2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一(上

2023年12月31日发(作者：屋面防水规范)

2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.注意：答在试卷上无效）

1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜9}，集合𝐵={𝑥|√𝑥−1＜4}，则A∩B＝（ ）

A．{x|﹣3≤x＜3} B．{x|﹣3≤x＜9} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x＜9}

2．已知条件p：a＝b（ab≠0），条件q：𝑎+1𝑎=𝑏+1𝑏，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列各组函数图象相同的是（ ）

A．y＝x2与𝑦=𝑥3𝑥 B．y＝|x|与𝑦=(√𝑥)2

C．𝑦=√𝑥2与y＝x D．𝑦=3√(𝑥+1)3与y＝x+1

4．下列推断正确的是（ ）

A．若a2＞b2，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若a＞b，则a3＞b3 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

5．函数f（x）＝ax2+2x+1，g（x）＝x+a，则f（x）与g（x）的图象在同一坐标系中可能是（ ）A． B．

C． D．

6．已知点P（m，n）位于函数y＝﹣3x+4的图象在第一象限内的部分上，则3𝑚+1𝑛的最小值为（

A．5 B．4 C．3 D．2

第1页（共13页）

）

7．若函数f（x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则函数𝑓(√𝑥−2)的定义域是（ ）

A．[1，5] B．[0，4] C．[1，25] D．[0，16]

𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)𝑥−𝑦8．若函数f（x）的定义域为R，且f（3）＝5．若对任意不相等的实数x，y，恒有不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，2）

＞−2，则D．（2，+∞）

二、多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.注意：答在试卷上无效）

9．设集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+4x+5}，全集U＝R，下列说法正确的是（ ）

A．A∩B＝{﹣1} B．A∩B＝{2} C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∪B＝B

10．下列命题正确的是（ ）

A．“xy＞6”的一个充分不必要条件是“x＞2且y＞3”

B．命题“∀x≥1，x2+2x﹣3≥0”的否定是“∃x＜1，x2+2x﹣3＜0”

C．若集合{x|ax2+2x+1＝0}只有两个子集，则a＝1

D．函数𝑓(𝑥)=𝑥2+3√𝑥2+1

的最小值为2√2

11．下列函数在区间（2，+∞）上单调递增的是（ ）

A．𝑦=𝑥+

1𝑥B．𝑦=𝑥−

3𝑎𝑏1𝑥C．𝑦=4𝑎𝑏1

4−𝑥D．𝑦=√𝑥2−4𝑥+3

12．若正数a，b满足a+b＝2，则A．4 B．6

+的值可能为（ ）

C．8 D．10

三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.注意：答在试卷上无效）

13．设集合𝐴={𝑥|2𝑥+1≤1}，B＝{x||x+2|≤3}，则A∩B＝ ．

𝑥+314．设函数f（x）满足f（3﹣x）+2f（x）＝x+3，则f（3）＝ ．

15．设函数f（x）＝x+1，g（x）＝x2﹣x+2a，若对∀x1∈[﹣2，0]，∃x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围为 ．

16．若x＞1时，4x2﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立，则a的取值范围为 ．

四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.注意：答在试卷上无效）

17．（10分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，𝐵={𝑥|𝑥−2＞2}．

（1）当m＝2时，求A∩B；

第2页（共13页）

𝑥+3

（2）若A∪B＝B，求m的取值范围．

18．（12分）设正实数x，y满足2x+3y＝xy，试求：

（1）x+y的最小值；

（2）xy的最小值．

𝑎2−𝑏2，𝑎≥𝑏19．（12分）定义运算a☆b={，设f（x）＝（2x﹣1）☆3．

𝑎𝑏，𝑎＜𝑏（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x）＜7．

20．（12分）假设某冷藏运输车以不低于30km/h的速度从甲地向相距300km的乙地运送某种冷鲜食品时，总耗油量P（L）与行驶速度v（km/h）的关系为𝑃=𝑘1𝑣+𝑘2（k1，k2为常数），冷藏成本Q（元）与行𝑣驶速度v成反比．已知该车某次以60km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油32L，冷藏成本为108元；另一次以75km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油31L．供货商每次按0.9元/（km•t）的价格付给司机运费，设货车油价保持8.1元/L不变．（该车从起步至速度达到30km/h过程中的耗油量忽略不计）

（1）求该车从甲地向乙地运送该冷鲜食品的总成本f（v）（元）与行驶速度v（v≥30）的关系式．

（2）根据《道路交通安全法》规定，该车在此路段限速80km/h，若该车从甲地运输5t该冷鲜食品到乙地，则该车以多大的速度行驶时，收益最大？最大收益是多少元？

21．（12分）设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm（1）求f（x）的解析式；

（2）设不等式f（x）≤4x+5的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的解析式．

22．（12分）设定义在R上的函数f（x）满足：①对∀x，y∈R，都有𝑓(𝑥+𝑦)=f（x）＞0；③不存在x∈R，使得|f（x）|＝1．

（1）求证：f（x）为奇函数；

（2）求证：f（x）在R上单调递增；

4+5𝑓(𝑚𝑥)1+2𝑓(𝑚𝑥2)1（3）设函数g（x）＝x﹣x﹣3，𝑓(1)=2，不等式＞对∀x∈R恒成立，试求g5+4𝑓(𝑚𝑥)2+𝑓(𝑚𝑥2)2﹣2在（0，+∞）单调递增．

𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)；②x＞0时，1+𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)（m）的值域．

第3页（共13页）

2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.注意：答在试卷上无效）

1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜9}，集合𝐵={𝑥|√𝑥−1＜4}，则A∩B＝（ ）

A．{x|﹣3≤x＜3}

解：∵√𝑥−1＜4，

∴1≤x＜17，

故B＝{x|1≤x＜17}，

又∵A＝{x|﹣3≤x＜9}，

∴A∩B＝{x|1≤x＜9}，

故选：D．

2．已知条件p：a＝b（ab≠0），条件q：𝑎+A．充分不必要条件

C．充要条件

11=𝑏+，则p是q的（ ）

𝑎𝑏B．{x|﹣3≤x＜9} C．{x|1≤x＜3} D．{x|1≤x＜9}

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

11=𝑏+，充分性成立，

𝑎𝑏解：当a＝b（ab≠0）时，则a≠0，b≠0，必有𝑎+当𝑎+111=𝑏+时，则a＝b（ab≠0）或𝑎=（ab≠0），必要性不成立，

𝑎𝑏𝑏故选：A．

3．下列各组函数图象相同的是（ ）

𝑥3A．y＝x与𝑦=𝑥

2B．y＝|x|与𝑦=(√𝑥)2

3

C．𝑦=√𝑥2与y＝x

𝑥3D．𝑦=√(𝑥+1)3与y＝x+1

解：因为函数y＝x2，（x∈R），𝑦=𝑥=x2，（x≠0），解析式相同，定义域不同，不是同一函数，图象不同；

函数y＝|x|，x∈R与𝑦=(√𝑥)2=x，x≥0，解析式与定义域均不相同，不是同一函数，图象不同；

函数𝑦=√𝑥2=|x|与y＝x定义域相同，解析式不同，不是同一函数，图象不同；

函数𝑦=√(𝑥+1)3=x+1与y＝x+1定义域与解析式均相同，是同一函数，从而图象相同．

故选：D．

第4页（共13页）

3

4．下列推断正确的是（ ）

A．若a2＞b2，则a＞b

C．若a＞b，则a3＞b3

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

解：A：当a＝﹣1，b＝0时，a＜b，故A错误；

B：当a＝c＝0，b＝d＝﹣1，ac＜bd，故B错误；

C：当a＞b时，a3＞b3成立，故C正确；

D：当a＝c＝1，b＝0，d＝﹣1时，a﹣c＜b﹣d，故D错误．

故选：C．

5．函数f（x）＝ax2+2x+1，g（x）＝x+a，则f（x）与g（x）的图象在同一坐标系中可能是（ ）

A． B．

C． D．1𝑎

解：①当a＜0时，f（x）的图象开口向下，且对称轴x=−在y轴右侧，g（x）的图象与y轴交于负半轴，

所以A错误，C正确；

②当a＞0时，f（x）的图象开口向上，g（x）的图象与y轴交于正半轴，故D错误，

又因为a＞0时，f（x）图象的对称轴x=−𝑎在y轴左边，

所以B错误．

故选：C．

6．已知点P（m，n）位于函数y＝﹣3x+4的图象在第一象限内的部分上，则A．5 B．4 C．3 D．2

3𝑚1+的最小值为（ ）

𝑛1解：由题意知n＝﹣3m+4，且m＞0，n＞0，

第5页（共13页）

故3𝑚+𝑛43𝑚=1，

1𝑛所以+=(3𝑚+)⋅𝑛13𝑚+𝑛4=14(9+1+3𝑚𝑛+3𝑛𝑚)≥4，当且仅当3𝑚𝑛=3𝑛𝑚且3m+n＝4即m＝n＝1，等号成立．

故选：B．

7．若函数f（x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，则函数𝑓(√𝑥−2)的定义域是（ ）

A．[1，5] B．[0，4] C．[1，25] D．[0，16]

解：函数f（x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，﹣1≤x≤3，解得﹣2≤x﹣1≤2，

故f（x）的定义域是[﹣2，2]，

函数𝑓(√𝑥−2)，有−2≤√𝑥−2≤2，解得0≤x≤16，

故函数𝑓(√𝑥−2)的定义域是[0，16]，

故选：D．

8．若函数f（x）的定义域为R，且f（3）＝5．若对任意不相等的实数x，y，恒有不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集为（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，2）

𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)𝑥−𝑦𝑥−𝑦𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)𝑥−𝑦＞−2，则D．（2，+∞）

解：由对任意不相等的实数x，y，恒有所以对任意不相等的实数x，y，恒有令g（x）＝f（x）﹣2x，

则对任意不相等的实数x，y，恒有不妨设x＞y，则y﹣x＜0，

＞−2，

𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)+2𝑥−2𝑦𝑥−𝑦𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)+2＞0，即＞0，

𝑔(𝑦)−𝑔(𝑥)𝑥−𝑦＞0，即𝑔(𝑦)−𝑔(𝑥)𝑦−𝑥＜0，

所以g（y）﹣g（x）＞0，g（x）＜g（y），

所以g（x）在R上单调递减．

所以f（2x﹣1）＜4x﹣3，即为f（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＜﹣1，

又因为f（3）＝5，

所以﹣1＝f（3）﹣2×3，

所以f（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＜f（3）﹣2×3，

即g（2x﹣1）＜g（3），

2x﹣1＞3，

解得x＞2，

所以不等式f（2x﹣1）＜4x﹣3的解集为（2，+∞）．

第6页（共13页）

故选：D．

二、多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.注意：答在试卷上无效）

9．设集合A＝{y|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+4x+5}，全集U＝R，下列说法正确的是（ ）

A．A∩B＝{﹣1}

解：y＝x2+1≥1，

则A＝{y|y≥1}，

y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，

则集合B＝{y|y≥1}，故A＝B，故CD符合题意．

故选：CD．

10．下列命题正确的是（ ）

A．“xy＞6”的一个充分不必要条件是“x＞2且y＞3”

B．命题“∀x≥1，x2+2x﹣3≥0”的否定是“∃x＜1，x2+2x﹣3＜0”

C．若集合{x|ax2+2x+1＝0}只有两个子集，则a＝1

D．函数𝑓(𝑥)=𝑥2+3√𝑥2+1B．A∩B＝{2} C．（∁UA）∩B＝∅ D．A∪B＝B

的最小值为2√2

解：A：当x＞2且y＞3时一定有xy＞6，当xy＞6，如x＝1，y＝7，故A正确，

B：根据全称命题与特称命题的否定关系即可判断B错误，

C：因为集合{x|ax2+2x+1＝0}只有两个子集说明该集合是单元素集，即方程ax2+2x+1＝0仅有一个根，

则判别式为4﹣4a＝0或a＝0，解得a＝1或a＝0，故C错误；

D：因为𝑥2+3√𝑥2+1=√𝑥2+1+√𝑥2+1≥2√2，当且仅当x＝±1，等号成立，D正确．

2故选：AD．

11．下列函数在区间（2，+∞）上单调递增的是（ ）

A．𝑦=𝑥+

1𝑥B．𝑦=𝑥−

1𝑥1𝑥C．𝑦=1

4−𝑥D．𝑦=√𝑥2−4𝑥+3

解：由“对勾”函数的性质，函数𝑦=𝑥+在（1，+∞）单调递增，在（2，+∞）也单调递增，A正确；

由y＝x在（2，+∞）单调递增，𝑦=𝑥在（2，+∞）单调递减，则𝑦=𝑥−𝑥在（2，+∞）单调递增，B正确；

函数𝑦=4−𝑥在x＝4处无定义，C错误；

第7页（共13页）

111

函数𝑦=√𝑥2−4𝑥+3的定义域为（﹣∞，1]∪[3，+∞），因此在（2，3）上没有定义，D错误．

故选：AB．

12．若正数a，b满足a+b＝2，则A．4

解：由a+b＝2得而+𝑎14𝑏13𝑎𝑏3𝑎𝑏+4𝑎𝑏的值可能为（ ）

C．8 D．10

−3+92𝑏B．6

+4𝑎𝑏24𝑏==3(2−𝑏)𝑏12+2(𝑎+𝑏)𝑎𝑏𝑏𝑎4𝑎𝑏=6𝑏+2𝑎=2(+)−3，

𝑎𝑏4314=(+)⋅𝑎𝑏414𝑎+𝑏(1+4++)≥，当且仅当𝑏=2𝑎=，等号成立，

224∴3𝑎𝑏+𝑎𝑏=2(+)−3≥6，当且仅当b＝2a且a+b＝2，即a=3，b=3等号成立．

𝑎故选：BCD．

三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.注意：答在试卷上无效）

13．设集合𝐴={𝑥|解：∵2𝑥+1𝑥+32𝑥+1≤1}，B＝{x||x+2|≤3}，则A∩B＝ {x|﹣3＜x≤1} ．

𝑥+3≤1，

∴﹣3＜x≤2，

故A＝{x|﹣3＜x≤2}，

∵|x+2|≤3，

∴﹣5≤x≤1，

故B＝{x|﹣5≤x≤1}，

故A∩B＝{x|﹣3＜x≤1}；

故答案为：{x|﹣3＜x≤1}．

14．设函数f（x）满足f（3﹣x）+2f（x）＝x+3，则f（3）＝ 3 ．

解：令x＝0，得f（3）+2f（0）＝3，①

令x＝3，得f（0）+2f（3）＝6，②

联立①②解得f（3）＝3．

故答案为：3．

15．设函数f（x）＝x+1，g（x）＝x2﹣x+2a，若对∀x1∈[﹣2，0]，∃x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围为 [−2，−8] ．

解：∵对∀x1∈[﹣2，0]，∃x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝g（x2），

可得，f（x）在[﹣2，0]上的值域是g（x）在[﹣1，1]上的值域的子集，

易知f（x）在[﹣2，0]上的值域为[﹣1，1]，

第8页（共13页）

13

∴g（x）max≥1且g（x）min≤﹣1，

又g（x）＝x2﹣x+2a的对称轴为直线𝑥=，开口向上，x∈[﹣1，1]时，g（x）max＝g（﹣1）＝2a+2，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔()=2𝑎−，2a+2≥1且2𝑎−13112141≤−1，

4312解得−2≤𝑎≤−8，即a的取值范围为[−2，−8]．

故答案为：[−，−]．

16．若x＞1时，4x2﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立，则a的取值范围为 （﹣∞，6] ．

4𝑥2−2𝑥+7解：x＞1时，4x﹣（3a+2）x+3a+7≥0恒成立⇔3a（x﹣1）≤4x﹣2x+7恒成立⇔𝑎≤恒成3(𝑥−1)221238立，

令x﹣1＝t（t＞0），则94𝑥2−2𝑥+73(𝑥−1)3=4(𝑡+1)2−2(𝑡+1)+73𝑡=13(4𝑡+9𝑡+6)≥6，

当且仅当4t=𝑡，即𝑡=2时，等号成立，

故a≤6，即a的取值范围为（﹣∞，6]．

故答案为：（﹣∞，6]．

四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.注意：答在试卷上无效）

17．（10分）已知集合A＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，𝐵={𝑥|（1）当m＝2时，求A∩B；

（2）若A∪B＝B，求m的取值范围．

解：（1）𝐵={𝑥|𝑥+3＞2}={x|2＜x＜7}，

𝑥−2𝑥+3＞2}．

𝑥−2当m＝2时，A＝{x|1＜x＜5}，

故A∩B＝{x|2＜x＜5}；

（2）∵A∪B＝B，

∴A⊆B，

①当m﹣1≥2m+1，即m≤﹣2时，

A＝∅⊆B；

②当m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2时，

2≤m﹣1且2m+1≤7，

解得m＝3；

综上所述，

第9页（共13页）

m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪{3}．

18．（12分）设正实数x，y满足2x+3y＝xy，试求：

（1）x+y的最小值；

（2）xy的最小值．

解：（1）因为正实数x，y满足2x+3y＝xy，

所以+𝑦23𝑥=1，

323𝑦2𝑥3𝑦2𝑥+≥5+2√6，当且仅当=时取等号，

𝑥𝑦𝑥𝑦所以x+y＝（x+y）（+）＝5+𝑥𝑦故x+y的最小值为5+2√6；

（2）xy＝2x+3y≥2√6𝑥𝑦，当且仅当2x＝3y时取等号，

解得xy≥24，

所以xy的最小值为24．

𝑎2−𝑏2，𝑎≥𝑏19．（12分）定义运算a☆b={，设f（x）＝（2x﹣1）☆3．

𝑎𝑏，𝑎＜𝑏（1）求f（x）的解析式；

（2）解不等式f（x）＜7．

解：（1）解2x﹣1≥3得x≥2，

(2𝑥−1)2−32，𝑥≥24𝑥2−4𝑥−8，𝑥≥2∴f（x）={，即𝑓(𝑥)={；

3(2𝑥−1)，𝑥＜26𝑥−3，𝑥＜2（2）当x≥2时，由f（x）＜7得4x2﹣4x﹣8＜7，

解得−2＜𝑥＜2，

又∵x≥2，

∴2≤𝑥＜2，

当x＜2时，由f（x）＜7得6x﹣3＜7，

解得x＜，

∴x＜3，

综上所述，不等式的解集为（﹣∞，）∪[2，）．

325555353520．（12分）假设某冷藏运输车以不低于30km/h的速度从甲地向相距300km的乙地运送某种冷鲜食品时，2总耗油量P（L）与行驶速度v（km/h）的关系为𝑃=𝑘1𝑣+𝑣（k1，k2为常数），冷藏成本Q（元）与行第10页（共13页）

𝑘

驶速度v成反比．已知该车某次以60km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油32L，冷藏成本为108元；另一次以75km/h的速度从甲地向乙地运送该冷鲜食品时，共耗油31L．供货商每次按0.9元/（km•t）的价格付给司机运费，设货车油价保持8.1元/L不变．（该车从起步至速度达到30km/h过程中的耗油量忽略不计）

（1）求该车从甲地向乙地运送该冷鲜食品的总成本f（v）（元）与行驶速度v（v≥30）的关系式．

（2）根据《道路交通安全法》规定，该车在此路段限速80km/h，若该车从甲地运输5t该冷鲜食品到乙地，则该车以多大的速度行驶时，收益最大？最大收益是多少元？

160𝑘1+2=32𝑘1=560解：（1）依题意，有{，解得{，

𝑘2𝑘2=120075𝑘1+75=31𝑘P=5𝑣+𝑛𝑣11200，

𝑣𝑛，

60设Q=，则有108=∴n＝6480，

∴Q=6480，

𝑣∴f（v）＝8.1P+Q＝1.62v+𝑣∴f（v）＝1.62v+9720+684016200=1.62𝑣+（v≥30），

𝑣𝑣16200（v≥30）．

𝑣（2）设收益为g（v），则g（v）＝0.9×5×300﹣f（v）＝1350﹣f（v），

设h（v）＝v+10000，0＜v＜100，

𝑣设0＜v1＜v2＜100，则v1﹣v2＜0，v1v2﹣10000＜0，

所以h（v1）﹣h（v2）＝v1+1000010000(𝑣1−𝑣2)(𝑣1𝑣2−10000)−𝑣2−=＞0，

𝑣1𝑣2𝑣1𝑣2h（v）在（0，100）上是减函数，

所以f（v）＝1.62v+∵30≤v≤80，

∴f（v）min＝f（80）＝332.1，

∴g（v）max＝1350﹣f（v）min＝1017.9，

∴该车以80km/h的速度行驶时，收益最大，最大收益是1017.9元．

21．（12分）设幂函数f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm（1）求f（x）的解析式；

（2）设不等式f（x）≤4x+5的解集为函数g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]的定义域，记g（x）第11页（共13页）

﹣21620010000=1.62（v+）在（0，100）上单调递减，

𝑣𝑣在（0，+∞）单调递增．

的最小值为h（a），求h（a）的解析式．

解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m﹣3）xm﹣2是幂函数且在（0，+∞）单调递增，

𝑚2−3𝑚−3=1∴{，解得m＝4，∴f（x）＝x2．

𝑚−2＞0（2）f（x）≤4x+5即x2﹣4x﹣5≤0，解得﹣1≤x≤5，

∴g（x）的定义域为[﹣1，5]，

g（x）＝2f（x）+a[f（x+1）﹣f（x）]＝2x2+a[（x+1）2﹣x2]＝2x2+2ax+a，

对称轴为x=−2，

当−≤−1，即a≥2时，g（x）min＝g（﹣1）＝2﹣2a+a＝2﹣a；

𝑎𝑎𝑎2𝑎𝑎2当−1＜−2＜5，即﹣10＜a＜2时，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(−2)=2×(−2)+2𝑎×(−2)+𝑎=−2+𝑎；

𝑎2𝑎当−≥5，即a≤﹣10时，𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(5)=2×52+2𝑎×5+𝑎=11𝑎+50．

11𝑎+50，𝑎≤−10

2所以，ℎ(𝑎)=−𝑎+𝑎，−10＜𝑎＜2．

2

2−𝑎，𝑎≥2{22．（12分）设定义在R上的函数f（x）满足：①对∀x，y∈R，都有𝑓(𝑥+𝑦)=1+𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)；②x＞0时，f（x）＞0；③不存在x∈R，使得|f（x）|＝1．

（1）求证：f（x）为奇函数；

（2）求证：f（x）在R上单调递增；

4+5𝑓(𝑚𝑥)1+2𝑓(𝑚𝑥2)1（3）设函数g（x）＝x﹣x﹣3，𝑓(1)=，不等式＞对∀x∈R恒成立，试求g25+4𝑓(𝑚𝑥)2+𝑓(𝑚𝑥2)2𝑎2𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)（m）的值域．

解：（1）证明：f（x）的定义域为 R，关于原点对称，令 x＝y＝0，得 f（0）=解得 f（0）＝0 或f（0）＝±1，又不存在 x∈R，使得|f（x）|＝1，

故f（0）＝0，令 y＝﹣x，得 f（x﹣x）=1+𝑓(𝑥)𝑓(−𝑥)=f（0）＝0，

故 f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），因此f（x）为奇函数；

（2）证明：x＞0 时，＞0，f（ ）＞0，

22𝑥𝑥𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)2𝑓(0)1+𝑓(0)2，

则f（x）＝f（+ ）=22𝑥𝑥2𝑥1+𝑓(2)𝑥2𝑓(2)≤1，当且仅当f（ ）＝1，等号成立，

2𝑥𝑥又不存在 x∈R，使得|f（x）|＝1，则f（ ）≠1，于是x＞0 时，0＜f（x）＜1，

2又f（x）为奇函数，则x＜0 时，f（x）＝﹣f（﹣x）∈（﹣1，0），

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于是对∀x∈R，﹣1＜f（x）＜1，

任取x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，

而f（x2﹣x1）＝f[x2+（﹣x1）]=𝑓(𝑥2)+𝑓(−𝑥1)𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)=＞0，

1+𝑓(𝑥2)𝑓(−𝑥1)1−𝑓(𝑥2)𝑓(𝑥1)又f（x1），f（x2）∈（﹣1，1），则f（x1）f（x2）∈（﹣1，1），

于是1﹣f（x1）f（x2）＞0，故f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1），

因此f（x）在 R 上单调递增；

（3）f（2）＝f（1+1）=4+5𝑓(𝑚𝑥)5+4𝑓(𝑚𝑥)2𝑓(1)1+𝑓(𝑥)2=5，

=f（2+mx），

4则 =4+𝑓(𝑚𝑥)541+𝑓(𝑚𝑥)5=𝑓(2)+𝑓(𝑚𝑥)1+𝑓(2)𝑓(𝑚𝑥)𝑓(1)+𝑓(𝑚𝑥2)1+2𝑓(𝑚𝑥2)2+𝑓(𝑚𝑥2)=1+𝑓(𝑚𝑥2)211+𝑓(𝑚𝑥2)2=1+𝑓(1)𝑓(𝑚𝑥2)=f（1+mx2），

不等式4+5𝑓(𝑚𝑥)5+4𝑓(𝑚𝑥)＞1+2𝑓(𝑚𝑥2)2+𝑓(𝑚𝑥2)对∀x∈R恒成立，即f（2+mx）＞f（1+mx2）对∀x∈R恒成立，

由（2）知f（x）在 R 上单调递增，于是2+mx＞1+mx2，即mx2﹣mx﹣1＜0对∀x∈R恒成立，

当m＝0时，mx2﹣mx﹣1＜0对∀x∈R恒成立，

当m≠0时，mx2﹣mx﹣1＜0对∀x∈R恒成立⇔Δ＝m2+4m＜0且m＜0，即﹣4＜m＜0，

综上，﹣4＜m≤0，

而函数g（x）＝x2﹣x﹣3在（﹣4，0]上单调递减，故g（m）的值域为[﹣3，17）．

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