∠2（ ）, ∴ ∠1 = ∠3.

∴AB∥ （ ）

∴∠BAC + = 180º.

又∵∠BAC = 70º, ∴∠AGD = .

答案：已知 ∠3 两直线平行, 同位角相等 已知 DG ∠AGD 110 º

能力提升

11如图18，是赛车跑道的一段示用意，其中AB∥DE，测得∠B＝140º，∠D＝120º，那么∠C的度数为…………………………………………………………………（ ）

A. 120° B. 100° C. 140° D. 90°

解析：连结BD, 依照“两直线平行, 同旁内角互补”与“三角形内角和是180º”,可得∠ABC+∠C+∠CDE=∠ABD+∠BDE+∠DBC+∠C+∠BDC=180º+180º=360º, 那么∠C=360º-140º-120º=100º.

答案：B

B

C

E

图18

D

图19 图20

图17

A

E

D

A

B

G 1

F

C

D

C

图21

12.如图19，DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么图中与∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的个数是……………………………………………………………………………………………（ ）

A．2 B．4 C．5 D．6

解析：由DH∥EG∥BC, 且DC∥EF, 可知与∠BFE相等的角有∠BCD,∠FEG,∠CAG,∠EAD,与∠CDH共五个.

答案：C

13.如图20，AB∥CD，∠E＝27º，∠C＝52º，那么∠EAB的度数为………（ ）

A．25° B．63° C．79° D．101°

解析：延长EA交CD于F, 那么∠EFD=∠C+∠E=79 º, 再由AB∥CD即可求得∠EAB的度数.

答案：C

14.如图21，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，假设158，那么AEG ．

答案：64º

15.一幅三角板按图22所示叠放在一路，假设固定△AOB，将△ACD绕着公共极点A，按顺时针方向旋转α度（0<α<180），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是___________.

图22

解析：当CD∥AB时, α=30 º；当AC∥OB时, α=45 º；当CD∥OA时, α=75 º；当AD∥OB时, α=135 º；当CD∥OB时, α=165 º.

答案：30或45或75或135或165

16. 已知：如图23， AB∥CD，直线EF别离交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P．试说明∠P=

90的理由.

解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180º.

又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，

图23

11∠BEF，∠PFE=∠DEF.

221∴∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90º.

2∴∠PEF=∵∠PEF+∠PFE+∠P=180º, ∴∠P=90º.

17. 咱们在七下中学习了三角形的内角和等于180º，那时，咱们是通过拼图的方式取得的. 此刻你可否利用平行线的性质来得出“三角形的内角和等于180º”. (提示：过点A作EF∥BC)

解：过点A作EF∥BC, 那么∠EAB=∠B, ∠FAC=∠C.

∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180 º, ∴∠BAC+∠B+∠C=180 º.

图24

创新应用

18. 如以下图所示, 已知AB∥CD, 别离探讨以下四个图形中∠P与∠A, ∠C的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.

P

ABAPBACPBDACPBDCDCD (1) (2) (3) (4)

解：(1)∠P=360 º-∠A-∠C；

(2) ∠P=∠A+∠C；

(3) ∠P=∠C-∠A；

(4) ∠P=∠A-∠C.

平行线之间的距离

【要点预习】

1.两条平行线之间的距离的概念：

两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的 叫做两条平行线之间的距离.

2.平行线之间的距离的性质：

两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的距离 .

【课前热身】

1.如图1，点A与点B之间的距离是 的长度.

答案：线段AB

2.如图2, 已知直线l和点P，请量出点P到直线l的距离是 .(精准到0.1cm).

图1

图2

图3

图4

3. 如图3，a∥b，A，B是直线a上的两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足别离为C，D. 若是AC=2cm，那么BD=_______cm.

答案：2

4．如图4,请在图中画出表示直线m与直线n之间的距离的线段.

【讲练互动】

【例1】如图5,直线AB与CD不平行,点P在AB上,PQ⊥CD于Q.以下说法正确吗?正确的在括号内打”T”,错误的打”F”.

(1)线段PQ的长度是直线AB,CD之间的距离………………………（ ）

(2)线段PQ的长度是点P到直线CD的距离…………………………（ ）

(3)线段PQ的长度是点Q到直线AB的距离…………………………（ ）

(4)线段PQ的长度是点P与点Q之间的距离………………………（ ）

【解析】关于(1), 由于AB与CD不平行, 故这两条直线间的距离不能确信；关于(3), 由于QP不垂直于AB, 故不正确；关于(2), (4)均正确.

【答案】F T F T

【变式训练】

1.如图6, 直线l∥m,A,B别离在直线l,m上的点. 那么直线l,m之间的距离……………………………………………（ ）

A.大于AB的长度 B.等于AB的长度

C.小于AB的长度 D.无法确信

【答案】D

AlmB图7

图6

图5

【例2】如图7,已知直线l∥m,测量直线l与m之间的距离,并说明你的测量方式.

【解】在直线l任取一点A, 作AB⊥m于B, 那么线段AB的长度确实是直线l与直线m间的距离.

【变式训练】

2.如图，AB∥CD，AD∥BC，请过点B作AD与BC之间的垂线段，并量出AD与BC之间的距离.

图8

【例3】如图9,直线l1∥l2,点A在l1上,点B,C在l2上,BC=5cm,ΔABC的面积为20cm2.求l1与l2间的距离.

【解】设l1与l2间的距离为h, 那么S△ABC=∴20=1BC·h.

2图9

1×5×h, ∴h=8cm.

2【变式训练】

3.如图10,已知AB∥CD, AC与BD交于点O.试说明S△OAD=S△OBC的理由.

【解】∵AB∥CD, ∴△DAB与△CAB在AB边上的高相等.

∴S△DAB=S△CAB, ∴S△DAB-S△OAB=S△CAB S△OAB,

∴S△OAD=S△OBC.

图10

【同步测控】

基础自测

1. 过线段AB的中点,画直线m⊥AB,假设AB=2cm,那么点A到直线m的距离是………（ ）

A. 1 cm B. 2cm C. 3cm D. 不能确信

2. 如图11,在面积6cm2为长方形ABCD中,AD=2cm,那么AD与BC之间的距离为…（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 6cm D.以上都不对

3.在同一平面内,与已知直线的距离等于3cm的直线有………………………………（ ）

A. 一条 B. 两条 C. 无数条 D. 条数不能确信

4.将一条线段沿某一方向平移, 记平移的距离为m, 线段和它的像与在的两条直线之间的距离为n, 那么………………………………………………………………………………（ ）

A. m=n B. m>n C. m

5.已知直线m∥n,且A,B是直线m上的不同的两点.假设点A到直线n的距离为2cm,那么点B到直线n的距离为 cm.

6.如图12,□ABCD中, ∠A=45º, 那么AB与CD之间的距离 AD.(填”>”,”=”或”<”)

图11

图12

图13

7.如图13, 已知直线m∥n, 点A, B在直线n上, 点C, D在直线m上, 假设S△ABD=4cm2,那么S△ABC= .

8.已知直线m∥n,且m,n之间的距离为4.假设以直线n为对称轴作直线m的轴对称图形,取得直线p,那么直线m与直线p的位置关系为 ,它们之间的距离为 .

9.如图14，已知作出一条，不要

图15

直线l，求作一条直线m，使l与m的距离为2cm(只需l求写出作法).

10.如图15, 已知梯形ABCD,它的面积为36cm2,AB=2CD=8cm. 求直线AB与CD之间的距离.

能力提升

11. 如图16, 甲船从北岸码头A向南行驶, 航速为36千米/时. 乙船从南岸码头B向北行驶,

航速为27千米/时.两船均从7:00动身, 江宽为千米. 那么两船距离最近的时刻是…………………………………………（ ）

A. 7:20 B. 7:19 C. 7:18 D. 7:17

图16

图17

图18

12.如图17, 在△ABC中, ∠ACB=90º. 把ΔABC沿BC方向平移,取得ΔDEF. 设AB与DE之间的距离为m, AC与DF之间的距离为n, 那么……………………（ ）

=n >n

13.已知ΔABC的面积为15cm2,AC=5cm,直线DE通过点B且平行于AC,那么DE与AC之

间的距离为 cm.

14.已知∠A与∠B的两边别离平行, 且∠A=35º,那么∠B= 度.

15.如图18,已知□ABCD的周长为25cm，对边的距离别离为DE＝2cm和DF＝3cm，求那个平行四边形的面积.

16.如图19,在ΔABC中, ∠B=∠C,过AB边上作一点D作DE∥BC交AC于点⊥BC,DN⊥BC.

(1) 说明DM∥EN的理由；(2) 说明BM=CN的理由.

创新应用

图19

17.如图20,直线AB∥CD∥EF, AP与EP别离平分∠BAC与∠FEC.那么AB与CD之间的距离和EF与CD的之间距离相等吗?请说明理由.

图20

参考答案

基础自测

1. 过线段AB的中点,画直线m⊥AB,假设AB=2cm,那么点A到直线m的距离是………（ ）

A. 1 cm B. 2cm C. 3cm D. 不能确信

答案：A

2. 如图11,在面积6cm2为长方形ABCD中,AD=2cm,那么AD与BC之间的距离为…（ ）

A. 2cm B. 3cm C. 6cm D.以上都不对

答案：B

3.在同一平面内,与已知直线的距离等于3cm的直线有………………………………（ ）

图11

图12

图13

A. 一条 B. 两条 C. 无数条 D. 条数不能确信

答案：B

4.将一条线段沿某一方向平移, 记平移的距离为m, 线段和它的像与在的两条直线之间的距离为n, 那么………………………………………………………………………………（ ）

A. m=n B. m>n C. m

答案：D

5.已知直线m∥n,且A,B是直线m上的不同的两点.假设点A到直线n的距离为2cm,那么点B到直线n的距离为 cm.

答案：2

6.如图12,□ABCD中, ∠A=45º, 那么AB与CD之间的距离 AD.(填”>”,”=”或”<”)

答案：<

7.如图13, 已知直线m∥n, 点A, B在直线n上, 点C, D在直线m上, 假设S△ABD=4cm2,那么S△ABC= .

答案：4cm2

8.已知直线m∥n,且m,n之间的距离为4.假设以直线n为对称轴作直线m的轴对称图形,取得直线p,那么直线m与直线p的位置关系为 ,它们之间的距离为 .

答案：平行 8

9.如图14，已知直线l，求作一条直线m，使l与m的距离为2cm(只需作出一条，不要求写出作法).

解：如图.

10.如图15, 已知梯形ABCD,它的面积为36cm2,AB=2CD=8cm. 求直线AB与CD之间的距离.

解：设AB与CD间的距离为h, 那么

图15

图14

mlm/A

S梯形ABCD=能力提升

11(CD+AB)·h, ∴36=(4+8)h, ∴h=6cm.

2211. 如图16, 甲船从北岸码头A向南行驶, 航速为36千米/时. 乙船从南岸码头B向北行驶, 航速为27千米/时.两船均从7:00动身, 江宽为千米. 那么两船距离最近的时刻是…………………………………………（ ）

A. 7:20 B. 7:19 C. 7:18 D. 7:17

答案：C

12.如图17, 在△ABC中, ∠ACB=90º. 把ΔABC沿BC方向平移,取得ΔDEF. 设AB与DE之间的距离为m, AC与DF之间的距离为n, 那么…………………………………………………………………（ ）

=n >n

答案：C

13.已知ΔABC的面积为15cm2,AC=5cm,直线DE通过点B且平行于AC,那么DE与AC之间的距离为 cm.

答案：

14.已知∠A与∠B的两边别离平行, 且∠A=35º,那么∠B= 度.

答案：35或145

15.如图18,已知□ABCD的周长为25cm，对边的距离别离为DE＝2cm和DF＝3cm，求那个平行四边形的面积.

解：设□ABCD的面积为S, 那么AB=SS∴225, 解得S=15.

23图17

图16

SSSS, BC=,

DE2DF3图18

16.如图19,在ΔABC中, ∠B=∠C,过AB边上作一点D作DE∥BC交AC于点⊥BC,DN⊥BC.

(1) 说明DM∥EN的理由；

(2) 说明BM=CN的理由.

解：(1) ∵DM⊥BC, EN⊥BC, ∴DM∥EN.

(2) ∵DE∥BC, 且DM⊥BC, EN⊥BC,

∴DM=EN, ∠DME=∠ENC=90 º.

又∵∠B=∠C, ∴△DBM≌△ECN, ∴BM=CN.

图19