第三节电介质

2023年12月30日发(作者：自由领导着人民)

第二章 静电场中的导体和电介质

§3 电介质（P201）

1. 一平行板电容器两极板相距为2.0毫米，电位差为400伏，其间充满了介电常数r5.0的玻璃片。。 略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度e解：

2. 一平行板电容器由面积都是50厘米的金属薄片贴在石蜡纸上构成，已知石蜡纸厚为0.10毫米，2r2.0，略去边缘效应，问这电容器加上100伏的电压时，极板上的电荷量Q是多少？

解：

3. 面积为1.0米的两平行金属板，带有等量异号电荷30微库仑，其间充满了介电常数r2的均匀2。 电介质。略去边缘效应，求介质内的电场强度E和介质表面上的极化电荷密度e解：

4. 平行板电容器（极板面积为S，间距为d）中间有两层厚度各为d1和d2（d1d2d）、介电常数各为r1和r2的电介质层（见附图）。试求：

⑴ 电容C；

； ⑵ 当金属极板上带电面密度为e0时，两层电介质间分界面上的极化电荷面密度e⑶ 极板间的电位差U；

⑷ 两层介质中的电位移D。

解：

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5. 两平行导体板相距5.0毫米，带有等量异号电荷，面密度为20微库仑/米，其间有两片电介质，一片厚2.0毫米，r13.0；另一片厚3.0毫米，r24.0，略去边缘效应，求各介质内的E、D2。 和介质表面的e解：

6. 一平行板电容器两极板的面积都是2.0米，相距为5.0毫米，两板加上10000伏电压后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚2.0毫米，r15.0；另一层厚3.0毫米，r22.0。略去边缘效应。求：

⑴ 各介质中的电极化强度P；

⑵ 电容器靠近电介质2的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少？

解：

7. 如附图所示，一平行板电容器两极板相距为d，面积为S，电位差为U，其中放有一层厚为t的介质，介电常数为r，介质两边都是空气，略去边缘效应。求：

⑴ 介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P；

⑵ 极板上的电荷量Q；

⑶ 极板和介质间隙中的场强E；

⑷ 电容。

解：

8. 平行板电容器两极板相距3.0厘米 ，其间放有一层r2.0的介质，位置和厚度如附图所示，已知极板上面电荷密度为e08.91010库/米2，略去边缘效应，求：

⑴ 极板间各处的P、E和D；

⑵ 极板间各处的电位（设UA0）；

⑶ 画Ex，Dx，Ux曲线；

⑷ 已知极板面积为0.11米，求电容C，并与不加介质时的电容C0比较。

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解：

9. 两块平行导体板带有同号电荷，面密度分别为e13.31010库/米2，e26.61010库/米2，两板相距为1.0厘米 ，在其间平行地放有一块厚为5.0毫米的均匀石蜡平板，它的r2.0。略去边缘效应。求：

⑴ 石蜡内的E内；

⑵ 极板间石蜡外的E外；

⑶ 两极板的电位差；

。 ⑷ 石蜡表面的极化面电荷密度e解：

10. 平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一极板处为r1，在另一极板处为r2，其他处的介电常数与到r1出的距离成线性关系，略去边缘效应。

⑴ 求这电容器的C；

和表面上的极化电荷面密度⑵ 当两极板上的电荷分别为Q和Q时，求介质内的极化电荷体密度e。

e解：

11. 一云母电容器是由10张铝箔和9张云母相间平行迭放而成，奇数铝箔接在一起作为一极，偶数铝箔接在一起作为另一极，如附图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是2.5厘米，每片云母的相对介电常数r都是7.0，厚度都是0.15毫米 。略去边缘效应。求电容C。

解：

12. 一平行板电容器两极板相距为d，其间充满了两部分介质，介电常数为r1的介质所占的面积为S1，介电常数为r2的介质所占的面积为S2（见附图）。略去边缘效应，求电容C。

解：

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13. 如附图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，今在其间平行地插入厚度为t，介电常数为r的均匀介质，其面积为S2。设两板分别带电荷Q和Q，略去边缘效应，求：

⑴ 两板电位差U；

⑵ 电容C

。 ⑶ 介质的极化电荷面密度e解：

14. 一平行板电容器两极板的面积都是2.0米，相距为5.0毫米。当两极板之间是空气时，加上一万伏的电压后，取去电源，再在其间插入两平行介质层，一层r15.0，厚为2.0毫米；另一层2r22.0，厚为3.0毫米。略去边缘效应。求：

⑴ 介质内的E和D；

⑵ 两极板的电位差U；

⑶ 电容C。

解：

15. 同心球电容器内外半径分别为R1和R2，两球间充满介电常数为r的均匀介质，内球的电荷量为Q。求：

⑴ 电容器内各处的电场强度E的分布和电位差U；

； ⑵ 介质表面的极化电荷面密度e⑶ 电容C。（它是真空时电容C0的多少倍？）

解：

16. 在半径为R的金属球之外有一层半径为R的均匀介质层（见附图）。设电介质的介电常数为r，金属球带电荷量为Q，求：

⑴ 介质层内、外的场强分布；

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⑵ 介质层内、外的电位分布；

⑶ 金属球的电位。

解：

17. 一半径为R的导体球带电荷Q，处在介电常数为r的无限大均匀介质中。求：

⑴ 介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P的分布；

。 ⑵ 极化电荷的面密度e解：

18. 半径为R、介电常数为r的均匀介质球中心放有点电荷Q，球外是空气。

⑴ 求球内外的电场强度E和电位U的分布；

⑵ 如果要使球外的电场强度为零且球内的电场强度不变，则球面上需要有面密度为多少的电荷？

解：

19. 一半径为R的导体球带电荷Q，球外有一层同心球壳的均匀电介质，其内外半径分别为a和b，介电常数为r（见附图）。求：

⑴ 介质内外的电场强度E和电位移D；

； ⑵ 介质内的极化强度P和表面上的极化电荷面密度e为多少？ ⑶ 介质内的极化电荷体密度e解：

20. 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径外R2，其间有两层均匀介质，分界面的半径为r，介电常数分别为r1和r2（见附图）。

⑴ 求电容C；

。 ⑵ 当内球带电Q时，求各介质表面上极化电荷的面密度e解：

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21. 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径外R2，其间有一层同心的均匀介质球壳，内外半径分别为a和b，介电常数r（见附图）。

⑴ 求电容C；

是多少？ ⑵ 当内球的电荷量为Q时，介质两表面上的极化电荷密度e解：

22. 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径外R2，其间有一半充满介电常数为r的均匀介质（见附图），求电容C。

解：

23. 圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为R2，长为l，其间充满了介电常数为r的介质（见附图）。设沿轴线单位长度上，导线的电荷为0，圆筒的电荷为0，略去边缘效应。求：

⑴ 两极的电位差U；

⑵ 介质中的电场强度E、电位移D、极化强度P；

； ⑶ 介质表面的极化电荷面密度e⑷ 电容C。（它是真空时电容C0的多少倍？）

解：

24. 圆柱形电容器由半径为a的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为b，长为l ，其间充满了两层同轴圆筒形的均匀介质，分界面的半径为r，介电常数分别为r1和r2（见附图），略去边缘效应，求电容C。

解：

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25. 一长直导线半径为1.5厘米，外面套有内半径为3.0厘米的导体圆筒，两者共轴。当两者电位差为5000伏时，何处电场强度最大？其值是多少？与其间介质有无关系？

解：

26. 求垂直轴线均匀极化的无限长圆柱形电介质轴线上的退极化场，已知极化强度为P。

解：

27. 在介电常数为r的无限大均匀电介质中存在均匀电场E0。今设想以其中某点O为中心作一球面，把介质分为内、外两部分。求球面外全部电荷在O点产生的场强E。（E比E0大还是小？）

解：

28. 在介电常数为r的无限大均匀电介质中存在均匀电场E0。今设想在其中作一轴线与E0垂直的无限长圆柱面，把介质分为内、外两部分。求柱面外全部电在柱轴上产生的场强E。

解：

29. 空气的介电强度为3000千伏/米，问直径为1.0厘米，1.0毫米和0.10毫米的导体球，在空气中最多各能带多少电荷量？

解：

30. 空气的介电强度为3.010伏/米，铜的密度为8.9克/厘米，铜的原子量为63.75克/摩尔。阿伏伽德罗数N06.0221023摩尔1，金属铜里每个铜原子有一个自由电子，每个电子的电量为631.601019库仑。

⑴ 问半径为1.0厘米 的铜球在空气中最多能带多少电荷量？

⑵ 这铜球所带电荷量最多时，求它所缺少或多出的电子数与自由电子总数之比；

⑶ 因导体带电时电荷都在外表面上，当铜球所带电荷量最多时，求它所缺少或多出的电子数与表面一层铜原子所具有的自由电子数之比。

[提示：可认为表面层的厚度为n13，n为原子数密度。]

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解：

31. 空气的介电强度为3000千伏/米，问空气中半径为1.0厘米，1.0毫米和0.10毫米的长直导线上单位长度最多各能带多少电荷量？

解：

32. 空气介电强度为30千伏/厘米，今有一平行板电容器，两极板相距为0.50厘米，板间是空气，问能耐多高的电压？

解：

33. 空气的介电强度为3000千伏/米，当空气平行板电容器两极板的电位差为50千伏时，问每平方米面积的电容最大是多少？

解：

34. 一圆柱形电容器，由直径为5.0厘米的直圆筒和与它共轴的直导线构成，导线的直径为5.0毫米，筒与导线间是空气，已知空气的击穿场强为30000伏特/厘米，问这电容器能耐多高的电压？

解：

35. 两共轴的导体圆筒，内筒外半径为R1，外筒内半径R2（R22R1），其间有两层均匀介质，分界面的半径为r，内层介电常数为r1，外层介电常数为r2r12，两介质的介电强度都是EM。当2EMrR2电压升高时，哪层介质先被击穿？证明：两筒最大的电位差UM。

ln2rR1证明：

36. 一圆柱形电容器内充满了两层均匀介质，内层是r14.0的油纸，其内半径为2.0厘米，外半径为2.3厘米；外层是r27.0的玻璃，其外半径为2.5厘米。已知油纸的介电强度为120千伏/厘米，玻璃的介电强度为100千伏/厘米，问这电容器能耐多高的电压？当电压逐渐升高时，哪层介质先被击穿？

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解：

37. 设一同轴电缆里面导体的半径为R1，外面导体的内半径为R3，两导体间充满了两层均匀介质，它们的分界面是R2，设内外两层介质的介电常数分别为r1和r2（横截面见附图），它们的介电强度分别为E1和E2，证明：当两极（即两导体）间的电压逐渐升高时，在r1E1R1r2E2R2的条件下，首先被击穿的是外层电介质。

证明：

38. 一平行板电容器极板面积为S，间距为d，电荷为Q。将一块厚度为d，介电常数为r的均匀电介质板插入极板间空隙。计算：

⑴ 静电能的改变；

⑵ 电场力对介质板作的功。

解：

39. 一平行板电容器极板面积为S，间距为d，接在电源上以维持其电压为U。将一块厚度为d、介电常数为r的均匀电介质板插入极板间空隙。计算：

⑴ 静电能的改变；

⑵ 电场对电源所作的功；

⑶ 电场对介质板作的功。

解：

40. 一平行板电容器极板是边长为a的正方形，间距为d，电荷为Q。把一块厚度为d、介电常数为r的电介质板插入一半，它受力多少？什么方向？

解：

41. 两个相同的平行板电容器，它们的极板都是半径为10厘米的圆形，极板相距都是1.0毫米。其中一个两板间是空气，另一个两板间是r26的酒精。把这两个电容器并联后充电到120伏，求它们9 / 10

所蓄的总电能；再断开电源，把他们带异号电荷的两极分别联在一起，求这时两者所蓄的总电能。少的能量哪里去了？

解：

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