九年级圆的认识

2024年1月4日发(作者：写小狗的作文)

9、圆的定义

1、圆的表示方法：圆是平面上到 的距离等于 的所有点组成的集合。

以O为圆心的圆，记作“______”，读作“________”。

思考：“画圆需要几个条件，如何画圆”（圆心和半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小）

2、在平面内，点与圆有哪几种位置关系？

如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么

点P在圆内____________； 点P在圆上____________； 点P在圆外____________。

逆命题是否成立？

符号“”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，从右端可以推出左端。

3. 证明n点（n≥4）共圆的方法：找一个点O使得这n点到点O的距离相等，则这n点在以点O为圆心的圆上。

典型例题

例1：4．已知⊙O的半径为5cm．

(1)若OP＝3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O__________；

(2)若OQ＝5cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：点Q在⊙O__________；

(3)若OR＝7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：点R在⊙O__________；

例3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是__________________．

强化练习

1．已知⊙O的直径为8cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？

2．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．

C

·

M

B

E

A

F

二、圆的对称性

（一）圆心角、弧、弦之间的关系：

1、在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

2、在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量都分别相等。

注意：⑴不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．

3、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来

刻画弧的大小呢？

弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

典型例题

例1. （2007•无锡）下列结论正确的是（ ）

A．长度相等的两条弧是等弧 B．半圆是弧

C.等弧所对的弦 D．弧是半圆

练.下列语句中不正确的有（ ）

①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；

③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．

练.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离为____________

例3、如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

ACBO强化练习

1、画一个圆和圆的一些弦，使得所画图形满足下列条件：

（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）既是轴对称图形，又是中心对称图形。

2、 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

3、 ⊙O中，直径AB∥CD弦，AC度数60，则∠BOD=_____ 。



4、在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 。

（二）圆的对称性

1、圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它

的对称轴。

ADOCCACDCOOABOOBDBAB2、垂径定理

①垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的弧；

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；

③弦的中垂线经过圆心，并且平分弦所对的弧；

④平分弦所对的弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧

3、注意：①条件中的“弦”可以是直径； ②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

典型例题

例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？

例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

⑴求的半径； ⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

APOBOACDB

例3. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：

⑴桥拱半径 ⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？

A

C

M

D

O

F

B

例4. △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．

【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解。

【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键．定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，同学们在复习时要特别注重基本图形的掌握．

练：如图2，半圆的直径AB10，点C在半圆上，BC6．

（1）求弦AC的长；

（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

A

P

（图2）

B

C

E

强化练习

1、如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M．则有AM=_____， _____=

DACMOBA，___= ．

OPCOPBD

T1 T2 T3

2.过⊙O内一点P作一条弦AB，使P为AB的中点.

3.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 CM.

4．（2011•扬州）⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为（ ）

A．12 B．8 C．12或28 D．8或32

5．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．

6、如图，在半径为2cm的圆O内有长为23cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为

ABO

7.如图，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，比较∠BAC与

∠BDC的大小，并说明理由．

8、如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，

OM的延长线与BC相交于点N．

（1）点N是线段BC的中点吗？为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

9、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．

（1）求证：OC∥BD；

（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．

9、AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。

（1）求证：△AHD∽△CBD

（2）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。

10、如图，已知AB是⊙O的直径，EO⊥AB，AE交⊙O于点C，BC交EO于点F

求证：①BO·EF＝EC·BF ②2AO2＝AC·AE