第三章 静电场中的电介质习题及答案

2023年12月30日发(作者：新年好的英文)

第三章 静电场中的电介质

一、判断题

11、当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的r倍。

×

2、对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。

√

3、在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。（内有自由电荷时，有体分布）

×

4、均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。

×

5、在无限大电介质中一定有自由电荷存在。

√

6、如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。

√

7、在均匀电介质中，如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。

√

8、在均匀电介质中，只有P为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。

PxPyPzPxPyPzp0xyzyz

P=恒矢量

x

×

9、电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷。

√



10、电位移矢量D仅决定于自由电荷。

×

11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。

√

E线连续，EP线不连续。(其中，Ef为自由电12、在无自由电荷的两种介质交界面上，fE荷产生的电场，p为极化电荷产生的电场)

√

13、在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。

√

14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。

×

15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下，把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场中原有位置的过程中外力作的功。

×

16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的r分之一。

√

二、选择题

1. 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为r的均匀电介质充满电容器。则下列说法中不正确的是：

1（A） 介质中的场强为真空中场强的r倍。

1r倍。 （B） 介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的（C） 介质中的场强为原来场强的r倍。

（D） 介质中的场强等于真空中的场强。

1D

2. 如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比

(A)增多 （B）减少 （C）相同 （D）不能比较

A

下列说法中不正确的是：

3. 在图中，A是电量q0的点电荷，B是一小块均匀的电介质，s1、s2和s3都是封闭曲面，EdsDdss3s1（A）

DdsDdsDds（B）（C）（D）D

s1s2s3S1S2S3s1EfdsEfdsEfdss2s3

a

Aq0bBcEaEf，EbEf，EcEf

4. 在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极（A）E0rE

DE00 （B）（C）D00E0

（D）D0D

C

E和D的关系为： 化强度P底面与P垂直，当h»r时，则空腔中心E0和D0与介质中h2rPE5. 在均匀极化的，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度P底面与P垂直，当h«r时，则空腔中心E0和D0与介质中E和D的关系为：

（r1）E （A）E0hD0E00 （B）P（C）D00E0

（D）D0rD

B

2rE6. 一个介质球其内半径为R，外半径为R+a，在球心有一电量为q0的点电荷，对于R

q0q0（r1）q0q022224r4r4r0r0r4r（A） (B) (C) (D)

A

7. 一内半径为a，外半径为b的驻体半球壳，如图所示，被沿+Z轴方向均匀极化，设极ˆ化强度为PPk,球心O处的场强是：

PˆE0K60 （A）PˆE0K60 （B）baPˆEK30（C）

O（D）E00

D

zR和R2的驻极体球壳被均匀极化，极化强度为P；P的方向平行于球壳直8. 内外半径为1PE30 (B)E0 （A）P2PEE30 (D)30 (C)B

9. 半径为R相对介电常数为r的均匀电介质球的中心放置一点电荷q，则球内电势的分布规律是：

径，壳内空腔中任一点的电场强度是：

q40r （A）q40rr (B)

(C)

q11q（）40rrR40R

q11（）40rrR

 (D)C

10. 球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳所构成，球壳的内半径为R2,其间一半充满相对介电常数为r的均匀电介质，另一半为空气，如图所示，该电容器的电容为：

40rR1R2R2R1 （A）20R1R2C1R2R1 （B）CR2R1r

20rR1R2R2R1 （C）2（01r）R1R2CR2R1（D）

C2D

11. 把一相对介电常数为r的均匀电介质球壳套在一半径为a的金属球外，金属球带有电量q，设介质球壳的内半径为a，外半径为b，则系统的静电能为：

q2W28a0（A）

q211W（r）80rab (B)

q211W（）80rab （C）q21r11W（）80rab (D)B

三、填空题

1、如图，有一均匀极化的介质球，半径为R，极

化强度为P，则极化电荷在球心处产生的场强

是（ ）在球外Z轴上任一点产生

的场强是（ ）

2、带电棒能吸引轻小物体的原因是（ ）。

轻小物体由于极化在靠近带电棒一端出现与带电棒异号的极化电荷

3、附图给出了A、B两种介质的分界面，设两种介质

A、B中的极化强度都是与界面垂直，且PAPB，当

取en由A指向B时，界面上极化电荷为（ ）号。

P2R3P30

30Z3

RPzPAˆˆ当en由B指向A时，界面上极化电荷为（ ）号。

正 负

PB

4、如果电介质中各的（ ）相同，这种介质为均匀电介质。如果电介质的总体或某区域内各点的（ ）相同，这个总体或某区域内是均匀极化的。

AB

P

5、CrC0成立的条件是（ ）。

介质为均匀介质

6、在两种不同的电介质交界面上，如果交界面上无自由电荷，则E1nE2n= ( )。

P0

7、介质中电场能量密度表示为E1ED•E2适用于( )介质。

10rE22 只适用于（ ）介质。各向同性的均匀线性 线性

8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S，极反间距为L，板间介电常数为r）然后使电容器充电至电压U。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。

0rs2U2L

9、平行板电容器的极板面积为s，极板间距为d中间有两层厚度各为d1和d2的均匀介质（d1d2d）,它们的相对介电常数分别为r1和r2。(1)当金属板上自由电荷的面密度为f时，两层介质分界面上极化电荷的面密度p= ( )。（2）两极板间的电势差( )。（3）电容C= （ ）。

d1r2d2r1r1r20r1r2sffr1r20r1r2

d2r1r2d1

10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电

介质，相对介电常数分别为r1，r2和r3。极

板面积为A，两极板的间距为2d,略去边缘效

应，此电容器的电容是（ )。

Ar1r2dd11、无限长的圆柱形导体，半径为R，沿轴线单位长度上带电量λ，将此圆柱形导体放在无限大的均匀电介质r中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（ ）。

0Ar1r2r32d2r2r3

r312半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为r的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为-λ,略去边缘效应，则沿轴线单位长度的电场能量是（ ）。

（1）r2rR

13、一圆柱形的电介质截面积为S，长为L，被沿着轴线方向极化，已知极化强度P沿X方向，且P=KX（K为比例常数）

坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示

则极化电荷的体密度（ ）

在X=L的端面上极化电荷面密度为（ ）

极化电荷的总电量为（ ）。

2bln40ra

yoPxzPK

PKL

QP0

14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（ ）。

q2q

d0

dd

d

四、问答题

q2q1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？

答：从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。结果在导体表面出感应电荷。达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。导体中自由电子的宏观移动停止。在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。结果出现束缚电荷。束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场，达到稳定时，电介质内部的电场不为零。

2、为什么要引入电位移矢量D？E与D哪个更基本些？

答：当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化电荷的场反过来改变原来场的分布。空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：

EEfEp



因此，要求介质中的E，必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。而极化电荷的分布取决PE0于介质的形状和极化强度P，而,而E正是要求的电场强度。这样似乎形成计算上DdSq0的循环，为了克服这一困难，引入辅助量D。由S知，只要已知自由电荷，原则DE0r上即可求D，再由求E。故D更基本些。

3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连接时会产生什么现象？为什么？

答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。

五、证明题

1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为22r1fR30

2r证明：当rR时以球心为心，r为半径作球面（高斯面）

如图虚线所示，由对称性和D的高斯定理得

432DdSD4rr1fS13f，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为r，试证明球心和无穷远处的电势差是：

rrfrRD1f3r

由D0rE得

当rR时取高斯面如图虚线所示，同理得

frE10r30r

D1取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的关系得

423DdSD4rR22fS3fR3D23r2fR3E230r2

0E1dlE2dl R03frfRdrdr2R30r30rfR2fR2 60r30fR2 30112r

fR22r1 302r六、计算题

1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中；电场E0由两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为εr，

（1）求介质小球的总电偶极矩

（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E0不变），求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。

解：（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为'，在球心产生的电场强度为E'，则球心的场强为

ECE0E……①

如图1-1因

ˆPPcos……②

n由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为

dq1Ecos40a240a2P2sincosd0

20

02a2sincosd

a'E0r



其方向与E0方向相反

所以

P30……③ 图1-1

P30……④

PE根据与的关系

PPc（）Ec……⑤

0r1EcE0由④、⑤式得

P由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为

3（r1）0E0r2

P0PV4a33（r1）04E0a3r23

（）0r1E0r2……⑥

（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设根据对称性则球内的场强为

0cos

Ecdq1cos40a240a202a2sincosd

002sincosd020

30……⑦

其方向与E0方向相反

由静电平衡条件得

dq0E0EcEc0E030 图1-2

------a+'+++++E0030E0……⑧

2dq2asind偶极子臂为l2a，根据对称性，元电在球面上取一电偶极子，电量为偶极矩为

dP2a2sind2acos

324asincosd……⑨

0

由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为

P120aE02sincos2d30

120a3E034aE00

13

ˆ2、一圆柱形电介质长为L，其横截面的半径为R，被沿着轴线方向极化，极化强度Pkxi（k为一常数），设坐标原点O在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求：

（1）在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D；

（2）在坐标原点O处的电场强度E和电位移D。

解：极化电荷的体密度为

P即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在x0的端面上的极化电荷面密度为

PKx

1PPnPx00

在xL的端面上的极化电荷密度为

PPnPxLKL

122（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得

P2E（120L2R2L42ˆ）i

KLLˆ（1）i22204RL

DEP0由电位移矢量定义式得中心处的D为

（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。在距原点x处，取一圆盘，厚度dx如图所示，其上电量为

圆盘上电荷面密度为

KLKL2KLˆKL2ˆD（）ii2224R2L224R2L2

dqPKR2dx

oxx该圆盘在原点O处产生的电场为

KR2dxPkdxR2

dxxˆdEePP(1)i2220Rx

Kdxxˆ（1）i2220Rx

L体极化电荷在原点O处产生的电场强度为

面极化电荷在原点O处产生的电场强度为

kdxxKLKˆiEP1x02222020Rx0KLKKRˆ（R2L2）i202020

ˆi

R2x2L0ˆi

kLLEP122R2L2

EEP2EP

KLKL2KLK（2020R2L22020

KRL2R2L2ˆ（1）i2220RRRLR2L2KRˆ）i20



原点处电位移矢量为

KRRˆ（1)i2220RL

3、一块柱极体圆片，半径为R，厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀的，极化强为P， 试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）。

解： 在垂直x轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为

KRRˆD0EP0E（12）i22RL

对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为

ˆppnˆp

pn电位移矢量为

PPPˆˆE内（）ii20200

PˆˆD0E内P0iPi

对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。

0txx2处，正负带电圆盘产生的场强分别为 在距原点tx2ˆE（1）i20t2RR2（x）2

ptxP2ˆ（1）i20t2R2（x）2

txP2ˆE（1）i20t2R2（x）2

该处的总电场强度为

PxpxtxEEE（t2xt2

因为t很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项

t2R2（x）2t2R2（x）2ˆ）i

xf（t）t2xt2取则有

t2R2（x）2t2R2（x）2

f（0）0

所以

f（0）3（R2x2）2

R2Pf（0）f（0）tiˆE20

PR2tˆ（0）i320（R2x2）2PR2t2222（0Rx）3ˆi

电位移矢量为

D0EPP（1R2t（2R2x2）23ˆ）i

4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，结外电荷体密度x0，结内电荷的体分布为xekx -axa,线性缓慢变结式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出x、Ex和x随x变化的曲线。

解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点x'处取宽度为dx'的无限大平面，该平面电荷密度为

该带电平面在结内P点产生的场强为

x、dx、n区P区++--++-dE-++-20r20r

--BPOa++--OB区电荷在P点产生的场强为

-

+++--

+

+

+--x、dx、AaxEBOdE

120ra0ekx、dx、dx 图4-1

12ax、|020r2

ek

eka2

40r

所以

OP区电荷在P点产生的场强为 图4-2

eka2ˆEBOi40r

1EOP所以

ekx2ekxdx20r040r

x、、

PA区电荷在P点产生的场强为 图4-3

ekx2ˆEOPi40r

120rek40rek40raEPA所以

xekx、dx、(a2x2)

EPAˆ(a2x2)i 图4-4

由叠加原理得P点的总场强为

2222ekaekxekaekxEP内EBOEOPEPA40r40r40r40r

ekˆ(axa)(a2x2)i20r

场强随x变化曲线如图4-3所示

由高斯定理知，结外的场强为

EP外0 , xa在结内任意点P的电势为

当axa 取x0,0

P内EP内dxx00ek20rxa2x2dx ek2130ekxaxx|3a2x2x20r360r



当xa时,电势为P外10ek20raa2x2dxek2130eka3 axx|a20r330r当xa时电势为0ekP外2a2x2dxa20r ek2130ekaxx|a20r330r

电势随x变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随x变化曲线如图4-2所示。

5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为

n区：p区：xNDe

xNAe

NAxpNDxN（突变结）

式中ND,NA是常数，e为电子数且，其中xp和xn各为p区和n区的厚度，试求结内电场强度和电势的分布并画出x、Ex和x随x变化的曲线。

解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点x处找一个考察点P，P点的场强由三部分即BO段、OP段和PA段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为dx'

pn

pn

xxx

B•x•oAoABpp

xnxpxpxn

图5-1 图5-2 图5-3

xdE由dx'20得

EBOEOPNDexnNDexndx'20020

NexNeAdxAx20020 图5-4

xEPA

NAexPNAedx(xPx)x2020

所以，P点的总场强为

EPNDexnNAeNexPAx20200

E

NAe(xPx)0

x 图5-5

取原点电势为零，由电势定义得

PEPdxx0在n区内取一点P，如图5-2所示

同理得各段在P点的场强为

NAex(2xPx)20

EOAEOPNAexPNAexPNDexndx2002020

NeDx20EPB所以，P点的总场强为

NDe(xnx)20

(xnx)EPNDe

同理可得P点的电势为

0画出x、x和Ex随x变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示

6、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl，线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。

（1）求这电容器的电容C；

（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。

解：（1）建立坐标轴，如图所示

设rkxr1 ，

0xd

则

由此得

NDex(2xnx)20

OSxr2kdr1

kddx因此板间任一点的介电常数为

r2r1d

x

将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为x，厚度为dx一个电容元，该电容元的电容为

rr2r1dxr1

dC0rsdx0(r2r1ddxxr1)s

其倒数为

积分得

r2r1xr1)1dxdddC0(r2r1)sr2r1r10s(r2xr1)xr1dd

d(r11ddln(r2xr1)0C0(r2r1)sd

dlnr2r1

0(r2r1)s

所以

C0(r2r1)sdlnr2r1

(2)作一圆柱形高斯面S，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理量为

DdSQS，得电位移矢DQS

EED由与的关系和为

P0r0rS根据电位移矢量定义式D0EP得，极化强度QPD0E极化电荷体密度为

Q1Qr1QSrSrS

Q1rSr2x

'P1QQ1rxxrSSxr 正极板处的极化强度为

Qdr2r1r2r1Q1r2r1Q22Sr2dSr2r1Sxdr1r2r1dxr1d

Q1Qr11QSr1Sr1S

P1D0E1板表面上的极化电荷面密度为

'ˆPP1nP11负极板处的极化强度为

r11Qr1S

P2D0E2r21Qr2S

板表面上的极化电荷面密度为

'

PP22r21Q

r27、一半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r处介质的相对介电常数rArr（A为常数）。如果内球带电荷Q，外球壳接地，试求：

（1）在电介质中离球心为r处的电势；

（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度；

（3）介质中极化电荷的总量。

解：（1）根据对称性，以球心为心，r为半径在介质内作球面（高斯面）S，由D的高斯定理得

SS

2DdSD4rQQ4r2DED所以

0r

因球壳的电势为零，故有

bQ40rr240Arr

bQbQarrEdrrrQdr40Arr11drr40ArArQbbA lnln40ArrA bQ40A(2)半径为a球面上的极化强度为

PaDa0Ea QlnbrAbAr

QQQ4a240Aaa4a2该表面上极化电荷面密度为

PaPQA4aAa

2aQA1Aa4a2Aa

半径为b的球面上的极化强度为

PbDb0Eb该表面上极化电荷面密度为

QQQbQA14b24Abb4b2Ab4b2Ab

PbPQA4b2Ab半径为r球面上的极化强度为

QQQA1PrDr0Er4r24Arr4Arr2介质内极化电荷体密度为

P

'r

2r'2r2PrPrsinP22rsinrsinrr4Arrrr1111QA1 QA4r2Ar22(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即

QPPa4aPb4b'r4r2dra2bbQAQAQA2224a4b4rdr222a4r2Ar4aAa4aAb

QAQAQAQA0AaAbAbAa

8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一6层石蜡。设球的半径为1cm，空气的击穿场强为2.510V/m，石蜡的击穿场强为1.0107V/m，其相对介电常数为2.0，问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少？其中球的电势之值是多少？

解：设金属球带电量为Q，由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为

E1

Q

r1rr224πε0εrr……①

r1r2E2

Q

rr24πε0r2……②

取rr1，rr2代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为

E1Q4πε0εrr12……③

QE24πε0r22……④

22由③式和④式联立得

4πε0εrr12E1εrr12E1r4πε0E2E2……⑤

Δrr2

r1r1rE1r1E2……⑥

将已知数值代入⑥式得

由电势与场强积分关系得

r221cm

r2E1drE2drr1r2

maxr2Q40rr2r1drQ40r2r2dr11Q140rr1r240r2……⑦

Q

2Q4rE1代入⑦式得

0r1将r12E1112rr1E1r2r2

1111r12E1rr12E1rr2……⑧

r1r2r2r1121222102

1101r1将已知数据代入⑧式得

110141101725110V4

9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R1，与它同轴的外圆筒的内半径为R2，长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R，它们的相对介电常数分别为r1和r2，设两导体圆筒之间的电势差12U略去边缘效应，求：介质内的电场强度。

解：设充电后，单位长度的电量为，由对称性和介质中的高斯定理得

DdSD2rLLSD2r

由D与E的关系得两介质内的场强分别为

E1E2

RR120r1r……①

L20r2r……②

RR2R1dr20r1Rr20r21R2R2圆筒之间的电势差为

UE1dlE2dlR1RR1drr

RRlnln2RR1R lnln2R20r1R120r2R20r1r2由③式得导体圆筒电荷的线密度为

……③

20URRlnln2R1Rr1r2……④

将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为

E1Ur1r1lnR1lnR2RR2lnRlnr1R1r2R1Rrr1r2r11UE2r2r1lnR1lnR2r1R1r2R

10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数r1r2r3的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为。试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？

解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为

1UDdSD2rLLSr3r2r12r

根据D0rE知，介质中离轴心分别为r处的电场强度为

Dabcd

arb20r1rbrc E220r2rcrdE320r3r

（2）当r分别等于a、、b、时，各层电场强度为极大值，其值为

 E1max20r1a

 E2max20r2b

E3max20r3c

E1 （3）当E1E2E3时，有

111r1r1r2r2r3r3

所以r1r1r2r2r3r3rr常数时，E常数

11、平行板电容器的两极板相距为a，极板面积为S，两极板之间填满电介质，绝对介电常0数按下列规律变化，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面上，若已知两极板间电势差为U，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。

xa/a解：在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器，其元电容为

dC其倒数为

0xaSadx

oSaU1adx

dC0xaS

0xaa积分得

1aa2aalnxa|0lnC0S0Sa 所以

xaln20S

C0Saln2

极板上的自由电荷 为

qfCU0Ualn2

由如图虚线所示作高斯面，由高斯定理得板内的电位移矢量为

DfqfS0Ualn2

板内的场强为

ED0Ualn20xaaln2a0UUxaln2

板内的极化强度为

PD0E0Ualn2xaln20U0U1在x0介质表面上，束缚电荷面密度为

10Uxln2axaln2axa

P0P0

在xa介质表面上束缚电荷面密度为

UPaP02ln2a

介质中束缚电荷体密度为

12、一空心的电介质球，其内半径为R1，外半径为R2，所带的总电荷量为Q，这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为r.

解：由对称性和高斯定理得

当r>R1时E=0

当R1RR2时

0Uaxaax0UPP2xln2a2xa2xaln2Q2DdSD4r

R1R2r

D所以

34R2R13r324r3R1343R2R1333Qr3R13

QQr3R13R13Qr2E332330r40rR2R1r40rR2R1r

D当rR2时

D所以

Q4r2

QE13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为之间充满相对介电常数为r的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q，试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。

解：A、B板和B、C板各组成电容器，其电容分别为

40r2

C10Sd

C20rSd

取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理SDdSQ得

由D的法线连续性 D1=D2=D得

D1SD2SQ

DQ2S

再根据

D0rE得

E1Q20SE2Q20rS

由此可得AB之间和BC之间的电势差为

U1E1dA、B极板所带电量为

QdQdU2E2d20S

20rS

Q1U1C1B、C极板所带电量为

0SQdQd20S2

0rSdQd20rSQ2

Q2U2C2由电荷守恒定律知

A 、C板的内侧带-Q/2 电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。

14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，电场强度为E的大小为220V/cm，其方向是指向瓷板且与它的表面法线成45角。设瓷板的相对介电常数r6.0，求：（1）瓷板中

的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。

解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为P，如图13-1所示。

在板内，极化电荷产生的电场强度为

EPPˆn0……①

ˆ为表面外法线方向上的单位矢量 式中n根据场强叠加原理，板内的电场强度为

以上三者关系如图13-2所示，由图可知

22EEPE02EPE0cos(1800450)……②

ˆnrE0PPEEPE0

极化电荷电密度为

ˆˆ

PPn0(r1)E0(r1)(EPE0)n 图13-1

0(r1)(pE0cos0(r1)p0(r1)cos整理上式得

450P

将已知数据代入③式得

0(r1)E0cosr ……③

E0EP8.851012(61)EP200200102Vcos450m6 图13-2

1.04107C2m

1.0410721.04107222E()(20010)22002

8.8510128.851012E138.1106200106332.31061.83104Vm

15、在相对介电常数为r的煤油中，离煤油表面深度h处，有一带正电的点电荷q，如将煤油看作为无限大均匀介质，：求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方A点处的极化电B；荷面密度A；（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度（3）煤油表面极化电荷的总量Q。

解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。（如图）在煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少，A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得

E空n在空气中E油n在煤油中由边界条件Aq40rh220

Aq40rh220

D空nD油n，即0E空n0rE油n，得

AhqBr

q40rh2整理上式得

qAA（）r22040rh20

A2）同理，B点附近的液面两边场强法向分量为

r1qr12rh2

E空nq在空气中E油n在煤油中hB40rr2r20

qhB40rr2r20

由边界条件D空nD油n，得

q40rr2B整理上式得

hBqhB（）r2r2040rrr20

3）以A点为圆心，在液面上距A为x处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显r1qhr12rr3

2122（xh），小圆环面积ds2xdx，小圆环上极化电荷为 然rr1qh2xdx3r12rr

1qhxdxr3r1222（rxh）

dQds所以

Qdss0r1qhxdx3r1（x2h2）2

16、两个相同的空气电容器，电容都是900uF，分别充电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数r=2.0），再将两电容并联。

（1）求一电容器浸入煤油过程中能量的损失；

（2）求两电容器并联后的电压；

（3）求并联过程中能量的损失。

（4）问上述损失的能量到那里去了？

解：（1）电容器极板上的电量为

62QCU900109008110C

0

r1q（1）rr

电容器在空气中的储蓄的能量为

1Q21812104W0182.3J62C22900100

能量损失为



WWW0182.2J

（2）并联后总电容为

并联后总电量为

CC0rC0（1r）C0

所以并联后电压为

Q总2Q

2Q281102U600V6C（1）C（21）90010r0

Q总 （3）并联前的能量：

并联后的能量：

1Q21Q2W前364.5182.3546.8J2C02rC0

11CU2（1r）C0U222

1（12）9001066002486J2

W后并联过程中的能量损矢为

WW后W前486546.860.8J

4）损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能（内能）。

17、一平行板电容器的极板面积为S，间距为d（d2<

∞过程中，从介质内释放的总焦耳热。

解：（1）t0时刻，极板上的电量仍然为Q，由高斯定理知，此时板内电位移矢量为

Q和-Q，然后撤去电源。试求：（1）t=0时刻介质内的电场强度；（2）t=t时刻介质内的传导电流；（3）t=0→t=DD电场强度为

QS

QE0r

（2）由欧姆定理的微分形式知，t时刻有

0rS

dqIIjdt

S，而其中所以

jE

SQdrQIqS0rS

由初始条件t0，qQ，解微分方程得

dqqdt0r

qQet0r

所以t时刻介质内的传导电流为

（3）由焦耳定律得

2dq0rtIQedt0r

dQdQIRdtS0r所以介质释放的总焦耳热为

e220rtdt

Q0dQS0r0rtdte0rt|0e2222

18、一个圆柱形电容器的内圆筒的半径为R1，外圆筒的内半径为R2，筒长L>>R2，在R1和R3dQ 0r2S0rdQ2 20rSR1R2之间的空间填满长为L、相对介电常数为r的圆筒形均匀电介质，其余的容积是空气间隙，如图18-1所示。假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U，试求将介质圆筒抽出该电容器所需作的机械功？

解：把圆住形电容器看成两个电容器串联而成，如图18-2所示

根据圆柱形电容器电容公式C20rLlnR3R1知，每个电容器电容为

C1根据电容器串联性质得

20rL20L C2

R3R2lnlnR3

R1Rln3R1RR232RR3R1R1R2lnR3111CC1C220rL20L 图18-1

r所以，总电容为

20rLC2C1R3R2lnrlnR1R3 图18-2

当介质抽出x距离时，如图18-3所示，把电容器看作两个电容器并联，如图18-4所示

C其中

所以

20rLxRRln3rln2R1R3

20xC2Rln2R1

C1R2R3R1LXX

CC1C220rLx20xR3RR2ln2lnrlnR1 图18-3

R1R3电容器储存的能量为

由虚功原理得

Lx11xU2rWCU220R3R2R222lnrlnlnRRR113

C2xC1LxW12rF0URR3R2x0lnlnlnrRRR113 图18-4

外力作功为

Lr1AFdx0U2R20RRln3rln2lnR1R3R11r20ULRRR11ln222R2lnRr2lnR111 =L

LU21r12r00LU1R1Rr1r1ln2ln22R1R1

另解：介质全部抽出时，电容器的能量为

介质未抽出时，电容器的能量为

0LU212W2C2UR2ln2R1

1W1C1U22根据功能关系知，全部抽出介质时，外力所作的机械功为

20rLU2R3RR2ln21rlnrlnR1R1R3

0rLU2AW2W10LU2lnR2R12r11r0LU2r1Rln2r1R1

19、一平行板电容器由两块平行的矩形导体平板构成，平板宽为b,面积为S，两板间距为d，设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、相对介电常数为r的电介质平板，两

极板所带的电量分别为+Q和-Q。现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉，以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。

（1）问这时介质平板受到的电场力的方向如何？

（2）试证明，这时介质平板受到的电力为

Q2dbt'dt'

20Sdt'xbt'其中2t'tr1r（忽略边缘效应）

解：（1）在电场中电介质被极化，其表面上产生极化电荷。在平行板电容器的边缘，由于边右的分量，因此，电介质将受到一个向右的合力

（2）电容器由两部分并联而成，这两部分的电容分别为

缘效应，电场是不均匀的，场强E对电介质中正负电荷的作用力都有一个沿板面向C10baxd

dt1tC20rbx0bx

0rbxC2rdtt

aQSdrtxb电容器的电容为

CC1C20baxdrdtt0rbxbaxrbx0ddttrbaxbx0ddt'



0abdt'bxt'dt'dt'其中电容器所储蓄的静电能为量

r1tr

由虚功原理知，作用在介质片上的力为

Q2W2C

dt'dQ21Q2WF2xC2x0abdt'bxt'xQQ2bt'dt'd 20abdt'bxt'2Q2bt'dt'dQ2bt'dt'd 2220ab(dt')bxt'20S(dt')bxt'

20、一半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为f，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为r，求（a）电介质球内的静电能；（b）这一带电系统

的总静电能。

解：（a）根据对称性和高斯定理得球内外的电位移矢量和电场强度分别为

D内43frr24r33

ffRrfrE内0r30rD内rf43fR3D外R24r33r2

fR3E外30r2

电介质球内的静电能为

W内dV0RR0f1D内E内dV2180r2R0r24r2dr 522fR450r

（b）带电系统的总静电能为

W内dV外dVo0RR

112D内E内4rdrD外E外4r2dr02R222fR522fR5450r90R

22fR515r450r

21、平行板空气电容器两极板A、B相距为l，竖直地插在相对介电常数为r、密度为的均匀液态电介质中（如图21-1所示），两极板间保持着一定的电势差U，则液态电介质在两板间会上升一定高度h，若不计表面张力作用，试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度h。

解：带电的平行板电容器插入液态电介质中使液体沿与平板电容器两板的分界面产生极化电荷，在静电吸引力作用下液体被吸上来，直至液体重力与静电吸引力平衡为止。

如图21-2所示，高度为h的液态电介质所受到的重力为

电容器是由两部分并联组成，设介质进入极板间的高度为x时，两部分的电容分别为

FgmgVgShglahg

C10abxl ，

C20raxl

U电容器的电容为

CC1C2电容器储能为

0abr1x0l

W由虚功原理知，静电力作功为 图21-1

abr1x21CU20U22l

h根据平衡条件得

W0aV2Fer1x2l

UFeFg0aV2l

2b

h

r1lahgal整理上式介质的高度为 图21-2

0r1V2h2gl2

作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为

Fe0aV2raV2T20r1al2lal2l

22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。例如，当一个0.5A的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数r3.2）达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。

（1）求带电区的极化电荷的密度；

（2）求有机玻璃表面的极化电荷密度；

（3）画出D、E、（电势）作为电介质内部的位置函数的图形；

（4）求带电层中心的电势；

（5）求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强；

（6）求这有机玻璃板里贮存的静电能。

解（1）由电流强度定义知

Iq qItt

rr带电区电荷体密度为

qIt0.5106e3.33102c/m343VV2510610……① 图22-1

如图22-2所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心，由高斯定理得层内任一点处的D、E、P值为

SDdS2DS2xSeDex……②

Sxd6mml12mmED0rex0r……③ 图22-2

P0r1E0r1exr1ex0rr……④

取xd2，得带电层表面处的极化强度为

Pd2raerd2r1ed2r……⑤

带电层表面极化电荷面密度为

Pd2'd2r1ed3.213.3310261036.87105c/m2r23.2……⑥

（2）作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得

2DSSed

dDe2……⑦

dEe20r……⑧

P0r1edr1ed20r2r……⑨

有机玻璃表面的极化电荷面密度为

ˆPlPnr1de2r6.87105c/m2……⑩

(3)带电层内任一点电势为

1d2l2xxededed22dedxddxldx0x20r40r20r42……

20r带电层外任一点电势为

2lxD、E、随x变化规律曲线如图22-3所示

DE2dddx20r20rlx2……

12o图22-3

（4）取x=0代入⑪式得，带电层中心处的电势为

d2l2xoxoxeddled2020r2220r4

edd2eld480r

0r61033.33102621063.33102312610121248.85103.288.85103.21.59104V(5)由⑧式得带电层外的场强为

(6)有机玻璃内贮存的静电能为

ed61033.331026E3.5310V/m1220r28.85103.2

11WD1E1dV1D2E2dV222

d122x21d22dSdxdV220r240r2S20r1d3d3d22Sld38880r222Sd3Sdld240r80r2442633.33210425104631093.331025106101261012248.85103.288.8510123.2352.4105JE 解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点O的场强0是介质中场强E和极化电荷在轴线上O点的场强E'的矢量和。极化电荷面密度为

ˆPcos （P'为极化强度，n为表面法线方向）

'Pn23、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为R。设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。

如图所示，取一宽度为Rd的无限长带电线，其上电荷线密度为

'RdPRcosd

该带电线在轴线上产生的场强为

ydE'PRcosd20R20RP20cosdddE'x

极化电荷在轴线上产生的场强为

'E'ExdEcos022zcos2dP20

P200PE'20所以轴线上一点的总场强为

P0r1Er1E0EE'EEEE20202

24、一平行板电容器两极板间距为d，其间放置一块厚度为t的介质平板，板面与极板成倾角，介质的相对介电常数为r，若两极分别带上面密度为和的电荷，试求两极板间的电势差。（设倾角为较小，边缘效应可以忽略）

解：设两极板的边长为a和b的长方形，建立坐标如图所示，上、下两板一小面积dSadx构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，其中一个是空气，另一个是介质，每个电容器中电容分别为

根据电容器串联性质得

0adxdtcos

adxdC20rtcos

dC1dtcostcos111dtcostcosrdCdC1dC2a0dxa0rdxa0rdx

a0rdxdCrdtcostcosCdC0b0rabrdtcostcos

ybr0rSrdtcostcos

式中Sab为极板面积

极板上电量为

xdx

极板间的电势差为 图24-1

QS

ox

UdtcostcosQSrC0rSdtcostcos00r

25、半径为R1的半导体球，一半浸没在相对介电常数为r的半无限而均匀的液体介质中，另一半露在真空中，若此导体球所带的电量为Q，（1）证明：导体球外任一点的电场强度均沿求的径向；（2）求出导体球表面上的面电荷分布

解：（1）如果导体球外任一点的电场强度不沿径向则上半球和下半球表面电荷分布将不均匀。它们在球心处产生的合场强不为零，这与导体球内场强为零相矛盾。故球外任一点的场必沿径向

（2）导体球与无限远处构成球形电容器如图所示

根据球形电容器的电容公式有：

C40R1R2

R2R1

R2QR1当R2时

根据上式得半球形电容器的电容为：

C40R1

本题中的球形电容器可看作是两个半球形电容器并联而成。其中一个是空气，别一个是介质，每个半球形电容器电容为

C2R1

根据电容并联性质得，电容器的总电容，总电压分别为

C220rR1

C120R1

CC1C220R1r1U

两个半球形电容器所带电量分别为

QQC20R1r1Q1C1U20R1QQ20R1r1r1Q2C2U20rR1QQr20R1r1r1两个半球表面上的电荷面密度分别为

12Q1Q2R122R12(r1)Q2rQ2R122R12(r1)

26、两导体球，半径均为R，球心间距为d，有一均匀电场E0，其方向垂直于两球心的联线，

假设Rd，球两球之间的相互作用力。

解：

E0

Rx

d

Rx

图26-1 图26-2

p1rp2设导体球表面的感应电荷为余弦分布0cos，如图26-1所示，在球内产生的附加电'ˆE内0i,令0E03030场为，则附加电场与外电场抵消（不考虑另一导体球感应电荷影响），使球内场强为零满足静电平衡条件。由此得

在球外可将余弦分布的带电球壳等视为偶极子，如图26-2所示，其电偶极矩为

030E0

30E0cos

4PPR304R30E0123

1在P2处产生场强 电偶极子P3PˆˆrrPP11E11340r40r3

P在EP1中具有的电势能（1P2之间的相互作用能）为 电偶极子2PPW21P2E112340r

两球间的相互作用力为

3r2PP1P21P2Fr36r40r40r34R30E0 40d4227、一半径为R的导体球浮在某种介质溶液中，导体球的质量密度为1，介质溶液的相对介电常数为r，质量密度为2，且221，试用计算必须在此导体球上放置多少电量的电荷，才能使它正好有一半浸没在介质溶液中。

解：设导体球放置电量为Q的电荷时，它正好一半浸没在介质溶液中。导体球在介质溶液中受到三个力的作用即导体球自身的重力、导体球受到的浮力和极化电荷对它的吸力，如图27-1所示，处于平衡状态时，有

120R6E020为斥力4d

F浮F吸G……①

导体球所受浮力为

F浮24R3g23……②

导体球所受到的重力为

4G1R3g3 图27-1

F为了球极化电荷对导体球的吸力为吸，先求极化电荷密度p，导体球表面各介质表面电荷分布如图27-2所示，作球面为高斯面，根据高斯定理得

DdSD1dSD2dSQS1S2

D12rD22rQD1D2D1tD2t22Q2R2……④ 图27-2

在介质交界面上有

00r

D2tD2

D1tD1由④、⑤式得

D1rD2……⑤

D2E2rQ1r2R2D20rQ0(1r)2R2P2D20E2极化电荷密度为

r1Qr12R2

pPnr1Qr12R2……⑥

极化电荷为半球面分布，在球心处产生的场为

EPr1Q40r180R2……⑦

极化电荷对导体球的吸力为

r1Q2F吸QEr180R2……⑧

将②、③、⑧式代入①式得

整理得

r1Q244332Rg1Rg233r180R2

432r1Q2Rg（1）32r180R2

r13220gR5(21)r1132

28、有一半径为a,相对介电常数为r的均匀介质小球，与另一半径为b，电势为0的导体Q2小球相距为r(r>>a、b)。求介质小球受力的近似表达式。

解：设导体球带电量为Q0，由高斯定理得

Q02EdSE4r00E0Q040r2



导体球的电势为

arPQ0br0E0dlEbdrb由此得导体球所带电量为

Q0140b

导体球在介质球处产生的场可视为匀强场，即在介质球心处产生的场强为

Q040b0

E0Q040r2介质球在均匀外场作用下发生极化，设极化强度为P，极化电荷为余弦分布，即

极化电荷在介质球内产生的场强为

bQ0r2

ˆnPcos

'PeE'P30

介质球内总场强为

EcE0介质极化强度为

P30

所以

PP0r1Ec0r1E030

P3r103r10b0E0r2r2r2

介质球的等效电偶极矩为

pPV介质球的等效电偶极矩与外场之间的相互作用能为

24r10a3b201WpE0pE0r2r4

3r10b043ar2r23

介质球外场中所受的力为

24r10a3b20W4r3Frrr2r82160r1a3b20 r2r5

29、两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为

，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的

电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场解法1：分步极化法

Ef仍是均匀场。

设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场

Ef，它使球均匀极化，极化强度为

P00Ef由P0引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为

1

0附加电场EP1引起的附加极化，附加的极化强度为

PEEf

10p10Ep13P03Ef附加的极化强度EP1产生的附加场强为

12

EP()Efp21

33附加场强EP2又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强度为

n

E()Efpn

033于是介质球内的场强等于自由电荷的场强Ef和附加场强EPn之总和，即

n1EEfEp1Ep2EfEPn

n

Ef

1 得



0



3

n

x

n

根据

x

n



2









1xx

1xn0

13EEE

f2rf

13应比较小，同以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率时极化不影响自由电荷的分布。

解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为

1

EpP

30

即EP是与极化强度P的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为E，则

11

EPE0EEEEfffp

3030于是



E1Ef

3

所以

E30、半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b，相对介电常数为r1的均匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为r2的均匀气体电介质，假定r1r2，讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势。

解：（1）空间各点的电位移矢量D

由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量

在金属球内，

D00

在固体介质r1内，

DdSD4r2q0

1q0

D1,(arb)2

4r33EfEf32r在气体介质r2内，

1q0D,(rb)2

4r2（2）空间各点的电场强度E

在金属球内，

E00

在固体介质r1内，

11q0

E1D10r140r1r2

在气体介质r2内，

1q0

E240r2r2

（3）空间各点的极化强度P

在金属球内，

P00

在固体介质r1DEabr2D1D2E1E2P1PfP1P2P2r1内，

q040rr2

1P101E10(r1)在气体介质r2内

1q0

P202Er24r2r2

（4）电荷分布



在金属球表面上自由电荷分布

qf02

4a在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布

P1P0P1P1r11q04r1a2

r11fr1在两种介质的交界面上极化电荷分布

r11r21q0

PPp2122

4br1r2

11a2

2fr1r2b

（5）空间各点的电势

金属球的电势为

0EdlE1dlE2dlaabb

q1111

0

40r1abr1r2

固体介质中任一点的电势为

b

1EdlE1dlE2dlrrb

q0111

40r1rbr1

气体介质中任一点的电势为

1r12Edlrq0140r2r

各物理量分布情况如图所示。

31、设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为 R，其永久极化强度为P0为恒量，若取P的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。

解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为

1EP0

130

2RP02P0

RE2

30z3在球内由

E2D0EP关系得

P0

D1E1D2

21

D10E1PP0P0P0033

在球外由

D0rE（球外为真空）关系得

2R3

D20rE20E23P0

3z计算结果表明：即使没有自由电荷，D也不为零，说明D与极化电荷并不是无关系的。D(z)、E(z)与z的关系如图所示。

设空间为两种不同的均匀电介质所充满，两种介质的交界面是一个平面，在交界面上有一个电量量q的点电荷，试求空间各点的电场强度和电移矢量。

解：由于点电荷位于界面上，在两介质的交界面上，电场强度只有切向分量，即因而En0，Pn0，除点电荷所在处外，分界面上无极化电荷分布，在点电荷与介质的“交界面”qqp的点电荷激发的电场具有球对称性，其场强为

上，将出现极化电荷，这个极化电荷是与点电荷重合在一起的点电荷，设极化电荷的电量为qp，由于电量为

1qqpˆr

Ee2ˆneS4r0

qr2由物态方程，得

r1qqpr1ˆrDEe

10r124r

r2qqpˆrD20r2Ee

24r

由介质中的高斯定理，得

DdSDdSDdSqS下半球面1上半球面2

由此得

r1(qqp)r2(qqp)2q

即

2q

qqp

r1r2于是

qˆrEe

20(r1r2)

r1q

ˆrDe1

2(r1r2)

r2q

ˆrD2e

2(r1r2)32、研究介质的介电性与导电性，电阻和电容的关系。设想在两导体之间充满某种各向同性的均匀电介质，其相对介电常数为

r，使两导体带等量异号的电荷，如图（a）所示，试

求这导体组的电容。另一是作为电阻使用，设想在导体之间充满某种各向同性的，均匀的欧姆导电介质，其电导率为v使两导体之间维持一恒定的电势差，其值与这两导体作电容器时的电势差相等，如图（b）如示，试求这导体组的电阻。

解：在第一种情况中，两导体构成两个等势面，其间存在静电场，两导体间的电势差为

SS

Q

r

EEQ

(b)导体组用作电阻(a)导体组用作电容器



Edl

导体上的电量为

QdSDdS0rEdS

SSS导体组的电容为

0rEdSQ

SC

Edl

在第二种情况中，两导体也构成两个等势面，其间存在稳恒电场，两导体间的电势差为



Edl而电流

IjdSvEdSvEdSSSS

由欧姆定律，导体组的电阻为



Edl

RI

vEdSS比较两个结果得

0rRC

v

一切实际的电介质总有一定的电导率，任何导体也都具有介电常数。其实际介质中的电容与相应电阻之间满足上式关系。

33、两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为r1、1和r2、2，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。

解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即

D10D20D0

或

r10E10r20E20

aE10bE20U

但

由上两式解得

Kar1br2E10r2Uar2br112

图（a）

r1UE20

ar2br1

U

D0r1r20ar2br1

由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为

1r2UjE

10110ar2br1

2r1Uj202E20

ar2br1

由于

j10j20，于是在两种介质的交界面上会积累起电荷，积累起来的电荷所造成的附加电场必定削弱电流密度较大一方的电场，增强电流密度较小一方的电场。随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，小的一方电流逐渐增强，直到电流密度相等后，才达到稳定。设想在界面附近作一圆柱形的封闭曲面，使底面与交界面平行，如图（b）所示。把电流连续性方程应用于这一封闭曲面，并注意到高斯定理，得

dq

jdSS(j2j1)Sdtdqdtr11r2

SDdSq

2(D2D1)Sq

图（b）

djj(D2D1)21

dt或

dEE0(r2E2r1E1)

2211dt

但

aE1bE2U

消去

令

E2得

dE1a2b12UE1dt0(ar2br1)0(ar2br1)0(ar2br1)2Utrca1b20(ar2br1)

上式变为

dE1

dt解此方程得

1E1ctr

其中A为积分常数，可由初始条件求得。

当t0时E1E10，得

E10tr(cA)

于是

E10Ac

tr

得

2Ur1UttrE11eettr

a2b1ar2br1

同理

1Ur1U

E21ettrettr

a2b1ar2br1

K电流密度为

baj11E1

r2r1

j22E2

21界面上的电荷密度为

DfD2D1

0r2E20r1E1E



jf01r22r1U1ettr

a2b1

E1trcAettrt0t0t0t当t时：2UE1a2b1

DE1

E2a2b1

达到稳定值。此时有

U

j11E112

a2b1Uj图（C）

tt

j22E212Ua2b1

j1j2，电流密度法向连续。

t0和t时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。

34、计算把均匀的电介质插入带电平行电容器前后电容器的电容，极板上的电量，两极间的电势差，电容器的能量以及插入过程外力所作的功。假定介质片正好充满电容器．介质的相对介电常数为r。

解：当介质片刚从电容器边缘插入电容器时，电容器边缘的电场分布发生的畸变，介质被极化，如图所示。如果没有外力作用于介质片使之徐徐移入电容器，则介质片在电场力的作用下将获得加速度。当介质片正好全部进入电容器时，场的畸变消失，但介质片具有动能，介质片将在电容器中振荡，直到它的全部机械能消耗完为止。

（1）保持电压恒定（电容器接在电池两端），设电容器极板的面积为S，两极之间的距离为L。

电介质插入前有关物理量分别为

U1U0

S

C10

d

0SU0QCU

111d

Q10U0F

f1Sd

2SU11200

W1C1U1QU10

22d2电介质插入后有关物理量分别为

UDf

E1011U2dU000

0SCC

2r1rd

0S21WCUU0rW1

222r2d

0SQ2C2U2rU0rQ1

d

U2U0

E2E1电介质插入前后电容器极板上的电量和电容器的储能变化为

dd

QQ2Q1(r1)Q1Q1

WW2W1(r1)W1W1

在介质片插入电容器的过程中，电池作的功为

ABQU0QU

102W12W即电池作的功为电容器所增加能量的两倍，其中一半用于增加电场能，一半为电场对于电介质板所作的机械功AM

AMABW

W1

（2）保持电量恒定（充电后与电池切断）

电介质插入前有关物理量分别为

Q1Q0

S

C10

d

Q1Q0dU

1C0S1

11Q12d22W1CUQ

11022C120S

QUDE1110

d00S

电介质插入后有关物理量分别为

Q2Q1Q0

S

C2r0rC1

d

Q21

U2U1Cr

2

21Q21

WW12

2C2r

U1E22E1

dr

电介质插入前后电容器的储能变化为

1WWW1W1

21电场对于电介质板所作的机械功M为



AMWW1

r

rArW1