湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023届高三上学期期中联

2023年12月31日发(作者：我的天空歌词)

2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高三数学试卷

考试时间：2022年11月1日下午15：00-17：00 试卷满分：150分

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．命题“xZ,|x|N”的否定为（ ）

A．xZ,|x|N B．xZ,|x|N C．xZ,|x|N D．xZ,|x|N

2．己知集合Ax∣ylog0.5(4x3),Bx∣3x28x40，则AA．B（ ）

3223,2 B．,2 C．,1 D．,1

43343．下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）

A．ycos|x| B．ytanxπ C．y|cosx| D．ysin4x

224．已知△ABC的外接圆圆心为O，且ABAC2OA0,|AB||AO|，则向量BC在向量BA上的投影向量为（ ）

A．BA B．BA C．11BC D．BC

445．已知函数f(x)的定义域为R，g(x)f(2x)f(2x),h(x)f(2x)f(x)，则下述正确的是（ ）

A．g(x)的图象关于点(1,0)对称 B．g(x)的图象关于y轴对称

C．h(x)的图象关于直线x1对称 D．h(x)的图象关于点(1,0)对称

ABC6．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，则a2c的最小值为（ ）

2ππ，D点为AC上一点且DBC,BD3，32A．23 B．93 C．63 D．3

7．已知ae2,b1ln2,cee，则（ ）

A．cba B．abc C．acb D．cab

e2

3x3,x118．己知函数f(x)3，则函数F(x)f[f(x)]3f(x)的零点个数是（ ）

2log3(x1),x1A．6 B．5 C．4 D．3

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．若a,bR，则使“ab1”成立的一个必要不充分条件是（ ）

A．ln(ab)1 B|a||b|1 C．331 D．eabab1

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为f(t)（米），下列选项正确的是（ ）

A．f(t)6cos4πt4(t0) B．f(t)6sinπtπ4(t0)

2C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的1

2D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒

11．设等比数列an的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a11，a2022a20231，a20221a202310，则下列选项正确的是（ ）

A．0q1 BS20221S2023 C．T2022是数列Tn中的最大项 D．T40431

12．己知函数f(x)2x1，令x1,xn1fxn，则下列正确的选项为（ ）

x122n1,nN* A．数列xn的通项公式为xnn121

B．x1x221xnn

36fa612 C．若数列an为等差数列a1a2a3a4a5a66，则fa1fa2D．x1x2x3xn11

2e三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知π,,均为锐角，则(1tan)(1tan)___________．

414．已知向量a,b不共线，且向量ab与a(21)b的方向相反，则实数的值为___________．

15．若项数为n的数列an满足：aian1i(i1,2,3n)我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列cn为2k1(k2)项的“对称数列”，其中c1,c2,c3,,ck是公差为2的等差数列，数列cn的最大项等于8．记数列cn的前2k1项和为S2k1，若S2k132，则k___________．

16．若不等式sinxln(x1)e1xaxx21x恒成立，则a的取值范围为___________．

3四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本题满分10分）已知等差数列an和等比数列bn满足a12,b24,an2log2bn，nN．

*（1）求数列an，bn的通项公式：

（2）设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn，记数列cn的前n项和为Sn，求S50．

18．（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC3asinCb2c．

（1）求角A；

（2）己知AB2，AC6，M点为BC的中点，N点在线段AC上且|AN|交点，求MPN的余弦值．

1|AC|，点P为AM与BN的319．（本题满分12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13,ABAC,A1ABA1AC，

D是棱B1C1的中点．

（1）证明：BC平面A1AD；

（2）若三棱锥B1A1BD的体积为92，求平面A1BD与平面CBB1C1的夹角．

820．（本题满分12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．己知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是择题正确答案的概率．

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为1．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选222，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为551．己知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经5验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．

21．（本题满分12分）设点P为圆C:xy4上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足222MQ3PQ（点P、Q不重合）

（1）求动点M的轨迹方程E；

（2）若过点T(4,0)的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为1,3，直线NA的斜率为k1，直线NB的2斜率为k2，试判断k1k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（本题满分12分）己知函数f(x)asin(1x)lnx,aR．

（1）讨论函数f(x)在x(0,1)上的单调性．

（2）证明：sin

111sinsin223242sin1111ln2．

(1n)22n1n

2022年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高三数学参考答案

一、单选题

1-4 ADCA 5-8 CBDB

二、多选题

9．BCD 10．AD 11．ACD 12．ACD

三、填空题

13．2 14．1 15．k4或k5 16．a1

2四、解答题

17．解析：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，

由a12,b24,an2log2bn，可得b12,a24，

则d2,q2,an2n,bn2n,nN*； 5分

（2）由（1）bn2n22n1a2n1

即bn是数列an中的第2n1项．

设数列an的前n项和为Pn，数列bn的前n项和为Qn，

因为b7a64,b6a32

所以数列cn的前50项是由数列an的前56项去掉数列bn的前6项后构成的，

(2112)56212所以S50P56Q621218．解析：（1）63066． 10分

acosC3asinCb2c

sinAcosC3sinAsinCsinB2sinCsin(AC)2sinC

sinAcosC3sinAsinCsinB2sinCsinAcosCcosAsinC2sinC

化简得：2sinCcosAsinC3sinAsinC 3分

ππ2cosA3sinA2sinA，求得sinA1

66

Aπ6π2即Aπ3． 5分

（2）M点为BC的中点AM12(ABAC)

|AN|13|AC|,BNANAB

BN13ACAB 7分

AMBN12AB12AC13ACAB121122AB3ABAC6AC2

|AM|2AM214(ABAC)213|AM|13

|BN|2BN2213ACAB4|BN|2 10分

cosAM,BNAMBN213|AM||BN|13213．即MPN的余弦值为1313．

19．解析：（1）证明：（1）取BC中点O，连接AO，AO1，AC1，

因为ABAC，所以AOBC，

因为A1ABA1AC,ABAC,AA1AA1，所以△A1AB≌△A1AC 2分所以A1BAC1，所以AO1BC，

因为AOAO1O,AO,AO1平面A1AOD，

所以BC平面A1AOD，即BC平面A1AD． 6分

分 12

（2）连接OD，则平面AAO1即为平面AA1DO，

由（1）知BC平面AA1DO，因为BC平面ABC，且BC平面BCC1B1，

故平面AA1DO平面ABC，平面AA1DO平面BCC1B1，

过O作OMA1D于M，则OM平面ABC，过A1作A1HOD于H，则A1H平面BCC1B1，

因为DO∥BB1∥AA1知DOBC，

在△ABC中：ABACA1A3,BC32，

所以S△BDB119DB1DO2

2419VB1A1BDVA1BDB1S△BDB1A1H2

38所以A1H3 6分

2方法一（空间向量法）：

设MOD，则DA1H，

3AH2在Rt△A1HD中cos12

A1D3222所以DMDOsin323232,OMODcos又A1D，所以，所以点M与点A1重合以O222为原点，分别以OA,OB,OM分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

32323232A2,0,0,B0,2,0,C0,2,0,A10,0,2，

3232323232B12,2,2,D2,0,2 8分

设面A1BD的法向量为n1x1,y1,z1，则有

n1BA13232323232y1z10,n1BDx1y1z10

22222令x10,y11则z11，所以n1(0,1,1)

设面CBB1C1的法向量为n2x2,y2,z2，则有

n2CB32y20

3232x232y2z20n2CB122令y20,x21则z21

所以n2(1,0,1) 10分

设二面角的夹角为，

则有cosn1n2n1n2∣π1，即． 12分

32方法二（几何法）：

过H做HEBD，连接A1E，A1H面BCC1B1，

A1HDB，则DB面A1HE，

A1EBD，则A1EH即为所求二面角． 8分

在Rt△A1DH中，A1H3332,A1D，则DH

2223236,DB

22在Rt△DOB中，OD3,OB由Rt△DEH与Rt△DOB相似可得：HEDH

OBDBHE322，则A1EA1HHE3 10分

2cosA1EH1π，即平面A1BD与平面CBB1C1的夹角为． 12分

2320．解析：（1）设事件A为“题回答正确”，事件B为“知道正确答案”，则

1115P(A)P(B)P(A∣B)P(B)P(A∣B)1， 3分

224811P(AB)P(B)P(A∣B)24所以P(B∣A)． 5分

5P(A)P(A)58（2）设事件Ai表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的，则

232C321P(X2)PAC2，

1PA2C545C42111P(X5)PA3C3，

5C420P(X0)1P(X2)P(X5)9，

201212C31C32923．（或者P(X0)PAC）

1PA2CPA3C545C45C420随机变量X的分布列如下：

X

P

0 2 5

9

201

21

20115E(X)25． 12分

2204

21．解析：（1）设点P为x0,y0，动点M为(x,y)，则Q点为x0,0

MQx0x,y,PQ0,y0

2MQ3PQ2x0x,y30,y0

求得：x0x又2y3yx2224y20y04x4

03即点M的轨迹方程为：x24y231(y0) 4分

（2）设直线AB方程为：xmy4则

xmy4x2y2消x得3m24y224my360

431△(24m)24363m240

m2或m2

设A点x1,y1，B点x2,ym2则y1y2243m24,y1y3623m24

求得：my1y232y1y2

y33k11k22y222my1y2332my1y29my3m2y9

13my21y23my1y232my1y29

32my1y23my1y293my1y2932

2my1y291

k1k2的值为定值，定值为1． 12分

22．解析：（1）f(x)acos(1x)11axcos(1x)xx,0x1

8分

0x1cos(1x)0

当a0时0x1f(x)0此时f(x)在(0,1)内单调递增；

0x10cos(1x)1,f(x)0 当0a1时．此时f(x)在(0,1)内单调递增；

当a1时令h(x)1axcos(1x),0x1

h(x)a[cos(1x)xsin(1x)]

a1,cos(1x)0,sin(1x)0h(x)0h(x)在(0,1)上为减函数．

又h(0)10,h(1)1a0

h(x)在(0,1)上存在唯一零点x0，使得hx01ax0cos1x00

∴当x0,x0时h(x)0,f(x)0，f(x)递增；

当xx0,1时h(x)0,f(x)0，f(x)递减． 5分

综上：

当a1时，此时f(x)在(0,1)内单调递增；

当a1时，当x0,x0时，h(x)0,f(x)0，f(x)递增；

当xx0,1时，h(x)0,f(x)0，f(x)递减．

其中x0为方程ax0cos1x01的根． 6分

（2）由（1）知当a1时，f(x)sin(1x)lnx在区间(0,1)上单调递增

则f(x)f(1)0，即sin(1x)lnxln1(0x1) 7分

xn22n1(1n)2所以sinsin1ln,nN*． 8分

22(1n)n(n2)(1n)111因此sin2sin2sin22342213242sinln2(1n)132435(n1)2

n(n2)n1n1n1ln2ln2lnln2ln

n2n2n

解法一：令g(x)lnx12x1x,x1，则g(x)111x21x2

g(x)2xx21x22x1(x1)22x22x22x20

g(x)在x0上为减函数

x1

g(x)g(1)0，即lnx112xx,x(1,)上恒成立．

ln2lnn1n2ln2lnn1nln21n1n2nn1

ln21112nn1得证． 12分

解法二：

sin1111223242(n1)222sin32sin42sin(1n)2ln132435n(n2)lnn1n22n1ln2lnn2

lnn1n11n20,nN*ln2lnn2ln2ln221n1n1得证．

分

12